Ensino Superior ⇒ Cálculo de Área por integrais Tópico resolvido

[Tiagofb]

Calcule a área da região limitada pelos gráficos de por y = [tex3]\sqrt{x}[/tex3] e y = x²

[candre]

desenhando o gráfico das funções:
os pontos em que a curva se encontram é:
[tex3]\sqrt{x}=x^2\\
x=x^4\\
x^4-x=0\\
x(x^3-1)=0\Rightarrow x=0\text{ ou }x=1[/tex3]

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pela figura na região [tex3]0\le x\le 1[/tex3] temos [tex3]\sqrt{x}\ge x^2[/tex3] temos portanto que a área e dada por:
[tex3]A=\int_{0}^{1}\sqrt{x}-x^2dx=\int_{0}^{1}x^{\frac{1}{2}}-x^2dx=\left.\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^3}{3}\right|_0^1=\\
\left.\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^3}{3}\right|_0^1=\left(\frac{2\cdot1^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{1^3}{3}\right)-\left(\frac{2\cdot0^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{0^3}{3}\right)=\frac{2-1}{3}=\frac{1}{3}[/tex3]
portanto a área e de [tex3]\frac{1}{3}\text{u.a}[/tex3] (unidade de area)