IME / ITA ⇒ (AFA - 2017) Matemática - Resolução

[brunoafa]

(02)
[tex3]P(x) = x^3 +mx^2 +nx + 12 \\ x_1 x_2=-3 \Rightarrow x_1x_2x_3 = - 3x_3 \Rightarrow - 12 = -3 x_3 \Rightarrow x_3 = 4 \\ x_2+x_3 = 5 \Rightarrow x_2 = 1 \\ x_1x_2x_3 = - 12 \Rightarrow x_1 = -3 \\ p(x) = (x-1)(x-4)(x+3) = (x^2-5x+4)(x+3) \\ p(x) = x^3+3x^2-5x^2-15x+4x+12=x^3-2x^2-11x+12 \\ x^3-2x^2-11x+12= x^3+mx^2 +nx+12 \Leftrightarrow m=-2, n=-11 \\ n-2m = -11+4 = -7[/tex3]

Errei essa questão por pura bobeira! Fiz tudo certo, menos [tex3]n[/tex3] que achei [tex3]-2[/tex3].

Igual a questão [tex3]1[/tex3], por bobagem. Dá até uma raiva.

[Marcos]

(3)

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[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Os segmentos [tex3]\overline{PQ}[/tex3] e [tex3]\overline{QR}[/tex3] paralelos, respectivamente, a [tex3]\overline{AC}[/tex3] e [tex3]\overline{AB}[/tex3].
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] A área do triângulo [tex3]ABC[/tex3] é [tex3]8 \ cm^2[/tex3].

[tex3]\triangle_{ABC}\sim\triangle_{QRC}\Leftarrow \begin{cases}\widehat{ACB}\equiv\widehat{RCQ} \ (comum) \\ \widehat{ABC}\equiv\widehat{RQC}\end{cases}[/tex3]

[tex3]\frac{S_{ABC}}{S_{QRC}}=\left(\frac{4}{1}\right)^2[/tex3]
[tex3]\frac{8}{S_{QRC}}=\left(\frac{16}{1}\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{S_{QRC}=0,5 \ cm^2}[/tex3]

[tex3]\triangle_{ABC}\sim\triangle_{BPQ}\Leftarrow \begin{cases}\widehat{ABC}\equiv\widehat{PBQ} \ (comum) \\ \widehat{ACB}\equiv\widehat{PQB}\end{cases}[/tex3]

[tex3]\frac{S_{ABC}}{S_{BPQ}}=\left(\frac{4}{3}\right)^2[/tex3]
[tex3]\frac{8}{S_{BPQ}}=\left(\frac{16}{9}\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{S_{BPQ}=4,5 \ cm^2}[/tex3]

[tex3]S_{ABC}=S_{QRC}+S_{BPQ}+S_{hach.}[/tex3]
[tex3]8=0,5+4,5+S_{hach.}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{S_{hach.}=3 \ cm^2}}\Longrightarrow Letra:(B)[/tex3]

Resposta: [tex3]B[/tex3]

[LucasPinafiMOD]

O mano diminui o tamanho das imagens ai antes de mandar... está meio ruim

[Marcos]

(03) Considere, no triângulo [tex3]ABC[/tex3] abaixo, os pontos [tex3]P[/tex3] e [tex3]\overline{AB}[/tex3], [tex3]Q \in \overline{BC}[/tex3], [tex3]R \in \overline{AC}[/tex3] e os segmentos [tex3]\overline{PQ}[/tex3] e [tex3]\overline{QR}[/tex3] paralelos, respectivamente, a [tex3]\overline{AC}[/tex3] e [tex3]\overline{AB}[/tex3]. Sabendo que [tex3]\overline{BQ}= 3 cm[/tex3], [tex3]\overline{QC}=1cm[/tex3] e que a área do triângulo [tex3]ABC[/tex3] é [tex3]8 cm^2[/tex3], então a area do parelelogram hachurado, em [tex3]cm^2[/tex3]. é igual a

O anexo geogebra-export(4).png não se encontra mais disponível

a)2
b)3
c)4
d)5

Me ferrei na prova... Chutei quase tudo. Até essa do polinômio que achava que tinha acertado parece que não! Na [tex3]01[/tex3], tem certeza que está certo? Por que eu usei a como [tex3]3[/tex3] no Geogebra e deu certinho.

geogebra-export(4).png (4.71 KiB) Exibido 1212 vezes

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Os segmentos [tex3]\overline{PQ}[/tex3] e [tex3]\overline{QR}[/tex3] paralelos, respectivamente, a [tex3]\overline{AC}[/tex3] e [tex3]\overline{AB}[/tex3].
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] A área do triângulo [tex3]ABC[/tex3] é [tex3]8 \ cm^2[/tex3].

[tex3]\triangle_{ABC}\sim\triangle_{QRC}\Leftarrow \begin{cases}\widehat{ACB}\equiv\widehat{RCQ} \ (comum) \\ \widehat{ABC}\equiv\widehat{RQC}\end{cases}[/tex3]

[tex3]\frac{S_{ABC}}{S_{QRC}}=\left(\frac{4}{1}\right)^2[/tex3]
[tex3]\frac{8}{S_{QRC}}=\left(\frac{16}{1}\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{S_{QRC}=0,5 \ cm^2}[/tex3]

[tex3]\triangle_{ABC}\sim\triangle_{BPQ}\Leftarrow \begin{cases}\widehat{ABC}\equiv\widehat{PBQ} \ (comum) \\ \widehat{ACB}\equiv\widehat{PQB}\end{cases}[/tex3]

[tex3]\frac{S_{ABC}}{S_{BPQ}}=\left(\frac{4}{3}\right)^2[/tex3]
[tex3]\frac{8}{S_{BPQ}}=\left(\frac{16}{9}\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{S_{BPQ}=4,5 \ cm^2}[/tex3]

[tex3]S_{ABC}=S_{QRC}+S_{BPQ}+S_{hach.}[/tex3]
[tex3]8=0,5+4,5+S_{hach.}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{S_{hach.}=3 \ cm^2}}\Longrightarrow Letra:(B)[/tex3]

Resposta: [tex3]B[/tex3]

[brunoafa]

(07) A solução do sistema

[tex3]\begin{cases}
\frac{x-y}{2}-\frac{x-y}{6}+\frac{x-y}{18}-\frac{x-y}{54}+...=-1 \\
3x-y=-2
\end{cases}[/tex3]

é tal que [tex3]x+y[/tex3] é igual a

a) [tex3]\frac{11}{3}[/tex3]
b) [tex3]\frac{10}{3}[/tex3]
c) [tex3]-\frac{7}{3}[/tex3]
d) [tex3]-\frac{8}{3}[/tex3]

Perdi questão por tanta bobeira q chega a dar raiva

[brunoafa]

O mano diminui o tamanho das imagens ai antes de mandar... está meio ruim

Foi mal, não sei porque a imagem está ficando desse tamanho.

[undefinied3]

06) Aplicando Chió, obtemos
[tex3]\begin{pmatrix}
1-\cos ^2(x) & -\sen (x)\cos (x) \\
2-\sen (x)\cos (x) & 1-\sen ^2(x) \\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\sen ^2(x) & -\frac{\sen (2x)}{2} \\
2-\frac{\sen (2x)}{2} & \cos ^2(x) \\
\end{pmatrix}=[/tex3]
[tex3]\sen ^2(x)\cos ^2(x)+\sen (2x)-\frac{\sen ^2(2x)}{4}=(\sen (x)\cos (x))^2+\sen (2x)-\frac{\sen ^2(2x)}{4}=[/tex3]
[tex3]\frac{\sen ^2(2x)}{4}+\sen (2x)-\frac{\sen ^2(2x)}{4}=\sen (2x)[/tex3]
[tex3]g(x)=1-\frac{|\sen (2x)|}{2}[/tex3]
Por causa do módulo, temos que [tex3]p=\frac{\pi}{2}[/tex3]
É fácil ver que a imagem é [tex3][\frac{1}{2},1][/tex3]
De fato é par, já que [tex3]g(-x)=1-\frac{|\sen (-2x)|}{2}=1-\frac{|-\sen (2x)|}{2}=1-\frac{|\sen (2x)|}{2}=g(x)[/tex3]
No intervalo [tex3]\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right][/tex3], ela é decrescente de -pi/4 até 0 e crescente de 0 até pi/4

[brunoafa]

(08) Resolva a equalção [tex3]z^3-1=0[/tex3] no conjunto dos números complexos. Considerando as raízes encontradas, analise as proposições abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).

( ) A equação possui três raízes de multiplicidade 1.
( ) Os afixos das raízes formam um triângulo equilátero cuja área é [tex3]\frac{3\sqrt3}{2}[/tex3] unidades de área.
( ) Duas das raízes são conjugadas
( ) Todas as raízes tem o mesmo módulo

A sequência correta é

a) V-F-V-V
b) V-V-F-V
c) F-F-V-F
d) V-F-V-F

[undefinied3]

07) A primeira equação é a soma de uma PG infinita de razão [tex3]-\frac{1}{3}[/tex3] e termo inicial [tex3]\frac{x-y}{2}[/tex3].
[tex3]\frac{\frac{x-y}{2}}{1+\frac{1}{3}}=-1 \rightarrow \frac{x-y}{2}=-\frac{4}{3} \rightarrow x-y=-\frac{8}{3}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
3x-y=-2 \\
x-y=-\frac{8}{3}
\end{cases}[/tex3]
Fazendo a primeira menos duas vezes a segunda:
[tex3]x+y=-2+\frac{16}{3}=\frac{-6+16}{3}=\frac{10}{3}[/tex3]
Letra B

[brunoafa]

(09) Seja [tex3]\lambda: 3x^2+3y^2-6x-12y+k=0[/tex3], uma circunferência que no plano cartesiano tem intersecção vazia com os eixos coordenados.
Considerando [tex3]k \in \mathbb{R}[/tex3], é correto afirmar que

a) [tex3]P=\left(\frac{k}{3},\frac{k}{3}\right)[/tex3] é interior a [tex3]\lambda[/tex3]
b) existem apenas dois valores inteiros para [tex3]k[/tex3]
c) a reta [tex3]r: x = k[/tex3] intersecta [tex3]\lambda[/tex3]
d) se [tex3]c[/tex3] é o comprimento de [tex3]\lambda[/tex3], então [tex3]c>2\pi[/tex3] unidades de comprimento