IME / ITA ⇒ (ITA - 2009) Conjuntos Tópico resolvido

[Cientista]

São dados os conjuntos:

[tex3]A=[/tex3]{[tex3]x\in \mathbb{R}:4-3x<4[/tex3] } e [tex3]B=]-\infty ;-2[\cup ]4;+\infty [[/tex3].

a) Define [tex3]\overline{A\cup B}[/tex3] e [tex3]A\cap B[/tex3].
b) Verifique que [tex3]A\cap B=\overline{A\cup B}[/tex3]

[candre]

temos:
[tex3]A=\{x\in\mathbb{R}:4-3x<4\}\\
B=]-\infty|-2[\cup]4|+\infty[[/tex3]
vamos reescrever os conjuntos, primeiramente temos:
[tex3]4-3x<4\\
\cancel{4}-3x-\cancel{4}<\cancel{4-4}\\
-3x<0[/tex3]
se multiplicamos por [tex3]-1[/tex3] invertemos a ordem tendo [tex3]3x>0\Rightarrow x>0[/tex3], ou podemos prosseguir da mesma maneira de antes:
[tex3]\cancel{-3x+3x}<3x\\
0<3x\\
3x>0\\
x>0[/tex3]
portanto:
[tex3]A=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}\\
B=\{x\in\mathbb{R}:x<-2\text{ ou }x>4\}[/tex3]
temos que:
[tex3]A\cup B=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}\cup\{x\in\mathbb{R}:x<-2\text{ ou }x>4\}=\\\{x\in\mathbb{R}:x<-2\text{ ou }x>0\}[/tex3]
portanto:
[tex3]\overline{A\cup B}=\mathbb{R}-A\cup B=\mathbb{R}-\{x\in\mathbb{R}:x<-2\text{ ou }x>0\}=\\
\{x\in\mathbb{R}:-2\le x\le 0\}[/tex3]
quanto a [tex3]A\cap B[/tex3] temos:
[tex3]A\cap B=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}\cap\{x\in\mathbb{R}:x<-2\text{ ou }x>4\}=\\
\{x\in\mathbb{R}:x>4\}[/tex3]
pois a região comum ao dois conjunto e [tex3]x>4[/tex3]
temos que [tex3]\overline{A}=\mathbb{R}-A=\mathbb{R}-\{x\in\mathbb{R}:x>0\}=\{x\in\mathbb{R}:x\le0\}[/tex3]
comparando, temos que:
[tex3]A\cap B\ne\overline{A}[/tex3]
a)
[tex3]\overline{A\cup B}=\{x\in\mathbb{R}:-2\le x\le 0\}\\
A\cap B=\{x\in\mathbb{R}:x>4\}[/tex3]
b)
[tex3]A\cap B\ne\overline{A}[/tex3]

[Cientista]

Percebi tudo menos a união. Como você fez a união?

[candre]

esse exercício fica mais fácil de visualizar se você desenhar na reta:

ilustração

001.png (3.6 KiB) Exibido 601 vezes

na primeira reta esta representado o conjunto [tex3]A=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}[/tex3]
na segunda reta esta representado o conjunto [tex3]B=\{x\in\mathbb{R}:x<-2\text{ ou }x>4\}[/tex3]
a união junta todos os elementos dos dois conjuntos no conjunto só, o primeiro conjunto e [tex3]A=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}[/tex3] que representa todos os números reais maiores que [tex3]0[/tex3] e o conjunto [tex3]B=\{x\in\mathbb{R}:x<-2\text{ ou }x>4\}[/tex3] representa todos os números menores que [tex3]-2[/tex3] ou maiores que [tex3]4[/tex3], pegando os elementos dos dois conjuntos, temos os números menores que [tex3]-2[/tex3] e os números maiores que [tex3]0[/tex3], pegamos os números maiores que [tex3]0[/tex3] pois todos os números maiores que [tex3]4[/tex3] serão maiores que [tex3]0[/tex3] (inclusive o [tex3]4[/tex3]), que e basicamente o que esta representado na terceira reta.

[Cientista]

Candre não percebo muito esse tipo de representação, normalmente na minha região(não sei se em Brasil também representa-se assim) nós aprendemos a representar os intervalos assim como esse:

candre.png (5.8 KiB) Exibido 598 vezes

Poderia voltar a explicar-me mas representando dessa forma?

[candre]

temos a figura:

ilustraçao

003.png (4.05 KiB) Exibido 598 vezes

as setas (que não coloquei antes) servem para dizer que o conjunto continua (e não tem fim).
temos o conjunto [tex3]A[/tex3] e o conjunto dos valores maiores que [tex3]0[/tex3], teremos semirreta com inicio aberto em [tex3]0[/tex3] (pois queremos valores maiores apenas) e sem fim indo para a direita, o conjunto [tex3]B[/tex3] e o conjuntos dos valores menores que [tex3]-2[/tex3] (uma semirreta com inicio aberto em [tex3]-2[/tex3] e que segue a esquerda) ou maiores que [tex3]4[/tex3] (uma semirreta com inicio aberto em [tex3]4[/tex3] e que segue a direita).
para fazemos a união destes dois conjuntos colocamos todas as semi-retas juntas em uma reta, tendo a terceira reta, que equivale ao conjunto [tex3]\{x\in\mathbb{R}:x<-2\text{ ou }x>0\}[/tex3].

[Cientista]

Uma outra forma de fazer é sabendo que [tex3]B: x<-2[/tex3]={[tex3]-3;-4;-5..[/tex3].} e [tex3]x>4=[/tex3]{[tex3]5,6,7,..[/tex3].} e [tex3]A: x>0=[/tex3]{[tex3]1,2,3,4,5,6,7,..[/tex3].} então fazendo a intersecção(saber o que ambos tem em comum) temos [tex3]5,6,7...[/tex3] então A intersecção com [tex3]B=[/tex3]{[tex3]5,6,7...[/tex3]} que corresponde a [tex3]x>4(5,6,7,...)[/tex3]. Se queremos a união teremos [tex3]]-\infty;-2[\cup]0;+\infty\cup 4;+\infty[[/tex3] então sabemos que a união será dado por valores que estam na ponta( a esquerda) e os valores que estam na outra ponta(direita) porque a que está no meio é apenas a continuação, então teremos [tex3]]-\infty;-2\cup 4;+\infty[[/tex3] em intervalos temos [tex3]-2>x[/tex3] ou [tex3]x>4[/tex3], agora se eu quero o complementar basta lembrar de proposições, que o complementar(conjuntos) na familía da proposições ele é negação, isto é, Complementar(conjunto)=Negação(proposições) então sabemos que [tex3]\sim(x>4)[/tex3]=[tex3]x\leq 4[/tex3] o mesmo acontece ai, e sabendo que o "ou" passa para "e" pois estamos a fazer o complementar(negação), e sabemos que "ou-U"(união-conjuntos)="ou-V"(proposições) o mesmo funciona com o "e" que sabemos que é a intersecção, então o intervalo fica [tex3]\sim(-2>x[/tex3] ou [tex3]x>4)= x\geq -2 e x\leq 4[/tex3] ou fazendo em intervalos temos -[tex3]2\leq x\leq 4[/tex3] !!