Ensino Superior ⇒ Sistemas lineares e Método de Gauss e de Gauss-Jordan Tópico resolvido

[Proomano]

Preciso de ajuda para o segundo exercício que eu não sei fazer.
(Preciso entender o desenvolvimento pelo Método de Gauss e do Gauss-Jordan.)

A resposta (de acordo com o professor) é [tex3]S=(4+3t, 3-2t, t)[/tex3].

[tex3]\begin{cases}
x_{1}+3x_{2}+3x_{3}=13 \\
2x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=23 \\
2x_{1}+7x_{2}+8x_{3}=29
\end{cases}[/tex3]

Obrigada, vocês sempre salvam a minha pele.

[candre]

para resolvemos o sistema:
[tex3]\begin{cases}x_{1}+3x_{2}+3x_{3}=13 \\ 2x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=23 \\ 2x_{1}+7x_{2}+8x_{3}=29\end{cases}[/tex3]
pelo método de gauss-jordan, começamos sempre escrevendo a matriz aumentada
[tex3]\begin{bmatrix}1&3&3&13\\2&5&4&23\\2&7&8&29\end{bmatrix}[/tex3]
aqui enxergamos que fazer [tex3]L_2\leftarrow L_2-2L_1,L_3\leftarrow L_3-2L_1[/tex3] já nos ajuda:
[tex3]\begin{bmatrix}1&3&3&13\\2-2&5-6&4-6&23-26\\2-2&7-6&8-6&29-26\end{bmatrix}\sim
\begin{bmatrix}1&3&3&13\\0&-1&-2&-3\\0&1&2&3\end{bmatrix}[/tex3]
observe que podemos somar a segunda na terceira, tendo:
[tex3]\begin{bmatrix}1&3&3&13\\0&-1&-2&-3\\0&1-1&2-2&3-3\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&3&3&13\\0&-1&-2&-3\\0&0&0&0\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&3&3&13\\0&1&2&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}[/tex3]
temos ainda:
[tex3]\begin{bmatrix}1&3&3&13\\0&1&2&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&3-3&3-6&13-9\\0&1&2&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&0&-3&4\\0&1&2&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}[/tex3]
nesse caso as variáveis associadas ao pivô serão variáveis dependentes e o restante serão variáveis livres, temos:
[tex3]x_1-3x_3=4\Rightarrow x_1=4+3x_3\\
x_2+2x_3=3\Rightarrow x_2=3-2x_3[/tex3]
como [tex3]x_3[/tex3] não e uma variável associada a um pivô, então ela sera uma variável livre, logo atribuímos algum parâmetro a ela, vamos atribuir então [tex3]x_3=t[/tex3], então temos a solução como:
[tex3]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4+3t\\3-2t\\t\end{bmatrix}[/tex3]

[Proomano]

Muito obrigada mesmo! Você é um anjo!