Pré-Vestibular ⇒ (UNICAMP)Triângulos - Incentro e Circuncentro

[Brunojasp]

Na figura seguinte, I é o incentro do triângulo ACZ. Se AZ = 7, AC = 9 e FE é paralelo a ZC, então o perímetro do triângulo AFE é:

a) 14
b) 18
c) 32
d) 16
e) 63

[Brunojasp]

Alguém?

[Juniorhw]

Olá Brunojasp,

Observe a imagem:

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Traçamos os dois segmentos pontilhados e, sabendo que o incentro é a intersecção das bissetrizes, temos que os ângulos [tex3]F\widehat{Z}I=I\widehat{Z}C=\alpha[/tex3]. O mesmo para os ângulos [tex3]E\widehat{C}I=I\widehat{C}Z=\beta[/tex3]. Agora observe que o ângulo [tex3]I\widehat{Z}C[/tex3] é alterno interno ao ângulo [tex3]F\widehat{I}Z[/tex3], logo este é [tex3]\alpha[/tex3]. Analogamente, [tex3]E\widehat{I}C=\beta[/tex3]. Com isso concluímos que os triângulos [tex3]\triangle ZFI[/tex3] e [tex3]\triangle EIC[/tex3] são isósceles, já que possuem dois ângulos iguais. Logo, [tex3]\overline{FI}=\overline{FZ}[/tex3] e [tex3]\overline{EI}=\overline{EC}[/tex3]. Queremos o perímetro de [tex3]\triangle AFE[/tex3], ou seja:

[tex3]x=\overline{AE}+\overline{EI}+\overline{IF}+\overline{AF}\\\\x=\overline{AE}+\overline{EC}+\overline{FZ}+\overline{AF}\\\\x=9+7=\boxed{\boxed{16}}[/tex3]

Abraço.