Maratonas de Matemática ⇒ III Maratona de Matemática IME/ITA

[theblackmamba]

Solução do Problema 10

afa.png (8.29 KiB) Exibido 7680 vezes

Por Pitágoras temos:
[tex3]r^2=8^2-5^2[/tex3]
[tex3]\boxed{r=\sqrt{39}}[/tex3]. Letra C

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Problema 11

(AFA - 1998) O valor de [tex3]\sen \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}+...+\frac{\pi}{2^n}+...\right)[/tex3], [tex3]n\,\,\in\,\,\mathbb{N}[/tex3] é:

[tex3]a)\,\,-1[/tex3]
[tex3]b)\,\,0[/tex3]
[tex3]c)\,\,\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]d)\,\,1[/tex3]

Resposta

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[tex3]b)[/tex3]

[PedroB]

Solução do problema 11:

Soma de infinitos termos de uma PG de razão [tex3]q=\frac{1}{2}[/tex3] e [tex3]a_1=\frac{\pi }{2}[/tex3]:

[tex3]S=\frac{a_1}{1-q}[/tex3]

[tex3]S=\frac{\frac{\pi }{2}}{\frac{1}{2}}=\pi[/tex3]

Portanto, [tex3]\sen\pi = 0[/tex3] Letra B.

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Problema 12:

(ITA 2013) Uma reta [tex3]r[/tex3] tangencia uma circunferência num ponto [tex3]B[/tex3] e intercepta uma reta [tex3]s[/tex3] num ponto [tex3]A[/tex3] exterior à circunferência. A reta [tex3]s[/tex3] passa pelo centro desta circunferência e a intercepta num ponto [tex3]C[/tex3], tal que o ângulo [tex3]ABC[/tex3] seja obtuso. Então o ângulo [tex3]CAB[/tex3] é igual a?

a) [tex3]\frac{1}{2}\widehat{ABC}[/tex3]
b) [tex3]\frac{3\pi}{2}-2\widehat{ABC}[/tex3]
c) [tex3]\frac{2}{3}\widehat{ABC}[/tex3]
d) [tex3]2\widehat{ABC}-\pi[/tex3]
e) [tex3]\widehat{ABC}-\frac{\pi}{2}[/tex3]

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 12

Do enunciado tiramos,

ITA-2013.png (10.94 KiB) Exibido 7536 vezes

Temos,
[tex3]2\alpha +\beta =90^{\circ}[/tex3]
[tex3]\beta=90^{\circ}-2\alpha[/tex3]
[tex3]\widehat{CAB}=\frac{\pi}{2}-2\(\widehat{ABC}-\frac{\pi}{2}\)[/tex3]
[tex3]\boxed{\widehat{CAB}=\frac{3\pi}{2}-2\widehat{ABC}}[/tex3]. Letra B

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Problema 13

(IME 1963) Dar os valores de [tex3]x[/tex3] que satisfazem a inequação [tex3]x^2-2>-x^2+4x+4[/tex3]

Resposta

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[tex3]x<-1[/tex3] ou [tex3]x>3[/tex3]

[theblackmamba]

Solução do Problema 13

[tex3]2x^2-4x-6>0[/tex3]
[tex3]x^2-2x-3>0[/tex3]
[tex3](x+1)(x-3)>0[/tex3]

Como a concavidade da parábola é para cima então temos:
[tex3]\begin{cases}x+1<0\\x-3>0\end{cases}[/tex3]
[tex3]\boxed{x<-1 \,\, \cup \,\,x>3}[/tex3]

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Problema 14

(AFA - 2002) Ao saltar do avião que sobrevoa o ponto A (veja figura), um paraquedista cai e toca o solo no ponto V. Um observador que está em R contacta a equipe de resgate localizada em O. A distância, em [tex3]km[/tex3], entre o ponto em que o paraquedista tocou o solo e a equipe de resgate é igual :

afa_2002_q32.png (8.13 KiB) Exibido 7520 vezes

[tex3]a)\,\,1,15\\b)\,\,1,25\\c)\,\,1,35\\d)\,\,1,75[/tex3]

Resposta

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b)

[PedroB]

Solução do problema 14

[tex3]1^{2}+3^{2}=OR^{2}[/tex3]

[tex3]OR = \sqrt{10}[/tex3]

[tex3]\text{sen}\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}[/tex3]

[tex3]\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}[/tex3]

[tex3]\text{sen} (2\alpha) = 2\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}\cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{5}[/tex3]

[tex3]\text{sen}(2 \alpha) = \frac{VA}{VR}[/tex3]

[tex3]VA = \frac 35\cdot VR[/tex3]

[tex3]VA^{2}+AR^{2}=VR^{2}[/tex3]

[tex3]VA^{2} + 9 = \frac{25}{9}\cdot VA^{2}[/tex3]

[tex3]VA = \sqrt{\frac{81}{16}}[/tex3]

[tex3]VA = 2,25[/tex3]

[tex3]VO = VA - OA = 1,25[/tex3]

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Problema 15

(AFA-89) Para que o valor mínimo da função [tex3]y = x^2-4x+k[/tex3] seja igual a [tex3]-1[/tex3], o valor de [tex3]k[/tex3] é :

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

[theblackmamba]

Solução do Problema 15

O valor mínimo é obtido substituindo o valor da abcissa do vértice:

[tex3]X_v=\frac{-(-4)}{2\cdot 1}=2[/tex3]

[tex3]-1=2^2-4\cdot 2+k\,\therefore\,\boxed{k=3}[/tex3]. Letra C

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Problema 16

(IME 2007) Sejam [tex3]z\,\text{ e }\,w[/tex3] números complexos tais que:

[tex3]\begin{cases}w^2-z^2=4+12i\\\overline{z}-\overline{w}=2+4i\end{cases}[/tex3]

onde [tex3]\overline{z}\text{ e }\overline{w}[/tex3] representam, respectivamente, os números complexos conjugados de [tex3]x\text{ e }w[/tex3]. O valor de [tex3]z+w[/tex3] é:

a) [tex3]1-i[/tex3]
b) [tex3]2+i[/tex3]
c) [tex3]-1+2i[/tex3]
d) [tex3]2-2i[/tex3]
e) [tex3]-2+2i[/tex3]

Resposta

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d)

[jrneliodias]

Solução do problema 16

[tex3]\begin{cases}w^2-z^2=4+12i\,\,\,\cdots(1)\\\overline{z}-\overline{w}=2+4i\,\,\,\cdots (2)\end{cases}[/tex3]

Em [tex3](2)[/tex3]:
[tex3]\bar{z}-\bar{w}=2+4i\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\overline{z-w}=2+4i\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,z-w=2-4i\,\,\,\cdots(3)[/tex3]

Em [tex3](1)[/tex3]:
[tex3]w^2-z^2=4+12i\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,(w+z)(w-z)=4+12i\,\,\,\,\cdots(4)[/tex3]

Substituindo [tex3](3)[/tex3] em [tex3](4)[/tex3]:
[tex3]w+z=\frac{4+12i}{-2+4i}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\boxed{w+z=2-2i}[/tex3]

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Problema 17

(ITA - 1978) Seja o triângulo de vértices [tex3]A(1,2)[/tex3]; [tex3]B(2,4)[/tex3] e [tex3]C(4,1)[/tex3], no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a distância do ponto de encontro das alturas desse triâguulo ao lado AC, é:

[tex3]a)\,\,\frac{9\sqrt{10}}{70}[/tex3]

[tex3]b)\,\,\frac{9}{70}[/tex3]

[tex3]c)\,\,8\sqrt{10}[/tex3]

[tex3]d)\,\,3\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]e)\,\,n.d.a[/tex3]

Resposta

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Gabarito: a

[felps]

Solução do Problema 17

Primeiro, deve-se encontrar a reta determinada pelos pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3]:

[tex3]m_{AC} = \frac{2-1}{1-4}[/tex3]
[tex3]m_{AC}= -\frac{1}{3}[/tex3]

[tex3]y = -\frac{1}{3}x + n[/tex3]
[tex3]2 = -\frac{1}{3} + n[/tex3]
[tex3]n = \frac{7}{3}[/tex3]

[tex3]y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3}[/tex3]

Agora, deve-se encontrar a reta onde está o ortocentro [tex3]O[/tex3] e o ponto [tex3]B[/tex3]:

[tex3]m_{OB} \times m_{AC} = -1[/tex3]
[tex3]m_{OB} = 3[/tex3]

[tex3]y = 3x + n[/tex3]
[tex3]4 = 6 + n[/tex3]
[tex3]n = -2[/tex3]

[tex3]y = 3x - 2[/tex3]

Agora, deve-se encontrar o coeficiente angular da reta determinada pelos pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3]:

[tex3]m_{AB} = \frac{4-2}{2-1}[/tex3]
[tex3]m_{AB} = 2[/tex3]

Agora, deve-se encontrar a reta onde está o ortocentro [tex3]O[/tex3] e o ponto [tex3]C[/tex3]:

[tex3]m_{OC} \times m_{AB} = -1[/tex3]
[tex3]m_{OC} = -\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]y = -\frac{1}{2}x + n[/tex3]
[tex3]1 = -2 + n[/tex3]
[tex3]n = 3[/tex3]

[tex3]y = -\frac{1}{2}x + 3[/tex3]

Agora é só encontrar o ponto de intersecção entre as retas:

[tex3]y = -\frac{1}{2}x + 3[/tex3]
[tex3]y = 3x - 2[/tex3]

[tex3]\frac{7}{2}x-5 = 0[/tex3]
[tex3]x = \frac{10}{7}[/tex3]

[tex3]y = \frac{16}{7}[/tex3]

[tex3]O\left(\frac{10}{7},\frac{16}{7}\right)[/tex3]

Distância entre o ponto [tex3]O[/tex3] e a reta [tex3]AC[/tex3]:

[tex3]y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3}[/tex3]
[tex3]D = \frac{\left|-\frac{1}{3}\times\frac{10}{7} -1 \times \frac{16}{7}+\frac{7}{3}\right|}{\sqrt{\left(-\frac{1}{3}\right)^2+1}}[/tex3]
[tex3]D = \frac{9\sqrt{10}}{70}[/tex3]

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Problema 18

(IME - 96/97) Dados os pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] do plano, determine a equação do lugar geométrico dos pontos [tex3]P[/tex3] do plano, detal modo que a razão entre as distâncias de [tex3]P[/tex3] a [tex3]A[/tex3] e de [tex3]P[/tex3] a [tex3]B[/tex3] seja dada por uma constante [tex3]k[/tex3]. Justifique a sua resposta analiticamente, discutindo todas as possibilidades para [tex3]k[/tex3].

Resposta

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Lugar geométrico de P é uma circunferência de raio [tex3]r=\frac{k}{|1-k^2|}\overline{AB}[/tex3]
Possibilidades para k.
[tex3]k=0[/tex3]; Ponto A.
[tex3]k=1[/tex3]; Reta mediatriz [tex3]\overline{AB}[/tex3]
[tex3]k=\infty[/tex3]; Ponto B.

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 18

Do enunciado tiramos
[tex3]\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=k[/tex3]
[tex3]\sqrt{(x-x_a)^2+(y-y_a)^2}=k\sqrt{(x-x_b)^2+(y-y_b)^2}[/tex3]
[tex3](1-k^2)x^2-2(x_a-k^2x_b)x+(x_a^2-k^2x_b^2)+(1-k^2)y^2-2(y_a-k^2y_b)y+(y_a^2-k^2y_b^2)=0[/tex3]

Dividindo tudo por [tex3](1-k^2)[/tex3] e completando quadrado, encontramos
[tex3]\left[x-\frac{(x_a-k^2x_b)^2}{1-k^2}\right]^2+\left[y-\frac{(y_a-k^2y_b)^2}{1-k^2}\right]^2=\frac{k^2}{(1-k^2)^2}[(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2][/tex3]

[tex3]\left[x-\frac{(x_a-k^2x_b)^2}{1-k^2}\right]^2+\left[y-\frac{(y_a-k^2y_b)^2}{1-k^2}\right]^2=\frac{k^2}{(1-k^2)^2} \overline{AB}^2[/tex3]

Que representa uma circunferência.(Círculo de Apolônio)

Possibilidades para [tex3]k[/tex3].

Para [tex3]k=0[/tex3] temos [tex3]\overline{PA}=0[/tex3], assim temos o ponto [tex3]A[/tex3].

Para [tex3]k=1[/tex3] temos [tex3]\overline{PA}=\overline{PB}[/tex3], assim temos uma reta mediatriz de [tex3]\overline{AB}[/tex3]

Para [tex3]k=\infty[/tex3] com [tex3]\frac{\,\,\overline{PA}\,\,}{\overline{PB}}=k[/tex3], temos o ponto [tex3]B[/tex3].

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Problema 19
(IME-1955/1956) Achar a soma da série [tex3]1+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\cdots[/tex3]

Resposta

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[tex3]\frac{7}{4}[/tex3]

[Radius]

Solução do problema 19

A série pode ser reescrita como

[tex3]1+\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{2\cdot4}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{4\cdot 6}+\cdots [/tex3]

[tex3]=1+ \sum_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k(k+2) }[/tex3]

[tex3]=1+ \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty } \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right) [/tex3]

[tex3]=1+\frac{1}{2}\left[ \left(1-\frac{1}{3}\right)+ \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+ \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right) + \cdots \right] [/tex3]

[tex3]=1+\frac{1}{2}\left[ 1+\frac{1}{2} \right] [/tex3]

[tex3]=\boxed{\frac{7}{4}}[/tex3]

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Problema 20

(AFA - 1998) Entrevistando 100 oficiais da AFA, descobriu-se que 20 deles pilotam a aeronave TUCANO, 40 pilotam o helicóptero ESQUILO e 50 não são pilotos. Dos oficiais entrevistados, quantos pilotam o TUCANO e o ESQUILO?

a) 5
b) 10
c) 15
d) 20