Maratonas de Física ⇒ III Maratona de Física IME/ITA

[theblackmamba]

Solução do Problema 30

Calculando a resistência equivalente:

[tex3]R_{20//20}=\frac{20}{2}=10\Omega[/tex3]
[tex3]R_{10//10}=\frac{10}{2}=5\Omega[/tex3]
[tex3]R_{eq}=R_{10,10//10}=10+5=15\Omega[/tex3]

Rendimento do gerador:

[tex3]U=E-ri[/tex3]
[tex3]E=(R_{eq}+r)\cdot i[/tex3]

[tex3]\eta=\frac{U}{E}[/tex3]
[tex3]\eta=\frac{R_{eq}i+ri-ri}{(R_{eq}+r)i}\,\,\therefore\,\,\eta=\frac{R_{eq}}{R_{eq}+r}[/tex3]

[tex3]0,9=\frac{15}{15+r}\,\,\Rightarrow\,\,r=\frac{5}{3}\,\Omega[/tex3]

Logo a corrente no gerador vale:
[tex3]i=\frac{6}{15+\frac{5}{3}}=\frac{9}{25}\,\,\therefore\,\,\boxed{i=0,36\,\text{A}}[/tex3]. Letra A

Justificando as outras alternativas:

b) Falsa:

[tex3]P_u=Ui=\left(6-\frac{5}{3}\cdot 0,36\right)\cdot 0,36=1,944W<1,96W[/tex3]

c) Falsa:

[tex3]P_t=P_u+P_d[/tex3]
[tex3]P_t=1,944+(R_{eq}+r)i^2[/tex3]
[tex3]P_t=1,944+\frac{50}{3}\cdot 0,36^2=1,944+2,16=4,104W[/tex3]

d) Falsa:

Já mostrado no item a).

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Problema 31

(IME - 1987/88) Nos pontos A e B do segmento AB, são fixadas cargas elétricas iguais de carga [tex3]+Q[/tex3] Coulombs cada uma. Se deixarmos livre no ponto P, situado a [tex3]x[/tex3] metros de A e a [tex3]y[/tex3] metros de B, uma carga pontual de massa [tex3]M \,\,kg[/tex3] e carga [tex3]+Q_1[/tex3] Coulombs, essa carga sofrerá uma aceleração de [tex3]a\,\,m/s^2[/tex3]. Determine a energia armazenada no circuito capacitivo [tex3]m-n[/tex3], se ele for carregado com [tex3]Q_1[/tex3] Coulombs.

ime87-88.png (28.59 KiB) Exibido 8521 vezes

Dados:
[tex3]Q=16\pi\epsilon_0\,\,C;\,\,\,\\M=2\times 10^{-3}\,kg;\,\,\,\\x=3\,m;\,\,\,\\y=4\,m;\,\,\,\\a=31,5\,m/s^2;\,\,\,\\C_1=C_2=C_3=C_4=C_5=2\mu\,F[/tex3]

Resposta

---

[tex3]13122\,J[/tex3]

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 31

[tex3]F_r=F_1-F_2=kQQ_1\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}\right)[/tex3]
[tex3]F_r=Ma[/tex3]
[tex3]Q_1=\frac{Ma}{kQ}\frac{(xy)^2}{(y^2-x^2)}[/tex3]

A capacitância equivalente entre [tex3]m-n[/tex3]
[tex3]C_{eq}=2//2+2+2//2=1+2+1=4\mu F[/tex3]

Assim a energia vale
[tex3]E=\frac{1}{2}\frac{Q_1^2}{C_{eq}}[/tex3]
[tex3]\boxed{E=\frac{1}{2C_{eq}}\left(\frac{Ma}{kQ}\frac{(xy)^2}{(y^2-x^2)}\right)^2}[/tex3]

Substituindo os valores encontramos,
[tex3]\boxed{E=13122\,J}[/tex3]

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Problema 32

(IME-1998/1999) No extremo de uma mola feita de material isolante elétrico está presa uma pequena esfera metálica com carga [tex3]Q_1[/tex3]. O outro extremo da mola está preso no anteparo [tex3]AB[/tex3]. Fixa-se uma outra esfera idêntica com carga [tex3]Q_2[/tex3], à distância de [tex3]5,2m[/tex3] do anteparo, conforme a figura abaixo, estando ambas as esferas e a mola colocadas sobre um plano de material dielétrico, perfeitamente liso. Em conseqüência, a mola alonga-se [tex3]20\%[/tex3] em relação ao seu comprimento original, surgindo entre as esferas uma força de [tex3]0,9\,N[/tex3]. Determine qual deve ser o valor de [tex3]Q_2[/tex3] para que a mola se alongue [tex3]120\%[/tex3] em relação ao seu comprimento original.

Dados:
Constante eletrostática do [tex3]ar\approx 9\times 10^9[/tex3] (unidades do S.I.)

[tex3]Q_1=+40\,\mu C[/tex3]
[tex3]Q_2=-40\,\mu C[/tex3]

IME98-99.png (5.47 KiB) Exibido 8512 vezes

Resposta

---

[tex3]Q_2=-135\,\mu C[/tex3]

[theblackmamba]

Solução do Problema 32

A carga [tex3]Q_2[/tex3] deve ser sempre negativa para a mola se deformar para a esquerda.

No primeiro caso a distância entre as cargas vale:
[tex3]F=\frac{k|Q_1||Q_2|}{d^2}[/tex3]
[tex3]d^2=\frac{9\cdot 10^9\cdot 40\cdot 10^{-6}\cdot 40\cdot 10^{-6}}{0,9}=16[/tex3]
[tex3]d=4\,\text{m}[/tex3]

Logo a elongação nesse caso vale [tex3]x=5,2-4=1,2\,\text{m}[/tex3]. Portanto o comprimento inicial da mola é [tex3]x_0=1\,\text{m}[/tex3]

Como no equilíbrio a força elétrica se iguala a força elástica, temos:
[tex3]k\cdot 0,2x_0=0,9\,\,\Rightarrow\,\,k=4,5\,N/m[/tex3]

Na nova situação a elongação da mola vale [tex3]2,2x_0=2,2\,\text{m}[/tex3]. Logo a distância as cargas valerá [tex3]d=5,2-2,2=3\,\text{m}[/tex3]

[tex3]\frac{k|Q_1||Q_2'|}{d^2}=k\cdot x'[/tex3]
[tex3]|Q_2|=\frac{4,5\cdot 1,2\cdot 3^2}{9\cdot 10^9\cdot 40\cdot 10^{-6}}[/tex3]
[tex3]|Q_2|=0,135\cdot 10^{-3}[/tex3]
[tex3]\boxed{Q_2=-135\,\mu C}[/tex3]

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Problema 33

(IME - 1989/90) Quer-se construir um recipiente de material opaco, em forma de cone, com uma determinada altura [tex3]h[/tex3].

ime89-90.png (11.95 KiB) Exibido 8491 vezes

O recipiente deve ser construído de modo tal que, quando totalmente cheio de um líquido, permita a qualquer observador localizado num ponto acima do plano definido pela superfície do líquido, visualizar o vértice interior do recipiente. Determine o menor valor possível para o volume do recipiente.
Considere:
- índice de refração do ar = [tex3]1[/tex3]
- índice de refração do líquido = [tex3]n[/tex3]

Resposta

---

[tex3]\frac{\pi h^3}{n^2-1}[/tex3]

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 33

IME89-90.png (4.65 KiB) Exibido 8477 vezes

[tex3]\sin\alpha =\frac{R}{\sqrt{R^2+h^2}}[/tex3]

Da lei de Snell, no limite teremos,
[tex3]\sin\alpha =\frac{n_{ar}}{n_{liq}}[/tex3]
[tex3]\frac{R}{\sqrt{R^2+h^2}}=\frac{1}{n}[/tex3]
[tex3]R=\frac{h}{\sqrt{n^2-1}}[/tex3]

Portanto,
[tex3]V=\frac{\pi R^2 h}{3}[/tex3]
[tex3]\boxed{V=\frac{\pi h^3}{3(n^2-1)}}[/tex3]

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Problema 34

(ITA - 1981) Uma escada rígida de massa [tex3]15,0 kg[/tex3] está apoiada numa parede e no chão, lisos, e está impedida de deslizar por um cabo horizontal [tex3]BC[/tex3], conforme a figura. Uma pedra de dimensões pequenas e massa [tex3]5,00 kg[/tex3] é abandonada de uma altura de [tex3]1,80m[/tex3] acima do ponto [tex3]A[/tex3], onde sofre colisão elástica ricocheteando verticalmente. Sabendo-se que a duração do choque é de [tex3]0,03s[/tex3] e que a aceleração da gravidade é de [tex3]10,0 m.s^{-2}[/tex3], pode-se afirmar que a tensão no cabo durante a colisão valerá:

fisica.png (21.7 KiB) Exibido 8385 vezes

a) [tex3]1200\, N[/tex3]
b) [tex3]1150\, N[/tex3]
c) [tex3]2025\, N[/tex3]
d) [tex3]1400\, N[/tex3]
e) [tex3]900\, N[/tex3]

Resposta

---

Letra B

[gabrielbpf]

Solução do Problema 34

Para o cálculo da velocidade da pedra no momento da colisão:

[tex3]v_f^2=v_0^2+2g\Delta h \Leftrightarrow v_f^2=0+2\cdot 10\cdot 1,8 \\ \\ v_f=6ms^{-1}[/tex3]

Pelo teorema do impulso:

[tex3]\vec{I}=\Delta \vec{Q} \Leftrightarrow \vec{F}\cdot \Delta t=m\cdot \vec{v}_f-m\cdot \vec{v}_0 \\ \\ F\cdot 0,03=5\cdot 6+5\cdot 6 \Leftrightarrow F=2000N[/tex3]

Do equilíbrio translacional na direção horizontal;

[tex3]F_{BC}=N_1[/tex3], seja [tex3]N_1[/tex3] a reação normal da parede na escada, no ponto em que a escada toca a parede vertical.

Assim, do equilíbrio rotacional em reação ao ponto C:

[tex3]-N_1\cdot d+F\cdot d'+P\cdot d''=0 \\ \\ -F_{BC}\cdot 1+2000\cdot 0,5+150\cdot 1=0 \\ \\ F_{BC}=1150N[/tex3]

Letra B

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Problema 35

(ITA - 2006) Uma haste metálica de comprimento [tex3]20,0 cm[/tex3] está situada num plano [tex3]xy[/tex3], formando um ângulo de [tex3]30^\circ[/tex3] com relação ao eixo [tex3]Ox[/tex3]. A haste movimenta-se com velocidade de [tex3]5,0 m/s[/tex3] na direção do eixo [tex3]Ox[/tex3] e encontra-se imersa num campo magnético uniforme [tex3]\vec{B}[/tex3], cujas componentes, em relação a [tex3]Ox[/tex3] e [tex3]Oz[/tex3] (em que [tex3]z[/tex3] é perpendicular a [tex3]xy[/tex3]) são, respectivamente, [tex3]B_x = 2,2 T[/tex3] e [tex3]B_z = -0,50T[/tex3]. Assinale o módulo da força eletromotriz induzida na haste.

a) [tex3]0,25\ V[/tex3]
b) [tex3]0,43\ V[/tex3]
c) [tex3]0,50\ V[/tex3]
d) [tex3]1,10\ V[/tex3]
e) [tex3]1,15\ V[/tex3]

Resposta

---

Letra A

[theblackmamba]

Solução do Problema 35

A componente do campo responsável pelo movimento deve ser perpendicular ao vetor velocidade. Assim, é necessário somente considerar o campo no eixo [tex3]z[/tex3].

[tex3]|\varepsilon|=|B_z|\cdot v\cdot \ell \sin \theta[/tex3]
[tex3]|\varepsilon|=0,50\cdot 5\cdot 0,2\cdot \frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]\boxed{|\varepsilon|=0,25\,V}[/tex3]. Letra A

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Problema 36

(ITA - 2006) À borda de um precipício de um certo planeta, no qual se pode desprezar a resistência do ar, um astronauta mede um tempo [tex3]t_1[/tex3] que uma pedra leva para atingir o solo, após deixada de cair de uma altura [tex3]H[/tex3]. A seguir ele mede o tempo [tex3]t_2[/tex3] que uma pedra também leva para atingir o solo, após ser lançada de uma altura [tex3]h[/tex3], como mostra a figura. Assinale a expressão que dá a altura [tex3]H[/tex3].

ita_2006_q3.png (8.9 KiB) Exibido 8310 vezes

a) [tex3]H=\frac{t_1^2t_2^2h}{2(t_2^2-t_1^2)^2}[/tex3]
b) [tex3]H=\frac{t_1t_2h}{4(t_2^2-t_1^2)}[/tex3]
c) [tex3]H=\frac{2t_1^2t_2^2h}{(t_2^2-t_1^2)^2}[/tex3]
d) [tex3]H=\frac{4t_1t_2h}{(t_2^2-t_1^2)}[/tex3]
e) [tex3]H=\frac{4t_1^2t_2^2h}{(t_2^2-t_1^2)^2}[/tex3]

Resposta

---

e)

[theblackmamba]

Solução do Problema 36

1ª queda:

[tex3]H=\frac{gt_1^2}{2}\,\,\therefore\,\,g=\frac{2H}{t_1^2}[/tex3]

2ª queda:

[tex3]mgH+\frac{mv_0^2}{2}=mg(H+h)\,\,\Rightarrow\,\,v_0=\sqrt{2gh}=\frac{2}{t_1}\sqrt{Hh}[/tex3]

[tex3]y=H+v_0t-\frac{gt^2}{2}[/tex3] para [tex3]y=0[/tex3] temos [tex3]t=t_2[/tex3]:

[tex3]0=H+\frac{2}{t_1}\sqrt{Hh}\cdot t_2-\frac{2H}{t_1^2}\cdot \frac{t_2^2}{2}[/tex3]

[tex3]H\cdot \left(\frac{t_2^2}{t_1^2}-1\right)^2=\frac{2}{t_1}\sqrt{Hh}\cdot t_2[/tex3]

[tex3]H^2\cdot \frac{(t_2^2-t_1^2)^2}{(t_1^2)^2}=\frac{4Hht_2^2}{t_1^2}[/tex3]

[tex3]\boxed{H=\frac{4t_1^2t_2^2h}{\left(t_2^2-t_1^2\right)^2}}[/tex3]. Letra E

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Problema 37

(ITA - 2003) O átomo de hidrogênio no modelo de Bohr é constituído de um elétron de carga [tex3]e[/tex3] que se move em órbitas circulares de raio [tex3]r[/tex3], em torno do próton, sob a influência da força de atração coulombiana. O trabalho efetuado por esta força sobre o elétron ao percorrer a órbita do estado fundamental é:

a) [tex3]-\frac{e^2}{2\varepsilon_0 r}[/tex3]
b) [tex3]\frac{e^2}{2\varepsilon_0 r}[/tex3]
c) [tex3]-\frac{e^2}{4\varepsilon_0 r}[/tex3]
d) [tex3]\frac{e^2}{r}[/tex3]
e) [tex3]\text{n.d.a.}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]e)[/tex3] (zero)

[Juniorsjc]

Solução do problema 37

Como a força de atração coulombiana funciona como resultante centripeta, ela sempre age perpendicularmente a direção do movimento, assim, o trabalho realizado por ela é nulo. Letra E

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Problema 38

(ITA/2006) Uma estação espacial em forma de um toróide, de raio interno [tex3]R_1[/tex3], e externo [tex3]R_2[/tex3], gira com periodo P, em torno do seu eixo central, numa região de gravidade nula. O astronauta sente que seu "peso" aumenta de 20% quando corre com velocidade constante v no interior desta estação, ao longo de sua maior circunferência, conforme mostra a figura. Assinale a expressão que indica o módulo dessa velocidade.

gg.png (8.08 KiB) Exibido 8275 vezes

a) [tex3]v = \left(\sqrt{\frac{6}{5}}-1\right)\frac{2\pi R_2}{P}[/tex3]
b) [tex3]v = \left(1-\sqrt{\frac{5}{6}}\right)\frac{2\pi R_2}{P}[/tex3]
c) [tex3]v = \left(\sqrt{\frac{5}{6}}+1\right)\frac{2\pi R_2}{P}[/tex3]
d) [tex3]v = \left(\frac{5}{6}+1\right)\frac{2\pi R_2}{P}[/tex3]
e) [tex3]v = \left(\frac{6}{5}-1\right)\frac{2\pi R_2}{P}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]Letra \ A[/tex3]

[gabrielbpf]

Solução do problema 38

O "peso" do astronauta é dado pela resultante centrípeta do movimento, já que ele gira junto com a estação. Ao se movimentar, ele modifica seu "peso aparente" devido à velocidade relativa. Assim, de acordo com o enunciado, temos a seguinte relação:

[tex3]1,2\cdot \frac{mv_{e}^2}{R_2}=\frac{m(v+v_e)^2}{R_2} \\ \\ 1,2\cdot \left(\frac{2\pi R_2}{P}\right)^2=\left(v+\frac{2\pi R_2}{P}\right)^2 \\ \\ v+2\pi R_2=2\pi R_2\cdot \sqrt \frac{6}{5} \Leftrightarrow v=\left(\sqrt{ \frac{6}{5}}-1\right)\cdot \frac{2\pi R_2}{P}[/tex3]

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Problema 39

(ITA - 2009) Desde os idos de 1930, observações astronômicas indicam a existência da chamada matéria escura. Tal matéria não emite luz, mas a sua presença é inferida pela influência gravitacional que ela exerce sobre o movimento de estrelas no interior de galáxias. Suponha que, numa galáxia, possa ser removida sua matéria escura de massa específica [tex3]\rho > 0[/tex3], que se encontra uniformemente distribuída. Suponha também que no centro dessa galáxia haja um buraco negro de massa [tex3]M[/tex3], em volta do qual uma estrela de massa [tex3]m[/tex3] descreve uma órbita circular. Considerando órbitas de mesmo raio na presença e na ausência de matéria escura, a respeito da força gravitacional resultante [tex3]\vec{F}[/tex3] exercida sobre a estrela e seu efeito sobre o movimento desta, pode-se afirmar que:

a) [tex3]\vec{F}[/tex3] é atrativa e a velocidade orbital de m não se altera na presença da matéria escura.
b) [tex3]\vec{F}[/tex3] é atrativa e a velocidade orbital de m é menor na presença da matéria escura.
c) [tex3]\vec{F}[/tex3] é atrativa e a velocidade orbital de m é maior na presença da matéria escura.
d) [tex3]\vec{F}[/tex3] é repulsiva e a velocidade orbital de m é maior na presença da matéria escura.
e) [tex3]\vec{F}[/tex3] é repulsiva e a velocidade orbital de m é menor na presença da matéria escura

Resposta

---

Letra C

[theblackmamba]

Solução do Problema 39

A força [tex3]F[/tex3] deve ser atrativa para mantê-la na orbita suposta circular, fazendo papel de resultante centrípeta.

Sem matéria escura:

[tex3]F_g=F_{cp}[/tex3]
[tex3]\frac{GMm}{R^2}=\frac{mv^2}{R}[/tex3]
[tex3]v=\sqrt{\frac{GM}{R}}[/tex3]

Com um acréscimo de massa escura [tex3]m_e[/tex3] no interior da órbita (a massa no exterior não influencia no movimento) teremos:
[tex3]v'=\sqrt{\frac{G(M+m_e)}{R}}=v+\sqrt{\frac{Gm_e}{R}}[/tex3]. Desde que [tex3]\rho>0[/tex3] a velocidade será maior. Letra C.

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Problema 40

(ITA - 1999) A tabela abaixo mostra os níveis de energia de um átomo [tex3]X[/tex3] que se encontra no estado gasoso.

[tex3]\begin{array}{|c|c|}\hline E_0 &0\\\hline E_1&7,0\,eV\\\hline E_2&13,0\,eV\\\hline E_3&17,4\,eV\\\hline \text{Ionizac\~ao}&21,4\,eV\\\hline \end{array}[/tex3]

Dentro das possibilidades abaixo, a energia que poderia restar a um elétron com energia de [tex3]15 \,eV[/tex3], após colidir com um átomo de [tex3]X[/tex3], seria de:

a) 0 eV
b) 4,4 eV
c) 16,0 eV
d) 2,0 eV
e) 14,0 eV

Resposta

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d)