Ensino Superior ⇒ Demontrar limite utilizando a definicao de limite Tópico resolvido

[Ardovino]

Demonstrar que o limite de x^2 quando x tende a 1 eh igual a 1 utilizando a definicao de limite.

Eu entendi a definicao formal de limite, soh que nao entendo a demonstracao para isso, alguem poderia resolver passo a passo???


Obrigado.

[ManUtd]

Acho que vc quer dizer a definição formal de limite né?


[tex3]\lim_{x \to 1} \; x^2=1[/tex3]


Dado [tex3]\epsilon>0[/tex3] então existe um [tex3]\delta>0[/tex3], tal que :

[tex3]0<|x-1|<\delta[/tex3] se e somente se [tex3]|x^2-1|< \epsilon[/tex3]



perceba que [tex3]|x^2-1|< \epsilon \;\; \Leftrightarrow \;\; |(x-1)*(x+1)|< \epsilon[/tex3]

O único jeito de achar um [tex3]\delta>0[/tex3] para todo [tex3]\epsilon>0[/tex3] é achar uma constante [tex3]C[/tex3] tal que :


[tex3]|(x-1)*(x+1)|<C|x-1|<\epsilon[/tex3]


para isso supomos o valor de [tex3]\delta=1[/tex3], então ficamos com :

[tex3]|x-1|<1 \;\; \Leftrightarrow \;\; 0<x<2[/tex3] e ainda : [tex3]1<|x+1|<3[/tex3], perceba que podemos colocar em módulo já que [tex3]x[/tex3] é sempre positivo então [tex3]x+1[/tex3] sempre será positivo tbm.Então ficamos com:


[tex3]0<|x-1|<\delta[/tex3] se e somente se [tex3]|(x-1)*(x+1)|<3|x-1|< \epsilon \;\; \Leftrightarrow \;\; 3|x-1|< \epsilon \;\; \Leftrightarrow \;\; |x-1|<\frac{\epsilon}{3}[/tex3] .


agora bastar tomar : [tex3]\delta=\frac{\epsilon}{3}[/tex3]. Perceba que temos dois valores para [tex3]\delta[/tex3] então queremos o menor dos dois, uma notação para isso é [tex3]\delta=min\left\{ 1,\frac{\epsilon}{3} \right\}[/tex3]


att.