IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2003) Geometria Plana: Quadriláteros Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

Num quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] tem-se: [tex3]AB=42,[/tex3] [tex3]BC=48,[/tex3] [tex3]CD=64,[/tex3] [tex3]DA=49[/tex3] e [tex3]P[/tex3] é o ponto de interseção entre as diagonais [tex3]AC[/tex3] e [tex3]BD.[/tex3] Qual a razão entre os segmentos [tex3]PA[/tex3] e [tex3]PC,[/tex3] sabendo-se que a diagonal [tex3]BD[/tex3] é igual a [tex3]56?[/tex3]

a) [tex3]7/8[/tex3]
b) [tex3]8/7[/tex3]
c) [tex3]7/6[/tex3]
d) [tex3]6/7[/tex3]
e) [tex3]49/64[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Paulo,

O desenho, nas proporções corretas (fiz num software geométrico), fica:

Quadrilátero.png (12.72 KiB) Exibido 3344 vezes

Note que o triângulo [tex3]ABD[/tex3] é o triângulo de lados [tex3]6, 7[/tex3] e [tex3]8[/tex3] multiplicado por [tex3]7[/tex3] e o triângulo [tex3]BCD[/tex3] é o triângulo [tex3]6, 7, 8[/tex3] multiplicado por [tex3]8.[/tex3]

Ou seja, o triângulo [tex3]ABD[/tex3] é semelhante ao triângulo [tex3]BCD.[/tex3]

Com isso, podemos concluir que os ângulos internos dos triângulos são iguais. Particularmente, temos que os ângulos [tex3]B\hat{D}C[/tex3] e [tex3]A\hat{D}B[/tex3] são iguais, chamaremos [tex3]B\hat{D}C=A\hat{D}B =\alpha[/tex3]

Para facilitar, chamaremos também [tex3]A\hat{P}D=B\hat{P}C=\beta[/tex3] e consequentemente [tex3]A\hat{P}B=C\hat{P}D=180^{\circ}-\beta[/tex3]

Utilizando [tex3]w[/tex3] e [tex3]x[/tex3] para simbolizar [tex3]AP[/tex3] e [tex3]PC[/tex3] (como indicado na figura) respectivamente, podemos aplicar a lei dos senos no triângulo [tex3]BDC[/tex3]

[tex3]\frac{x}{\sen\alpha}=\frac{64}{\sen(180^{\circ}-\beta)}[/tex3]

Sabemos que [tex3]\sen(180^{\circ}-\beta)=\sen\beta[/tex3], portanto, podemos rescrever:

(1) [tex3]\frac{x}{\sen\alpha}=\frac{64}{\sen\beta}[/tex3]

E aplicando a lei dos senos no triângulo [tex3]APD,[/tex3] temos:

(2) [tex3]\frac{49}{\sen\beta}=\frac{w}{\sen\alpha}[/tex3]

Multiplicando as equaçõs (1) e (2), temos:

[tex3]\frac{49x}{\sen\alpha\cdot\sen\beta}=\frac{64w}{\sen\beta\cdot\sen\alpha}[/tex3]

[tex3]49x=64w[/tex3]

[tex3]\frac{49}{64}=\frac{w}{x}[/tex3]

[Thales Gheós]

Note que o triângulo [tex3]ABD[/tex3] é o triângulo de lados [tex3]6, 7[/tex3] e [tex3]8[/tex3] multiplicado por [tex3]7[/tex3] e o triângulo [tex3]BCD[/tex3] é o triângulo [tex3]6, 7, 8[/tex3] multiplicado por [tex3]8.[/tex3]

Ou seja, o triângulo [tex3]ABD[/tex3] é semelhante ao triângulo [tex3]BCD[/tex3].

Quadrilátero.png (12.72 KiB) Exibido 3334 vezes

[tex3]ABD[/tex3] e [tex3]BCD[/tex3] são triângulos que possuem um lado em comum e os outros dois diferentes. Possuem os tres ângulos diferentes. Não podem ser semelhantes.

[cajuADMIN]

Olá Thales,

Existem duas situações onde dois triângulos são considerados semelhantes

1) Quando todos os ângulos são iguais;
2) Quando os lados são proporcionais.

E uma coisa legal é que, quando satisfizer a primeira condição, a segunda é satisfeita automaticamente, e vice-versa.

Na situação deste problema, temos dois triângulos que derivaram de um mesmo triângulo, o triângulo de lados 6, 7 e 8.

Veja a figura abaixo:

2_thales_3.jpg (11.27 KiB) Exibido 488 vezes

Note que os três triângulos da figura são semelhantes, pois apenas multiplicamos os lados por uma constante em cada situação.

Note também que os triângulos da direita são exatamente os triângulos que aparecem no problema.

Se são semelhantes pela regra 2, então a regra 1 também é satisfeita: Os dois triângulos possuem os ângulos internos iguais.

[Thales Gheós]

Valeu, Mestre! agora entendi.