Ensino Superior ⇒ Sistemas lineares e Método de Gauss e de Gauss-Jordan Tópico resolvido

[Proomano]

Boa noite,

Preciso de ajuda para resolver (e entender) como eu resolvo o seguinte sistema linear pelo método de Gauss e depois pelo método de Gauss-Jordan.

[tex3]\begin{cases}
2x_{1}+8x_{2}+3x_{3}=2 \\
x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=5 \\
2x_{1}+7x_2+4x_{3}=8
\end{cases}[/tex3]

Comecei assim:

[tex3]\begin{pmatrix}
2 & 8 & 3 & 2 \\
1 & 3 & 2 & 5 \\
2 & 7 & 4 & 8 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Fiz [tex3]R_{1}=R_{1}.(\frac{1}{2})[/tex3]

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 4 & \frac{3}{2} & 1 \\
1 & 3 & 2 & 5 \\
2 & 7 & 4 & 8 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Fiz [tex3]R_{2}=R_{2}+R{1}.(-1)[/tex3] e [tex3]R_{3}=R_{3}+R{1}.(-2)[/tex3]

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 4 & \frac{3}{2} & 1 \\
0 & -1 & -\frac{1}{2} & 4 \\
0 & -1 & 1 & 6 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Fiz [tex3]R_{2}=R_{2}.(-1)[/tex3]

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 4 & \frac{3}{2} & 1 \\
0 & 1 & \frac{1}{2} & -4 \\
0 & -1 & 1 & 6 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

E a partir daí eu emperrei, não sei como continuar e não faço ideia de como faz o método Gauss-Jordan. A resposta desse exercício é [tex3]S=(3,-2,4)[/tex3]. Tenho mais 3 exercícios que não sei fazer e vou postar em outros tópicos. Preciso entender essa matéria logo. Alguma alma boa me ajuda?

[candre]

primeiro temos o sistema:
[tex3]\begin{cases}2x_{1}+8x_{2}+3x_{3}=2 \\ x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=5 \\ 2x_{1}+7x_2+4x_{3}=8\end{cases}[/tex3]
para começamos escrevemos sua matriz aumentada:
[tex3]\begin{bmatrix}2&8&3&2\\1&3&2&5\\2&7&4&8\end{bmatrix}[/tex3]
o método de gauss-jordan consiste em tentar transformar a matriz aumentada em uma matriz escalonada reduzida.
então vamos reduzir a matriz, podemos pegar a linha 3 e subtrair a linha 1, tendo:
[tex3]L_3\leftarrow L_3-L_1[/tex3]
[tex3]\begin{bmatrix}2&8&3&2\\1&3&2&5\\2-2&7-8&4-3&8-2\end{bmatrix}\sim\\
\begin{bmatrix}2&8&3&2\\1&3&2&5\\0&-1&1&6\end{bmatrix}[/tex3]
agora pegamos a segunda linha e subtraímos metade da primeira:
[tex3]L_2\leftarrow L_2-\frac{1}{2}L_1[/tex3]
[tex3]\begin{bmatrix}2&8&3&2\\1-1&3-4&2-\frac{3}{2}&5-1\\0&-1&1&6\end{bmatrix}\sim\\
\begin{bmatrix}2&8&3&2\\0&-1&\frac{1}{2}&4\\0&-1&1&6\end{bmatrix}[/tex3]
podemos pegar a terceira linha e subtrair a segunda:
[tex3]L_3\leftarrow L_3-L_2[/tex3]
[tex3]\begin{bmatrix}2&8&3&2\\0&-1&\frac{1}{2}&4\\0&-1+1&1-\frac{1}{2}&6-4\end{bmatrix}\sim
\begin{bmatrix}2&8&3&2\\0&-1&\frac{1}{2}&4\\0&0&\frac{1}{2}&2\end{bmatrix}[/tex3]
agora para finalizar eliminamos os elementos de cima (deixando se possível só a diagonal)
[tex3]\begin{bmatrix}2&8&3&2\\0&-1&\frac{1}{2}&4\\0&0&\frac{1}{2}&2\end{bmatrix}\sim\\
\begin{bmatrix}2&8&3&2\\0&-1&\frac{1}{2}-\frac{1}{2}&4-2\\0&0&\frac{1}{2}&2\end{bmatrix}\sim\\
\begin{bmatrix}2&8&3&2\\0&-1&0&2\\0&0&\frac{1}{2}&2\end{bmatrix}\sim
\begin{bmatrix}2&8&3&2\\0&1&0&-2\\0&0&1&4\end{bmatrix}\sim\\
\begin{bmatrix}2&8-8&3&2-8\cdot(-2)\\0&1&0&-2\\0&0&1&4\end{bmatrix}\sim\\
\begin{bmatrix}2&0&3&18\\0&1&0&-2\\0&0&1&4\end{bmatrix}\sim\\
\begin{bmatrix}2&0&3-3&18-3\cdot4\\0&1&0&-2\\0&0&1&4\end{bmatrix}\sim\\
\begin{bmatrix}2&0&0&6\\0&1&0&-2\\0&0&1&4\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&0&0&3\\0&1&0&-2\\0&0&1&4\end{bmatrix}[/tex3]
de onde a solução sai direto:
[tex3]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\-2\\4\end{bmatrix}[/tex3]

[Proomano]

O-o-o-o-o-o-h, obrigada!

Mesmo faltando só o Método de Gauss eu entendi e consegui fazer!

Obrigada mesmo.