Ensino Superior ⇒ Função de Variável Real Tópico resolvido

[Willm17]

Mostre que se [tex3]0\leq x\leq \frac{\pi }{4}[/tex3] então [tex3]\left|\cos x-\(1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}\)\right|<10^{-3}[/tex3]

[candre]

temos que:
[tex3]1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}[/tex3]
e um polinômio/serie de taylor da função cosseno, temos que um polinômio de Taylor e dado por:
[tex3]T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(a)\frac{(x-a)^k}{k!}[/tex3]
sendo que:
[tex3]f^{0}(a)=f(a)[/tex3]
o problema equivale a achar em que região a serie de taylor truncada (ou seja, considerada ate a [tex3]n[/tex3] enesima potencia) aproxima a função de forma que o erro de seja menor que [tex3]10^{-3}[/tex3], primeiro temos que:
[tex3]f(a)=\cos(a)\\
f'(a)=-\sin(a)\\
f''(a)=-\cos(a)\\
f'''(a)=\sin(a)\\
f^{(4)}(a)=\cos(a)[/tex3]
temos que existe uma periodicidade nas derivadas, de forma que:
[tex3]f(a)=f^{(4)}(a)=\cdots=\cos(a)\\
f'(a)=f^{(5)}(a)=\cdots=-\sin(a)\\
f''(a)=f^{(6)}(a)=\cdots=-\cos(a)\\
f'''(a)=f^{(7)}(a)=\cdots=\sin(a)[/tex3]
no caso [tex3]a[/tex3] e o centro de expansão, sendo que temos [tex3]a=0[/tex3], tendo:
[tex3]T_n(x)=f(a)+\sum_{k=1}^{n}f^{(k)}(a)\frac{(x-a)^k}{k!}=\\
f(0)+\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(0)\frac{x^k}{k!}[/tex3]
temos:
[tex3]f(0)=f^{(4)}(0)=\cdots=1\\
f'(0)=f^{(5)}(0)=\cdots=0\\
f''(0)=f^{(6)}(0)=\cdots=-1\\
f'''(0)=f^{(7)}(0)=\cdots=0[/tex3]
obtendo ao truncar na [tex3]6[/tex3] potencia:
[tex3]T_6(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}[/tex3]
temos uma estimação do erro e dada por:
[tex3]|f(b)-T_{n}(b)|=\left|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}b^{(n+1)}\right|=\epsilon[/tex3]
tendo:
[tex3]\left|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}b^{(n+1)}\right|\le\epsilon[/tex3]
onde [tex3]\xi\in[-b|b][/tex3], como a serie foi truncada na sexta potencia temos:
[tex3]\left|\frac{f^{(7)}(\xi)}{7!}b^{7}\right|\le\epsilon\\
\left|\frac{f^{(7)}(\xi)}{7!}\right|b^7\le\epsilon~~~~~~|x|\le b[/tex3]
substituindo alguns dados temos:
[tex3]\frac{|\sin\xi|}{7!}b^7\le10^{-3}\\
|\sin\xi|b^7\le10^{-3}7!=10^{-3}5040=5,04\\
|\sin\xi|b^7\le 5,04[/tex3]
sendo [tex3]b=\frac{\pi}{4}[/tex3] temos que no máximo [tex3]\sin\frac{\pi}{4}\left(\frac{\pi}{4}\right)^7\approx0,13[/tex3] obtendo:
[tex3]|\sin\xi|b^7\le0,13<5,04[/tex3]
portanto a função e bem aproximada com o truncamento de [tex3]6[/tex3] termos no intervalo de [tex3]0\le x\le\frac{\pi}{4}[/tex3]
inclusive, temos que [tex3]\frac{\pi}{3}>\frac{\pi}{4}[/tex3] de modo que:
sendo [tex3]b=\frac{\pi}{3}[/tex3] temos no máximo [tex3]\sin\frac{\pi}{3}\left(\frac{\pi}{3}\right)^7\approx1,2[/tex3] obtendo:
[tex3]|\sin\xi|b^7\le1,2<5,04[/tex3]
portanto poderíamos ter tomado esta aproximação no intervalo [tex3]0\le x\le\frac{\pi}{3}[/tex3]
poderíamos efetuar [tex3]\epsilon=\left|T_6\left(\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right|[/tex3] em uma calculadora, temos [tex3]\epsilon\approx0,0000036[/tex3]