Maratonas de Matemática ⇒ I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

[PedroCunha]

Solução do problema 100

Letra a:

[tex3]f(x) = 1 \Leftrightarrow \frac{2x+4}{3x} = 10 \therefore 2x+4 = 30x \therefore 4 = 28x \Leftrightarrow x = \frac{1}{7}[/tex3]

Letra b:

Condição de existência: [tex3]\frac{2x+4}{3x} > 0 \Leftrightarrow x > 0 \text{ ou } x < -2[/tex3]

[tex3]\frac{2x+4}{3x} < 10 \therefore \frac{2x+4 - 30x}{3x} < 0 \therefore \frac{-28x+4}{3x} < 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{7} \text{ ou } x < 0[/tex3]

Fazendo a interseção: [tex3]x < -2 \text{ ou } x > \frac{1}{7}[/tex3]

---

Problema 101

(UNICAMP - 1996) Em uma fotografia aérea, um trecho retilíneo de uma estrada que mede 12,5 km aparece medindo 5 cm e, na mesma fotografia, uma área queimada aparece com 9 cm². Calcule:

a) O comprimento que corresponde a 1 cm na mesma fotografia.
b) A área da superfície queimada.

Resposta

---

Letra a: [tex3]x = 2,5km[/tex3]
Letra b: [tex3]S = 56,25km^2[/tex3]

[poti]

Solução do problema 101

a)
[tex3]5cm -- 12,5km \\
1cm -- x[/tex3]

[tex3]\boxed{x = 2,5km}[/tex3]

b)
[tex3]1cm^2 \longrightarrow 2,5 \cdot 2,5 km^2 (6,25km^2) \\
9cm^2 \longrightarrow y[/tex3]

[tex3]\boxed{y = 56,25km^2}[/tex3]

---

Problema 102

(FUVEST - 1999)
Ache todas as soluções da equação [tex3]\sen^3(x) \cdot \cos(x) - 3\sen(x) \cdot \cos^3(x) = 0[/tex3] no intervalo [tex3][0, 2 \pi)[/tex3]

Resposta

---

[tex3]V = \{0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \pi \}[/tex3]

[PedroCunha]

Solução do problema 102

Temos:

[tex3]\sen^3x \cdot \cos x - 3\sen x \cdot \cos^3x = 0 \therefore \sen x \cdot \cos x \cdot (\sen^2x - 3\cos^2x) = 0 \therefore \\\\ \sen x \cdot \cos x \cdot (-4\cos^2x + 1) = 0 \\\\ \Leftrightarrow \sen x \cdot \cos x = 0 \dots I \text{ ou } - 4\cos^2x+1 =0 \dots II \\\\

I: \sen x \cdot \cos x = 0 \therefore 2\sen x \cdot \cos x = 0 \\\\ \Leftrightarrow \sen(2x) = 0: x = 0, x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{3\pi}{2}, x = \pi \\\\
II: -4\cos^2x = -1 \therefore \cos^2x = \frac{1}{4} \\\\ \Leftrightarrow \cos x = \pm \frac{1}{2}: x = \frac{\pi}{3}, x = \frac{2\pi}{3}, x = \frac{4\pi}{3}, x = \frac{5\pi}{3}[/tex3]

Assim: [tex3]V = \left\{0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \pi \right\}[/tex3]

---

Problema 103

(FUVEST-2012) O número real [tex3]x[/tex3], com [tex3]0 < x < \pi[/tex3] satisfaz a equação [tex3]\log_3(1-\cos x) + \log_3(1+\cos x) = -2[/tex3], então [tex3]\cos(2x) + \sen x[/tex3] vale:

a) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
b) [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]
c) [tex3]\frac{7}{9}[/tex3]
d) [tex3]\frac{8}{9}[/tex3]
e) [tex3]\frac{10}{9}[/tex3]

Resposta

---

Alternativa e

[csmarceloMOD]

Resolução do problema 103

Identidades utilizadas:

[tex3]\log a+\log b=\log(a\cdot b)[/tex3]

[tex3](a+b)(a-b)=a^2-b^2[/tex3]

[tex3]\sen^2x+\cos^2x=1\rightarrow\begin{cases}1-\cos^2x=\sen^2x\\\cos x=\sqrt{1-\sen^2x}\end{cases}[/tex3]

[tex3]\cos2\theta=\cos^2\theta-\sen^2\theta[/tex3]

---

[tex3]\log_3(1-\cos x)+\log_3(1+\cos x)=-2[/tex3]
[tex3]\log_3((1-\cos x)(1+\cos x))=-2[/tex3]
[tex3]\log_3(1-\cos^2x)=-2[/tex3]
[tex3]\log_3(\sen^2x)=-2[/tex3]
[tex3]\sen^2x=3^{-2}=\frac{1}{9}[/tex3]
[tex3]\sen x=\frac{1}{3}[/tex3], pois [tex3]0<x<\pi[/tex3]

[tex3]\sen x=\frac{1}{3}\rightarrow\cos x=\pm\frac{\sqrt{8}}{3}[/tex3]

[tex3]\cos(2x)=\left(\pm\frac{\sqrt{8}}{3}\right)^2-\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{7}{9}[/tex3]

Logo,

[tex3]\cos(2x)+\sen x=\frac{7}{9}+\frac{1}{3}=\frac{10}{9}[/tex3]

---

Problema 104

(FUVEST-2009) Para cada número real [tex3]m[/tex3], considere a função quadrática [tex3]f(x)=x^2+mx+2[/tex3].

Nessas condições:

a) Determine, em função de [tex3]m[/tex3], as coordenadas do vértice da parábola de equação [tex3]y=f(x)[/tex3].
b) Determine os valores de [tex3]m\in\mathbb{R}[/tex3] para os quais a imagem de [tex3]f[/tex3] contém o conjunto [tex3]\{ y\in\mathbb{R}:y\geq1\}[/tex3].
c) Determine o valor de [tex3]m[/tex3] para o qual a imagem de [tex3]f[/tex3] é igual ao conjunto [tex3]\{y\in\mathbb{R}:y\geq1\}[/tex3] e, além disso, [tex3]f[/tex3] é crescente no conjunto [tex3]\{x\in\mathbb{R}:x\geq0\}[/tex3].
d) Encontre, para a função determinada pelo valor de [tex3]m[/tex3] do item c) e para cada [tex3]y\geq2[/tex3], o único valor de [tex3]x\geq0[/tex3] tal que [tex3]f(x)=y[/tex3].

Resposta

---

a) [tex3]\left(-\frac{m}{8},\frac{8-m^2}{4}\right)[/tex3]
b) [tex3]m\leq-2[/tex3] ou [tex3]m\geq2[/tex3]
c) [tex3]m=2[/tex3]
d) [tex3]x=\sqrt{y-1}-1[/tex3]

[PedroCunha]

Solução do problema 104

Letra a:

[tex3]\begin{cases} x_v = -\frac{-m}{2} = \frac{m}{2} \\\\ y_v = -\frac{m^2 - 8}{4} = \frac{8-m^2}{4}\end{cases} \Leftrightarrow v \left( \frac{m}{2} ; \frac{8-m^2}{4} \right)[/tex3]

Gabarito errado.

Letra b:

Como o coeficiente dominante é positivo, a parábola tem um mínimo e com isso sua imagem é [tex3]\operatorname{Im} (f): \{y \in \Re | y \geq y_v\}[/tex3]. Assim, basta termos [tex3]y_v \geq 1[/tex3]:

[tex3]y_v \leq 1 \therefore \frac{8-m^2}{4} \leq 1 , \text{ aqui podemos passar multiplicando sem alterar o sinal da desigualdade. } \\\\ 8-m^2 \leq 4 \therefore m^2 \geq 4 \Leftrightarrow m \leq -2 \text{ ou } m \geq 2[/tex3]

Letra c:

Temos:

[tex3]\begin{cases}

y_v = 1 \Leftrightarrow 8-m^2 = 4 \therefore m = \pm 2 \\ x_v \leq 0 \therefore \frac{-m}{2} \geq 0 \therefore m \geq 2

\end{cases}[/tex3]

Logo, [tex3]m = 2[/tex3]

Letra d:

Temos:

[tex3]x^2 + 2x + 2 = y \therefore (x+1)^2 = y - 1 \therefore x = -1 \pm \sqrt{y-1}[/tex3]

Nas condições do problema, a única resposta é [tex3]x = -1 + \sqrt{y-1}[/tex3].

---

Problema 105

(FUVEST-2009) No plano cartesiano [tex3]Oxy[/tex3], a circunferência [tex3]C[/tex3] tem centro no ponto [tex3]A = (-5,1)[/tex3] e é tangente à reta [tex3]t[/tex3] de equação [tex3]4x-3y-2=0[/tex3] em um ponto [tex3]P[/tex3]. Seja ainda [tex3]Q[/tex3] o ponto de intersecção da reta [tex3]t[/tex3] com o eixo [tex3]Ox[/tex3]. Assim:

a) Determine as coordenadas do ponto [tex3]P[/tex3].
b) Escreva uma equação para a circunferência [tex3]C[/tex3].
c) Calcule a área do triângulo [tex3]APQ[/tex3].

Resposta

---

Letra a: [tex3]P(-1,2)[/tex3]
Letra b: [tex3](x+5)^2 +(y-1)^2 = 5^2[/tex3]
Letra c: [tex3]\frac{25}{4}u.a.[/tex3]

[csmarceloMOD]

Resolução do problema 105

a)

Equação reduzida da reta [tex3]t:y=\frac{4}{3}\cdot x-\frac{2}{3}[/tex3]

A reta [tex3]\overleftrightarrow{AP}[/tex3] é perpendicular à reta [tex3]t[/tex3]. Sendo o coeficiente angular de [tex3]t[/tex3] igual a [tex3]\frac{4}{3}[/tex3], o coeficiente angular de [tex3]\overleftrightarrow{AP}[/tex3] é igual a [tex3]-\frac{3}{4}[/tex3].

Assim, substituindo as coordenadas de [tex3]A[/tex3] e o coeficiente angular de [tex3]\overleftrightarrow{AP}[/tex3] na equação da reta, temos que:

[tex3]1=\left(-\frac{3}{4}\right)\cdot(-5)+b\rightarrow b=-\frac{11}{4}\rightarrow \overleftrightarrow{AP}:y=-\frac{3}{4}\cdot x-\frac{11}{4}[/tex3]

Em [tex3]P,\, y_{\overleftrightarrow{AP}}=y_t[/tex3] e, portanto,

[tex3]\frac{4}{3}\cdot x-\frac{2}{3}=-\frac{3}{4}\cdot x-\frac{11}{4}\rightarrow x_P=-1,y_P=-2[/tex3]

Resposta: [tex3]P(-1,-2)[/tex3]

Gabarito incorreto.

b)

Para montarmos a equação reduzida da circunferência, só precisamos calcular o raio desta, pois já temos as coordenadas do centro. O raio da circunferência equivale ao comprimento do segmento [tex3]\overline{AP}[/tex3].

[tex3]d(A,P)=\sqrt{(-5-(-1))^2+(1-(-2))^2}=5[/tex3]

Assim, temos que a equação reduzida da circunferência é [tex3](x+5)^2+(x-1)^2=25[/tex3].

c)

[tex3]Q\in Ox\rightarrow y_Q=0[/tex3].

Substituindo na equação da reta de [tex3]t[/tex3]:

[tex3]0=\frac{4}{3}\cdot x_Q-\frac{2}{3}\rightarrow x_Q=\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]d(Q,P)=\sqrt{\left(\frac{1}{2}-(-1)\right)^2+(0-(-2))^2}=\frac{5}{2}[/tex3]

Logo,

[tex3]S_{\Delta APQ}=\frac{5\cdot\frac{5}{2}}{2}=\frac{25}{4}u.a.[/tex3]

---

Problema 106

(FUVEST-2013) No paralelepípedo reto retângulo [tex3]ABCDEFGH[/tex3] da figura, tem-se [tex3]AB=2,\, AD=3[/tex3] e [tex3]AE=4[/tex3].

Untitled.png (14.59 KiB) Exibido 5102 vezes

a) Qual é a área do triângulo [tex3]ABD[/tex3]?
b) Qual é o volume do tetraedro [tex3]ABDE[/tex3]?
c) Qual é a área do triângulo [tex3]BDE[/tex3]?
d) Sendo [tex3]Q[/tex3] o ponto do triângulo [tex3]BDE[/tex3] mais próximo do ponto [tex3]A[/tex3], quanto vale [tex3]AQ[/tex3]?

Resposta

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a) [tex3]3[/tex3]
b) [tex3]4[/tex3]
c) [tex3]\sqrt{61}[/tex3]
d)[tex3]\frac{12\sqrt{61}}{61}[/tex3]

[emanuel9393MOD]

Resolução do problema 106

a) Temos que:

[tex3]S_T = \dfrac{1}{2}\left(AB\cdot AD\right) = \dfrac{1}{2}\left(2\cdot 3\right) = \boxed{\boxed{3}}[/tex3]

b) Primeiramente, encontramos a área do paralelepípedo. Para isso, basta multiplicar duas vezes a área do triângulo obtido anteriormente com a altura:

[tex3]V_P=2\cdot S_T \cdot AE = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24[/tex3]

Como em todo prisma, cabem 6 tetraedros, o volume de cada tetraedro [tex3]V_T[/tex3] é dado por:

[tex3]V_T = \dfrac{V_P}{6} = \boxed{\boxed{4}}[/tex3]

c) Por Pitágoras, calculamos [tex3]BD, DE \ e \ EB[/tex3]:

[tex3]BD = \sqrt{AB^2 +AD^2} = \sqrt{13}[/tex3]

[tex3]DE = \sqrt{AD^2 +AE^2} = 5[/tex3]

[tex3]EB = \sqrt{AB^2 +AE^2} = 2\sqrt{5}[/tex3]

Pelo lei dos cossenos, encontraremos [tex3]\cos \hat B[/tex3]:

[tex3]DE^2 = BD^2+EB^2-2\cdot BD\cdot EB \cdot \cos \hat B[/tex3]

[tex3]\cos \hat B = \dfrac{\left(BD^2+EB^2\right) - DE^2}{2 \cdot BD \cdot EB} = \dfrac{2}{\sqrt{65}}[/tex3]

Agora, calculemos [tex3]\sen \hat B[/tex3] por:

[tex3]\sen \hat B = \sqrt{1 - \cos^2 \hat B} = \dfrac{\sqrt{61}}{\sqrt{65}}[/tex3]

logo:

[tex3]S_{BDE} = \dfrac{BD \cdot EB}{2} \cdot \sen \hat B = \boxed{\boxed{\sqrt{61}}}[/tex3]

d) O ponto [tex3]Q[/tex3] será justamente a projeção de [tex3]A[/tex3] no triângulo [tex3]\Delta BDE[/tex3] (pois trata-se da menor distância). Logo:

[tex3]\dfrac{S_{BDE}\cdot AQ}{3}=V_T \Rightarrow AQ = \dfrac{3\cdot V_T}{S_{BDE}} = \boxed{\boxed{\dfrac{12}{\sqrt{61}}}}[/tex3]

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Problema 107

(FUVEST 2014) Dados [tex3]m[/tex3] e [tex3]n[/tex3] inteiros, considere a função [tex3]f[/tex3] definida por

[tex3]f(x) = 2 - \dfrac{m}{x+n}[/tex3]

para [tex3]x\neq -n[/tex3]

a) No caso em que [tex3]m=n=2[/tex3], mostre a igualdade [tex3]f\(\sqrt{2}\)=\sqrt{2}[/tex3] se verifica.
b) No caso em que [tex3]m=n=2[/tex3], ache as interseções do gráfico de [tex3]f[/tex3] com os eixos coordenados.
c) No caso em que [tex3]m=n=2[/tex3], esboce a parte do gráfico de [tex3]f[/tex3] em que [tex3]x>-2[/tex3], levando em conta as informações obtidas nos itens a) e b).
d) Existe um par de inteiros [tex3](m,n) \neq (2,2)[/tex3] tal que a condição [tex3]f\(\sqrt{2}\)=\sqrt{2}[/tex3] continue sendo satisfeita?

[Ittalo25MOD]

Resolução do Problema 107:


a)

[tex3]f(x) = 2 - \dfrac{m}{x+n}[/tex3]

[tex3]f\(\sqrt{2}\) = 2 - \dfrac{2}{\sqrt{2}+2}[/tex3]

[tex3]f\(\sqrt{2}\) = \sqrt{2}[/tex3]


b)

[tex3]f(x) = 2 - \dfrac{2}{x+2}[/tex3]

Abcissas:

[tex3]y = 2 - \dfrac{2}{0+2}[/tex3]

[tex3]y = 1[/tex3]

[tex3](0,1)[/tex3]

Ordenadas:

[tex3]0 = \dfrac{2x+2}{x+2}[/tex3]

[tex3]x = -1[/tex3]

[tex3](-1,0)[/tex3]

C)

x.png (9.4 KiB) Exibido 4896 vezes

D)

[tex3]\sqrt{2} = 2 - \dfrac{m}{\sqrt{2}+n}[/tex3]

[tex3]2-2\sqrt{2} = -n\sqrt{2}+2n - m[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
n=2 \\
2n-m=2 \rightarrow 4-m = 2 \rightarrow m = 2
\end{cases}[/tex3]

Não existe.

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Problema 108

(Fuvest 1982)

a) Fatorar: [tex3]a^{4}+a^2+1[/tex3].
b) Para que valores inteiros positivos de a o número [tex3]a^{4}+a^2+1[/tex3] é primo?

Resposta

---

b) a = 1

[PedroCunha]

Solução do problema 108

Letra a:

[tex3]a^4+a^2+1 = a^4 + 2a^2+1 - a^2 = (a^2+1)^2 - a^2 = (a^2+a+1) \cdot (a^2-a+1)[/tex3]

Letra b:

Sendo a expressão um número primo [tex3]p[/tex3], temos:

[tex3](a^2+a+1) \cdot (a^2-a+1) = p \cdot 1[/tex3]

pois os únicos divisores naturais de um número primo são ele mesmo e o número 1.

Como [tex3]a \in \mathbb{N},\, a^2+a+1 > a^2-a+1[/tex3], logo:

[tex3]\begin{cases}

a^2+a+1 = p \\
a^2-a+1 = 1

\end{cases}[/tex3]

Da segunda equação:

[tex3]a^2-a = 0 \therefore a = 0 \text{ ou } a = 1[/tex3]

Para [tex3]a = 0, p = 1[/tex3] e 1 não é primo; logo, esse valor não serve.
Para [tex3]a = 1, p = 3[/tex3] que é primo. Assim, a resposta é [tex3]a = 1[/tex3].

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Problema 109

(FUVEST-1984) Seja [tex3]r = \sqrt{2} + \sqrt{3}[/tex3].

a) Escreva [tex3]\sqrt{6}[/tex3] em função de [tex3]r[/tex3].
b) Admitindo [tex3]\sqrt{6}[/tex3] irracional, prove que [tex3]r[/tex3] também é irracional.

Resposta

---

Letra a: [tex3]\sqrt{6} = \frac{r^2-5}{2}[/tex3]
Letra b: demonstração

[jrneliodias]

Solução do problema 109:

Letra A:

Elevando ambos os membros ao quadrado.

[tex3]r^2=5+2\sqrt{6}[/tex3]

[tex3]\sqrt{6}=\frac{r^2-5}{2}[/tex3]

Letra B:

Se [tex3]\sqrt{6}[/tex3] é irracional, então [tex3]5+2\sqrt6=r^2[/tex3] também será. Caso [tex3]r[/tex3] fosse racional, então [tex3]r^2[/tex3] também seria, pois o produto de dois números racionais é racional. Logo, isso seria um absurdo. Portanto, [tex3]r[/tex3] é irracional.

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Problema 110

(Fuvest-1990) a) Se [tex3]x+\frac{1}{x}=b[/tex3], calcule [tex3]x^2+\frac{1}{x^2}[/tex3]

b) Resolva a equação [tex3]x^2-5x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0[/tex3]

Resposta

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a) [tex3]b^2-2[/tex3]
b) [tex3]S=\left\{1\,,\,\frac{3+\sqrt5}{2}\,,\,\frac{3-\sqrt5}{2}\,\right\}[/tex3]