Ensino Médio ⇒ Uma aplicação da Desigualdade das Médias

[italoemanuell]

Se [tex3]x,\,y[/tex3] e [tex3]z[/tex3] são reais e satisfazem [tex3]x\,+\,y\,+\,z\,=\,5[/tex3] e [tex3]yz\,+\,zx\,+\,xy\,=\,3[/tex3], prove que [tex3]\text{-} 1\,\leq \, z\,\leq\, \Large\frac{13}{3}\large .[/tex3]

[Karl Weierstrass]

Outra aplicação da Desigualdade das Médias.

• [tex3]x\,+\,y\,+\,z\,=\,5\,\Longrightarrow \,\boxed{\,x\,+\,y\,=\,5\,-\,z}[/tex3]
  
  [tex3]yz\,+\,zx\,+\,xy\,=\,3\,\Longrightarrow\, z(x\,+\,y)\,+\,xy\,=\,3\,\Longrightarrow\, \boxed{xy\,=\,3\,-\,z(5\,-\,z)}[/tex3]

Mas

• [tex3]\Large\frac{x\,+\,y}{2}\large\,\geq\,\sqrt{xy}\,\Longrightarrow \,\Large\frac{(x\,+\,y)^2}{4}\large\,\geq\,xy\,\Longrightarrow \,\Large\frac{(5\,-\,z)^2}{4}\large\,\geq\,3\,-\,z(5\,-\,z)[/tex3]

Resolvendo essa inequação encontramos o resultado pedido.