Olimpíadas ⇒ Seleçao ConeSul Brasil - Álgebra/Teoria dos Números

[Auto Excluído (ID:12031)]

mas [tex3]k=2[/tex3] e [tex3]y=\sqrt2[/tex3] gera [tex3]n=2[/tex3] que não é quadrado perfeito

[GabrielOBM]

Mas neste caso [tex3]m=\sqrt{2}^4,n=\sqrt{2}^2=>m=4,n=2, mn=8[/tex3] temos então uma contradição, pois encontramos [tex3]mn=x^2[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

ainda assim a todo momento, até pra dizer que [tex3]mn = x^2[/tex3] você já assumiu parte do teorema sem provar:

se
[tex3]\sqrt m [/tex3] é racional então [tex3]m[/tex3] é quadrado perfeito.
Eu provei isso, mas você não

[GabrielOBM]

Esse teorama é muito simples de provar.
Temos m inteiro, e p racional tal que [tex3]\sqrt{m}=p=>m=p^2[/tex3], mas como [tex3]p^2[/tex3] é igual a um inteiro, temos que m é um quadrado de um inteiro.

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]p^2[/tex3] é inteiro, mas por que [tex3]p[/tex3] deve ser inteiro? Você consegue justificar isso?

[GabrielOBM]

Vamos supor que não! [tex3]p=a÷b=>p^2=a^2÷b^2=>p^2=(a÷b)^2[/tex3] e como [tex3]p^2[/tex3] é inteiro, temos que [tex3]b^2|a^2[/tex3] provando que [tex3]b|a[/tex3], caso queira uma demonstração mais fote faça a=p1×p2×.....
e b=p1'×p2'×....

[Auto Excluído (ID:12031)]

isso, a ideia é essa mesmo!

[tex3]b^2 \vert a^2[/tex3]
se supormos por absurdo que [tex3]b[/tex3] não divide [tex3]a[/tex3] então [tex3]b[/tex3] não divide [tex3]a^2[/tex3]
mas como poderia [tex3]b[/tex3] não dividir [tex3]a^2[/tex3] se [tex3]b \vert b^2[/tex3] e [tex3]b^2 \vert a^2[/tex3]? Absurdo, então [tex3]b \vert a[/tex3] e portanto [tex3]p[/tex3] é inteiro!

[GabrielOBM]

Então finalmente minha solução tá ok???

[Auto Excluído (ID:12031)]

, temos que [tex3]mn=x^2=>m=y^{k+2n} , n=y^k[/tex3] temos então que [tex3]2y^{k+n}=y^{k+2n}+y^k-p^2[/tex3].

o [tex3]n[/tex3] no expoente de [tex3]y^{k+2n}[/tex3] é o mesmo [tex3]n = y^k[/tex3]?
essa parte do [tex3]y[/tex3] ficou muito confusa pra mim

[GabrielOBM]

Aíí, kkkkkkk foi uso indevido de variavel, ja tinha usadooooo, mls. Troca n por um z natural, o n era pra ser um natural genérico. Kkkkkk.
Desculpa