Pré-Vestibular ⇒ (República de Moçambique - 2010) Inequaçao Exponencial

[PedroB]

Verdade... mas também poderia tentar resolver sem utilizar logaritimos, ficando [tex3]2^{-x}[/tex3] < [tex3]-x^{2}[/tex3] - 2x + 1 [tex3]\rightarrow[/tex3] ([tex3]-x^{2}[/tex3] -2x + 1 ). [tex3]2^{x}[/tex3] +1 > 0
Pode ser que exista alguma propriedade para resolver isso, mas desconheço-a

[emanuel9393MOD]

Olá, Pessoal!


Eu resolvi e realmente não tinha percebido o gabarito (peço perdão pela falta de atenção). Mas não estou concordando com a argumentação do Cássio. Veja:

Mas é fácil perceber que a função [tex3]y=-x^2-2x+1[/tex3] pode atingir valores negativos.

Se você afirma isso, então poderíamos ter [tex3]y \, = \, k[/tex3] com [tex3]k \, < \, 0[/tex3]. A desigualdade, nesse caso, ficaria [tex3]2^{-x} \, < \, y \,\,\, \Rightarrow \,\,\, 2^{-x} \, < \, k[/tex3], o que é um absurdo, pois [tex3]2^{-x} \, > \, 0 \, , \, \forall x \in \mathbb{R}[/tex3]. Logo, [tex3]y[/tex3] não pode ter valores negativos (você mesmo pode ver o gráfico que fez e constatar). Outra coisa:

na desigualdade [tex3]2^{-x}<-x^2-2x+1[/tex3] , não existe restrição para os valores de enquanto em [tex3]-x<\log_2(-x^2-2x+1)[/tex3] existe restrição.

Mas é claro que na desigualdade [tex3]2^{-x}<-x^2-2x+1[/tex3] existe restrição. É a mesma restrição de [tex3]-x<\log_2(-x^2-2x+1)[/tex3], ou seja [tex3]-x^{2} \, - \, 2x \, + \, 1 \, > \, 0[/tex3]. É por isso que eu acho, Cássio, que essa implicação está correta.
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Pessoal, está nítido que a minha resolução está errada, mas acho que o erro não seja esse apontado por Cássio. Se o erro realmente for esse, expliquem melhor.

Grande abraço!

[Cássio]

Oi, Patrick.

Na minha humilde opinião, a expressão [tex3]a<b[/tex3] pode representar uma pergunta, como se fosse verdadeiro ou falso. Quando você vê [tex3]3>5[/tex3], diz que ela é falsa. Ou você diz: "isso é um indeterminação, não sei o significado disso"?

Na expressão [tex3]2^{-x}<-x^2-2x+1,[/tex3] para todo [tex3]x[/tex3] real existe uma resposta: verdadeira ou falsa. No entanto, para um mesmo real [tex3]x,[/tex3] a expressão [tex3]-x<\log_2(-x^2-2x+1)[/tex3] não tem significado, não tem resposta (ao meu ver).

O que eu pensei que invalidava sua solução era essa implicação, mas realmente, pensando melhor, a expressão [tex3]2^{-x}<-x^2-2x+1[/tex3] implica naquilo que você encontrou.

Eu resolvi e realmente não tinha percebido o gabarito (peço perdão pela falta de atenção). Mas não estou concordando com a argumentação do Cássio. Veja:

Mas é fácil perceber que a função [tex3]y=-x^2-2x+1[/tex3] pode atingir valores negativos.

Se você afirma isso, então poderíamos ter [tex3]y \, = \, k[/tex3] com [tex3]k \, < \, 0[/tex3]. A desigualdade, nesse caso, ficaria [tex3]2^{-x} \, < \, y \,\,\, \Rightarrow \,\,\, 2^{-x} \, < \, k[/tex3], o que é um absurdo, pois [tex3]2^{-x} \, > \, 0 \, , \, \forall x \in \mathbb{R}[/tex3]. Logo, [tex3]y[/tex3] não pode ter valores negativos (você mesmo pode ver o gráfico que fez e constatar).
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Não creio que errei, eu fiz uma afirmação referente à função [tex3]y=-x^2-2x+1[/tex3]. E ela realmente atinge valores negativos.

Outra coisa:

na desigualdade [tex3]2^{-x}<-x^2-2x+1[/tex3] , não existe restrição para os valores de enquanto em [tex3]-x<\log_2(-x^2-2x+1)[/tex3] existe restrição.

Mas é claro que na desigualdade [tex3]2^{-x}<-x^2-2x+1[/tex3] existe restrição. É a mesma restrição de [tex3]-x<\log_2(-x^2-2x+1)[/tex3], ou seja [tex3]-x^{2} \, - \, 2x \, + \, 1 \, > \, 0[/tex3]. É por isso que eu acho, Cássio, que essa implicação está correta.

Novamente, ao meu ver, existe restrição. Na primeira desigualdade, para qualquer real é possível avaliar a validez da desigualdade ou não. No entanto, na segunda desigualdade não é possível avaliar para certos reais.
É possível avaliar se a inequação [tex3]3>5[/tex3] é verdadeira. Mas não é possível avaliar [tex3]1<\log_2(-1).[/tex3]


Momentaneamente mudo minha opinião e acredito sua implicação ser verdadeira. "Voltaremos daqui a pouco com maiores informações"

[emanuel9393MOD]

Percebo que fiz uma confusão e acabei criando um debate "sem pé nem cabeça". Para terminar de vez essa discussão, vou tentar apresentar outra resolução que obrigatoriamente necessita do esboço de gráficos:
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Podemos fazer a seguinte implicação:
[tex3]2^{-x} \, < \, -x ^{2} \, - \, 2x \, + \, 1 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \left(\frac{1}{2}\right)^{x} \, < \, -x^{2} \, - \, 2x \, + \, 1[/tex3]
Vamos analisar as funções [tex3]f\left(x\right) \, = \,\left(\frac{1}{2}\right)^{x}[/tex3] e [tex3]g\left(x\right) \, = \, -x^{2} \, - \, 2x \, + \, 1[/tex3]:
Observe que a função [tex3]f\left(x\right)[/tex3] é uma exponencial decrescente e intercecta o eixo [tex3]y[/tex3] no ponto [tex3]\left(0,1\right)[/tex3]. O seu gráfico, portanto é:

gráfico f(x).png (5.76 KiB) Exibido 538 vezes

A função [tex3]g\left(x\right)[/tex3] é uma parábola com concavidade "voltada" para baixo. As suas raízes são [tex3]x \, = \, -1 \, \pm \, \sqrt{2}[/tex3] e o seu ponto crítico é [tex3](-1,2)[/tex3]. Esboçando o seu gráfico:

gráfico f(x).png (8.61 KiB) Exibido 538 vezes

Podemos tirar alguma observações importantes entre esses dois gráficos. Primeiro vemos que o ponto [tex3](0,1)[/tex3]é um a intersecão desses dois gráficos e segundo que nas proximidades da esquerda de [tex3]x \,= \, 0[/tex3] a concavidade de [tex3]f\left(x\right)[/tex3] é voltada para cima enquanto que a de [tex3]g\left(x\right)[/tex3] é voltada para baixo. Essa observação nos induz a afirmar que para os pontos ligeiramente próximos à esquerda da interseção [tex3](0,1)[/tex3] desses dois gráficos, temos [tex3]g\left(x\right) > f(x)[/tex3], mas a partir do ponto [tex3]\left(-1,2\right)[/tex3] [tex3]g\left(x\right)[/tex3] vai decrescer e essas duas funções vão se interceptar. Precisamos encontrar o próximo ponto de interseção. Basta perceber, pelas semelhanças dos gráficos que esse ponto é [tex3]\left(-1,2\right)[/tex3] (um raciocínio bem intuitivo seria pensar a abcissa desse ponto de interseção estaria ente [tex3]-1-\sqrt{2}[/tex3] e [tex3]0[/tex3] e , automaticamente, você acabaria testando [tex3]x \, = \, -1[/tex3] ). Com isso, se em [tex3]x \, = \, -1[/tex3] e [tex3]x \, = \, 0[/tex3] são os únicos pontos de interseção, tem-se:
[tex3]f \left(x\right) \, < \, g\left(x\right) \, \Leftrightarrow \, \boxed{\boxed{x \, \in \, ]-1,0[}}[/tex3]

Todos estão satisfeitos??
Um abraço!

[Mat3matic0]

Eu descobri que para resolver esse exercicio, faça o seguinte, olhe nas funçoes onde é que f(x)=g(x)[ olhe no meio] e daí poem uma bola onde eles intersectam, neste caso eles sao iguais onde corta 1 no eixo y e atrás corta numa partinha, onde voce poem a tal bolinha, desça ela para baixo, e vai ver que ele vai descer para o -1 e a outra parte vai descer para 0, entao daí basta voceolhar para o sinal da desigualidade, como esta dizendo/>(maior ou igual) entao voce poem os tais valores que voce apanhou quando desceu -1 e 0 mas como a desigualidade diz maior ou igual, ponha as chavetas fechadas, isto é, [-1, 0] ou pode por ]- infinito, -1]U[0, mais infinito] o mesmo se faz com as outras desigualidades, procurei alguns exercicio na net, aqui no Forum, e nos livros apliquei esse segredinho, e deu certo! Foi uma forma de simplificar mais o tempo, só que a dúvida que eu tinha era de como resolve-la sem o uso de logaritmos, agora estou vendo e nao dá para resolver, com base na leitura e estudo que eu estava tendo com os exercicios do Prof.Caju reparei que nao dá, mas se eu usar logaritmos(sendo o inverso da exponencial) eu chego lá! Valeu pessoal pelo vosso apoio, foi com base nas ideias acimas que cheguei nesse pequeno segredinho, obrigado di verdade!!