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Solução do problema 130

Podemos montar a seguinte figura:
Aplicando o Teorema da Bissetriz Interna:

[tex3]\frac{2}{AM} = \frac{4}{5-AM} \therefore 4AM = 10 - 2AM \Leftrightarrow AM = \frac{5}{3}[/tex3]

Definimos então: [tex3]AN = \frac{5}{3} - x[/tex3] e [tex3]BN = 5 - \left( \frac{5}{3} - x \right) = \frac{10}{3} + x[/tex3].

Aplicando Pitágoras nos triângulos ACN e BCN, chegamos em:

[tex3]\begin{cases}

AN^2 + h^2 = 2^2 \therefore h^2 = 4 - AN^2 \\
BN^2 + h^2 = 4^2 \therefore h^2 = 16 - BN^2

\end{cases} \Leftrightarrow BN^2 - AN^2 = 12 \Leftrightarrow x = \frac{11}{30}[/tex3]

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Problema 131

(FUVEST-2004) Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se entre A e C e a distância
de B a C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as cidades B e C e à distância de 210 km de A. Sabendo-se que P está 20 km mais próximo de C do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o ponto de encontro.

Solução do problema 131

Seja [tex3]d_1, d_2,d_3,d_4[/tex3] as distâncias, respectivamente, de A até B, de B até C, de B até P e de P até C. A partir das informações do enunciado, podemos montar o seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
d_2=\frac{2}{3}d_1 \\
d_1+d_3=210 \\
d_3-d_4=20
\end{cases}[/tex3]
Podemos reescrever a primeira equação como:
[tex3]d_3+d_4=\frac{2}{3}d_1[/tex3] (i)
Da segunda equação, tiramos:
[tex3]d_1=210-d_3[/tex3] (ii)
E da última:
[tex3]d_4=d_3-20[/tex3] (iii)
Portanto, colocando (ii) e (iii) em (i):
[tex3]d_3+d_3-20=\frac{2}{3}(210-d_3)\rightarrow 8d_3=480\rightarrow \boxed{\boxed{\boxed{d_3=60}}}[/tex3] km.

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Problema 132

[Fuvest-2007] Um arco x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a equação [tex3]5 \cos2x+3\sen x=4[/tex3]. Determine os valores de senx e cosx.

Solução do problema 132

Temos:

*Obs,: [tex3]x \in 3^{\circ}Q \Leftrightarrow \sen x \leq 0 \text{ e } \cos x \leq 0[/tex3]

[tex3]5\cos(2x) + 3\sen x = 4 \therefore 5 \cdot (1 - 2\sen^2x) + 3\sen x = 4 \therefore \\\\ -10\sen^2x + 3\sen x + 1 = 0 \\\\

\sen x = \frac{-3 \pm 7}{-20} \Leftrightarrow \sen x = -\frac{1}{5} \text{ ou } \cancel{\sen x = \frac{1}{2}}[/tex3]

Então, [tex3]\cos^2x = 1 - \frac{1}{25} \therefore \cos x = -\frac{2\sqrt6}{5}[/tex3]

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Problema 133

(FUVEST-2012) Determine para quais valores reais de [tex3]x[/tex3] é verdadeira a desigualdade

Solução problema 133

Seja [tex3]x \in \mathbb{R}[/tex3]. Se [tex3]|x|\leq a[/tex3], então [tex3]-a\leq x\leq a[/tex3]:
[tex3]-(3x-15)\leq x^2-10x+21\leq 3x-15[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x^2-10x +21\geq -3x+15\rightarrow x^2-7x+6\geq 0\\
x^2-10x+21\leq 3x-15\rightarrow x^2-13x+36\leq 0
\end{cases}[/tex3]
Ambas desigualdades devem ser satisfeitas simultaneamente.
Considere as funções [tex3]f(x)=x^2-7x+6[/tex3] e [tex3]g(x)=x^2-13x+36[/tex3]. Calculamos f(x)=0 e g(x)=0:
[tex3]x^2-7x+6=0\rightarrow x=\frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{2}=\frac{7 \pm 5}{2}\rightarrow x=6 ; x=1[/tex3]
[tex3]x^2-13x+36=0\rightarrow x=\frac{13 \pm \sqrt{169-144}}{2}=\frac{13 \pm 5}{2}\rightarrow x=9; x=4[/tex3]
Então:
[tex3]f(x)\geq 0\rightarrow x\leq 1[/tex3] ou [tex3]x\geq 6[/tex3]
[tex3]g(x)\leq 0 \rightarrow 4\leq x\leq 9[/tex3]
Fazendo a intersecção, temos:
[tex3]S= x \in \mathbb{R}| 1\leq x\leq 4[/tex3] ou [tex3]6\leq x\leq 9[/tex3]

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Problema 134

[Fuvest -2007] Em uma PA [tex3]a_1,a_2,...,a_n[/tex3] a soma dos n primeiros termos é dada por [tex3]S_n=bn^2+n[/tex3], sendo b um número real. Sabe-se que [tex3]a_3=7[/tex3], determine:

a) O valor de b e a razão da PA
b) O 20° termo da progressão
c) A soma dos 20 primeiros termos da progressão

Solução do problema 134

Letra a:

[tex3]\begin{cases} S_3 - S_2 = a_3 \therefore 9b + 3 - 4b - 2 = 7 \therefore 5b = 6 \Leftrightarrow b = \frac{6}{5} \\ S_2 - S_1 = a_2 \therefore 4b+2 - b - 1 = a_2 \therefore a_2 = \frac{18}{5} + 1 \therefore a_2 = \frac{23}{5} \\
r = a_3 - a_2 = \frac{12}{5} \end{cases}[/tex3]

Letra b:

Para não termos que utilizar números muito grandes, podemos encontrar o 20° termo da seguinte maneira:

[tex3]\begin{cases}

a_3 = a_1 + 2r \therefore a_1 = 7 - \frac{24}{5} = \frac{11}{5} \\
a_{20} = a_1 + 19r \therefore a_{20} = \frac{11}{5} + \frac{228}{5} = \frac{239}{5}
\end{cases}[/tex3]

Letra c:

Basta substituir [tex3]n[/tex3] por 20 na fórmula dada:

[tex3]S_{20} = \frac{6}{5} \cdot 20^2 + 20 = 500[/tex3]

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Problema 135

(UNICAMP-2012) Considere a função [tex3]f(x) = 2x + |x + p|[/tex3], definida para [tex3]x[/tex3] real.

a) A figura abaixo mostra o gráfico de [tex3]f(x)[/tex3] para um valor específico de [tex3]p[/tex3]. Determine esse valor.
b) Supondo, agora, que [tex3]p = -3[/tex3], determine os valores de [tex3]x[/tex3] que satisfazem a equação [tex3]f(x) = 12[/tex3].

Solução problema 135

a) Quando [tex3]x=1, f(x)=2[/tex3]
[tex3]2=2+|1+p|\rightarrow 0=|1+p|\rightarrow \boxed{p=-1}[/tex3]

b) [tex3]12=2x+|x-3|\rightarrow 12-2x=|x-3|\rightarrow x-3=\pm(12-2x)[/tex3]
(i)
[tex3]x-3=12-2x\rightarrow 3x=15\rightarrow x=5[/tex3]
[tex3]x-3=-12+2x\rightarrow -x=-9\rightarrow x=9[/tex3]

Veja que x=9 não pode ser um valor de x, pois 12-2.9=12-18=-6, e o módulo de um número real não pode ser negativo.

Resposta: x=5

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Problema 136

[Fuvest- 2003] Nos itens abaixo, z é um número complexo e i é a unidade imaginária. Suponha que [tex3]z \neq i[/tex3].

a) Para que valores de z, tem-se [tex3]\frac{z+i}{1+iz}=2[/tex3]?

b) Determine o conjunto de todos os valores de z para quais [tex3]\frac{z+i}{1+iz}[/tex3] é um número real.

Solução do problema 136

Letra a:

Seja [tex3]z = a+bi[/tex3]. Temos:

[tex3]\frac{z+i}{1+iz} = 2 \therefore a+bi + i = 2 + 2i \cdot (a+bi) \therefore a + bi+i - 2 - 2ai + 2b = 0 \therefore \\\\ (a+2b-2) + i \cdot (-2a+b+1) = 0 \\\\

\begin{cases}

a+2b-2 = 0 \therefore a+2b = 2 \dots I \\
-2a+b+1 = 0 \therefore -2a+b = -1 \dots II

\end{cases} \\\\

2I+II: 4b+b = 4-1 : b = \frac{3}{5} \Leftrightarrow a = \frac{4}{5} \Leftrightarrow z = \frac{4}{5} + i \cdot \frac{3}{5}[/tex3]

Letra b:

Primeira condição: [tex3]z \neq i[/tex3]

[tex3]\frac{z+i}{1+iz} \therefore \frac{(z+i) \cdot (1-iz)}{(1+iz) \cdot (1-iz)} \therefore \frac{z - iz^2 + i + z}{1^2 - i^2z^2} \therefore \frac{2z + i \cdot (1-z^2)}{1+z^2}[/tex3]

Para ser real, devemos ter a parte imaginária nula. Assim:

[tex3]\begin{cases}

\frac{1-z^2}{1+z^2} = 0 \therefore z = \pm 1 \text{ ou } |z| = 1

\end{cases}[/tex3]

Logo: [tex3]\{z \in \mathbb{C} | |z| = 1 \text{ e } z \neq i \}[/tex3].

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Problema 137

(UNICAMP-2001) Considere, no plano [tex3]xy[/tex3], as retas [tex3]y = 1, y = 2x - 5[/tex3] e [tex3]x - 2y + 5 = 0[/tex3].

a) Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo [tex3]ABC[/tex3] formado por essas retas?
b) Qual é a área do triângulo [tex3]ABC[/tex3] ?

Solução problema 137
a) Basta calcular os pontos de intersecções entre as retas:
(i)[tex3]1=2x-5 \Rightarrow x=3[/tex3]
[tex3]\therefore y=1[/tex3]
A(3,1)
(ii) [tex3]1= \frac{x+5}{2} \Rightarrow2=x+5\Rightarrow x=-3[/tex3]
[tex3]\therefore y=1[/tex3]
B(-3,1)
(iii) [tex3]2x-5=\frac{x+5}{2}\Rightarrow4x-10=x+5\Rightarrow3x=15\Rightarrow x=5[/tex3]
[tex3]y=2.5-5=5[/tex3]
C(5,5)
b) A área do triângulo ABC é igual a:
[tex3]A=\frac{|\det M|}{2}[/tex3]
onde M é a matriz
[tex3]M=\begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 \\
-3 & 1 & 1 \\
5 & 5 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Calculando esse determinante, encontramos [tex3]\det M=-24[/tex3]
Então, [tex3]A=\frac{|-24|}{2}=12[/tex3]u.a

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Problema 138
[Fuvest- 1993] O valor máximo da função [tex3]f(x)=3\cos x+ 2 \sen x[/tex3] é:

Solução do problema 138

Utilizando o truque do triângulo retângulo, seja [tex3]\theta[/tex3] um ângulo tal que exista um triângulo retângulo com catetos [tex3]3[/tex3] e [tex3]2[/tex3] e portanto hipotenusa [tex3]\sqrt{13}[/tex3], cujo seno vale [tex3]\frac{2}{\sqrt{13}}[/tex3] e o cosseno vale [tex3]\frac{3}{\sqrt{13}}[/tex3].Assim, podemos reescrever a função dada como:

[tex3]f(x) = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} \cdot \left( 2\sen x + 3\cos x\right) \therefore f(x) = \sqrt{13} \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{13}} \cdot \sen x + \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \cos x \right) \therefore \\\\ f(x) = \sqrt{13} \cdot (\sen \theta \sen x + \cos \theta \cos x) \therefore f(x) = \sqrt{13} \cdot \cos(\theta - x)[/tex3]

Logo, como [tex3]\cos (\theta - x) \in [-1,1][/tex3], o valor máximo de [tex3]f(x)[/tex3] é 1.

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Problema 139

(FUVEST-2003) Determine os valores de [tex3]x[/tex3] no intervalo [tex3]]0,2\pi[[/tex3] para os quais [tex3]\cos x \geq \sqrt{3} \sen x + \sqrt3[/tex3].

Solução problema 139
Podemos resolver essa questão elevando ambos os membros ao quadrado:
[tex3]\cos^2x\geq \(\sqrt{3}\sen x+\sqrt{3}\)^2 \Rightarrow \cos^2x\geq 3\cdot \sen^2x+6\sen x+3[/tex3]
[tex3]1-\sen^2x\geq 3\sen^2x+6\sen x+3\Rightarrow-4\cdot \sen^2x-6\sen x-2\geq 0[/tex3]
Ou seja, devemos resolver a inequação
[tex3]2\sen^2x+3\sen x+1\leq 0[/tex3]
Fazendo [tex3]y=\sen^2x[/tex3], temos:
[tex3]2y^2+3y+1\leq 0[/tex3]
Seja agora a função [tex3]g(y)=2y^2+3y+1[/tex3]. Suas raízes são:
[tex3]g(y)=0 \Rightarrow y=\frac{-3 \pm \sqrt{9-8}}{4}=\frac{-3 \pm 1}{4}\Rightarrow y=-\frac{1}{2} ; y=-1[/tex3]
Então, para termos [tex3]g(y)\leq 0,\, -1\leq y\leq -\frac{1}{2}\Rightarrow-1\leq \sen x\leq -\frac{1}{2}[/tex3]
Ou seja, [tex3]\sen \frac{3\pi}{2}\leq \sen x \leq \sen \frac{11\pi}{6} \Longleftrightarrow \frac{3\pi}{2} \leq x \leq \frac{11 \pi}{6}[/tex3]

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Questão 140
[Fuvest-2003]A soma dos 5 primeiros termos de uma PG, de razão negativa é 1/2. Além disso, a diferença entre o sétimo e o segundo termo da PG é igual a 3. Determine:
a) A razão da PG.
b) A soma dos três primeiros termos da PG.