Ensino Fundamental ⇒ Demonstração de propriedade.

[StuWysocky]

A minha dúvida é a seguinte:


[tex3]\sqrt[]{a^2}[/tex3]=lal (módulo de a)
[tex3](\sqrt[]{a})^2[/tex3]=a

mas [tex3](\sqrt[]{a})^2[/tex3] não é igual a [tex3]\sqrt[]{a^2}[/tex3] ?

por que um tira o módulo e o outro não?

[Juniorhw]

StuWysocky,

[tex3]\sqrt{a^2}=|a|[/tex3], para qualquer [tex3]a\in\mathbb{R}[/tex3]

Agora:

[tex3]\sqrt{a}^2=\sqrt{a^2}[/tex3] apenas para [tex3]a\in\mathbb{R}_+[/tex3], ou seja, apenas para valores de [tex3]a[/tex3] reais maiores ou iguais a zero.

Se [tex3]a\geq 0[/tex3]:

[tex3]\sqrt{a}^2=\sqrt{a^2}=|a|=a[/tex3]

Se [tex3]a<0[/tex3]:

[tex3]\sqrt{a}=\sqrt{-1(-a)}=i\sqrt{-a}[/tex3]

Obs: perceba que se [tex3]a<0,\,\,-a>0[/tex3], continuando:

[tex3]\sqrt{a}^2=(i\sqrt{-a})^2=i^2\cdot \sqrt{(-a)^2}=i^2\cdot |-a|=-1\cdot (-a)=a[/tex3]

Com essas duas últimas conclusões, tiramos que [tex3]\sqrt{a}^2=a[/tex3]

Exemplos:

[tex3]\sqrt{3^2}=|3|=3\\\\\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2\\\\\sqrt{-2}^2=(i\sqrt{2})^2=-1\cdot 2=-2[/tex3]

Espero que ajude.