IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares Tópico resolvido

[cajuADMIN]

Olá Agash,

O que esta frase quer dizer é que só conseguimos formar um polígonos regular de n lados (no exemplo n=8) se utilizarmos todos os 8 pontos marcados no círculo. Se pularmos uma quantidade de pontos que é divisora de 8 (2 por exemplo), não teremos um polígono de n lados (n=8 no exemplo). Veja a figura abaixo:

Screen Shot 2011-12-01 at 20.40.49.png (22.25 KiB) Exibido 2352 vezes

Começamos em A e vamos no sentido anti-horário de 2 em 2 pontos. Não conseguiremos um polígono de 8 lados, e sim de 4 só. Faça o teste para os outros divisores de 8 também.

Grande abraço,
Prof. Caju

[VestibulandoI]

Ou seja, só conseguimos obter um polígono regular quando pulamos para um número que seja primo com [tex3]8[/tex3] (quando pulamos para o [tex3]1[/tex3], [tex3]3[/tex3], [tex3]5[/tex3] e [tex3]7[/tex3]). Ainda assim obtemos polígonos repetidos duas vezes. Portanto, a quantidade de polígonos regulares de [tex3]n[/tex3] lados é igual à metade da quantidade de números positivos primos com [tex3]n[/tex3].

Prof. Caju, uma duvida. O que levou o senhor a esse raciocínio? Quero dizer, como o senhor descobriu que só conseguimos obter um polígono regular quando pulamos para um número que seja primo com "n"? Consegui entender o resto, só fiquei na duvida de como chegar a essa conclusao.

Desde já, agradeço.

[cajuADMIN]

Olá VestibulandoI,

Veja que esta dúvida já foi respondida no tópico, na mensagem exatamente anterior a esta sua. O usuário Agash teve esta mesma dúvida.

Acredito que você não tenha visto a minha resposta pois o tópico possui duas páginas, e esta resposta está na segunda página.

Se você já o tenha visto e ainda não entendeu, poste sua dúvida aqui.

Grande abraço,
Prof. Caju

[VestibulandoI]

Prof. Caju, desculpa mas eu continuo sem entender. Na verdade, acho que nao me expressei corretamente. Posso mudar o enunciado da questão?

Suponhamos que o enunciado fosse: " Demonstre que só é possivel obter um polígono regular quando pulamos para um número que seja primo com "n" ". Existe uma forma de provar essa propriedade? Quero dizer, eu entendo , e acredito, que a propriedade seja verdadeira, mas nao to conseguindo compreender o que está garantindo isso, entende o que quero dizer?

[VestibulandoI]

Professor Caju, existe alguma forma de demonstrar isso?

[cajuADMIN]

Olá VestibulandoI,

Sim, claro, há maneiras e maneiras de provar isso formalmente.
Mas, a forma intuitiva é o que a questão estava pedindo, que podemos ver fazendo alguns testes como o que apresentei na mensagem anterior a sua pergunta. Para a prova em pauta já bastava esta demonstração intuitiva.

Uma demonstração mais teórica, mais formal, utilizando aritmética modular, levaria um tempinho a mais para ser feita, mas existe sim

Grande abraço,
Prof. Caju

[Auto Excluído (ID:12031)]

simples cara se você pula um número que divide o número total você vai ter polígonos iguais. Só pensar que fica periódico os pulos.

[VestibulandoI]

A sim, entendi. Obrigado Prof. Caju e sousóeu !

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Essa é a questão 13 do Capítulo 3 do livro "Análise Combinatória e Probabilidade", da SBM (Morgado et. al.)

A solução dele é:

A espécie do polígono deve ser relativamente prima com 100 e menor que 50. Como a decomposição de 100 em fatores primos é 100 = 2^5 . 5² , a phi(100) = 40
No conjunto {1, 2, ... 100}, os números relativamente primos com 100 aparecem em pares formados por um número menor que 50 e outro maior, pois, a cada x relativamente primo com 100 e menor que 50, corresponde 100-x, que é relativamente primo com 100 e maior que 50. Há, portanto, 20 números em {1, 2... 49} que são relativamente primos com 100. A resposta é 20.