Maratonas de Matemática ⇒ I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

[Ittalo25MOD]

Solução do problema 30

Por semelhança, temos:

[tex3]\frac{\ell}{L}=\frac{L-\ell}{\ell}[/tex3]

[tex3]\ell^{2} = -\ell L + L^{2}[/tex3]

[tex3]\ell^{2} + \ell L - L^{2} =0[/tex3]

Fazendo Bhaskara:

[tex3]\Delta = \sqrt{L^2-4\cdot 1\cdot(-L^2)}[/tex3]

[tex3]\Delta = \sqrt{5L^2}[/tex3]

[tex3]\Delta = L\sqrt{5}[/tex3]

[tex3]\ell = \frac{-L+L\sqrt{5}}{2}[/tex3]

[tex3]\ell = \left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\cdot L[/tex3]

[tex3]\frac{\ell}{L}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}[/tex3]

---

Problema 31

(Fuvest- 2012) Os vértices de um tetraedro regular são também vértices de um cubo de aresta 2. A área de uma face desse tetraedro é:

retangulo.png (8.96 KiB) Exibido 5970 vezes

a) [tex3]2\sqrt{3}[/tex3]
b) [tex3]4[/tex3]
c) [tex3]3\sqrt{2}[/tex3]
d) [tex3]3\sqrt{3}[/tex3]
e) [tex3]6[/tex3]

Resposta

---

a)

[PedroCunha]

Solução do problema 31

Vou utilizar o desenho que fiz para a outra questão:

cubo fuv.png (16.33 KiB) Exibido 5965 vezes

Notem que a face é um triângulo equilátero de lado [tex3]2\sqrt2[/tex3]. Assim:

[tex3]S = \frac{(2\sqrt2)^2 \cdot \sqrt3}{4} \therefore S = 2\sqrt3 u.a.[/tex3]

Alternativa a.

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Problema 32

(FUVEST-2005) Sabe-se que [tex3]x = 1[/tex3] é raiz da equação [tex3](\cos^2 \alpha)x^2 - (4\cos \alpha \sen \beta)x + \frac{3}{2} \cdot \sen \beta = 0[/tex3], sendo [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaixo.

triangulo retangulo.png (1.53 KiB) Exibido 5965 vezes

Pode-se afirmar então que as medidas de [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] são, respectivamente:

a) [tex3]\frac{\pi}{8} \text{ e } \frac{3\pi}{8}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\pi}{6} \text{ e } \frac{\pi}{3}[/tex3]
c) [tex3]\frac{\pi}{4} \text{ e } \frac{\pi}{4}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\pi}{3} \text{ e } \frac{\pi}{6}[/tex3]
e) [tex3]\frac{3\pi}{8} \text{ e } \frac{\pi}{8}[/tex3]

Resposta

---

Alternativa d

[Ittalo25MOD]

Solução do problema 32

[tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] são complementares, então:

[tex3]\sen\alpha = \cos\beta[/tex3]

[tex3]\cos\alpha = \sen\beta[/tex3]

Substituindo o "x" por 1:

[tex3](\cos^2 \alpha)x^2 - (4\cos \alpha \sen \beta)x + \frac{3}{2} \cdot \sen \beta = 0[/tex3]

[tex3](\cos^2 \alpha) - (4\cos \alpha \sen \beta) + \frac{3}{2} \cdot \sen \beta = 0[/tex3]

[tex3](\cos^2 \alpha) - (4\cos \alpha \cos \alpha) + \frac{3}{2} \cdot \cos \alpha = 0[/tex3]

[tex3](\cos^2 \alpha) - (4\cos^2 \alpha ) + \frac{3}{2} \cdot \cos \alpha = 0[/tex3]

[tex3]- 3\cos^2 \alpha + \frac{3}{2} \cdot \cos \alpha = 0[/tex3]

[tex3]- 6\cos^2 \alpha + 3 \cos \alpha = 0[/tex3]

[tex3]- 6\cos \alpha + 3 = 0[/tex3]

[tex3]\cos \alpha = \frac{1}{2}[/tex3]



[tex3]\alpha =[/tex3] 60° e [tex3]\beta[/tex3] = 30°

d)

---

Problema 33

(Fuvest 2002)

Seja [tex3]f(x) = 2^{2x+1}[/tex3]. Se [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são tais que [tex3]f(a) = 4f(b)[/tex3], pode-se afirmar que:

a) [tex3]a+b=2[/tex3]
b) [tex3]a+b = 1[/tex3]
c) [tex3]a-b = 3[/tex3]
d) [tex3]a-b = 2[/tex3]
e) [tex3]a-b = 1[/tex3]

Resposta

---

e)

[csmarceloMOD]

Resolução do problema 33

[tex3]f(x)=2^{2x+1}[/tex3]

Assim,

[tex3]f(a)=2^{2a+1}[/tex3]

e

[tex3]f(b)=2^{2b+1}\rightarrow4\cdot f(b)=4\cdot2^{2b+1}=2^2\cdot2^{2b+1}=2^{2b+3}[/tex3]

Portanto,

[tex3]f(a)=4\cdot f(b)\rightarrow 2^{2a+1}=2^{2b+3}\rightarrow 2a+1=2b+3\rightarrow a-b=1[/tex3]

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Problema 34

(UNICAMP-2010) Um artesão precisa recortar um retângulo de couro com 10 cm x 2,5 cm. Os dois retalhos de couro disponíveis para a obtenção dessa tira são mostrados nas figuras abaixo.

a) O retalho semicircular pode ser usado para a obtenção da tira?

b) O retalho triangular pode ser usado para a obtenção da tira?

Sem título.png (16.37 KiB) Exibido 5949 vezes

Resposta

---

a) Sim.
b) Não.

[Marcos]

Resolução do problema 34

[tex3]a)[/tex3]

a.gif (2.88 KiB) Exibido 5941 vezes

[tex3]x^2+5^2=6^2[/tex3]
[tex3]x=\sqrt{11}[/tex3]

Resposta: Como [tex3]\sqrt{11} \ cm>2,5 \ cm[/tex3], o retalho semicircular pode ser usado para a obtenção da tira.

[tex3]b)[/tex3]

b.gif (4.27 KiB) Exibido 5941 vezes

Aplicando Semelhança de Triângulos, temos:
[tex3]\frac{3}{8}=\frac{h}{6}[/tex3]
[tex3]h=\frac{18}{8} \ cm[/tex3]
[tex3]h=2,25[/tex3] cm

Resposta: Com [tex3]2,25\ cm<2,5\ cm[/tex3]; o retalho retangular não pode ser utilizado.

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Problema 35

(Fuvest 1988)

(Fuvest 1988).gif (1.65 KiB) Exibido 5941 vezes

Acima está representada uma multiplicação, onde os algarismos [tex3]a,\, b[/tex3], e [tex3]c[/tex3] são desconhecidos.Qual o valor da soma [tex3]a+b+c[/tex3] ?

a) [tex3]5[/tex3]
b) [tex3]8[/tex3]
c) [tex3]11[/tex3]
d) [tex3]14[/tex3]
e) [tex3]17[/tex3]

Resposta

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[tex3]D[/tex3]

[PedroCunha]

Solução do problema 35

Podemos utilizar o sistema decimal:

[tex3]1abc \cdot 3 = abc4 \therefore 3000 + 300a + 30b + 3c = 1000a + 100b + 10c + 4 \therefore \\\\ 3000-4 = 700a +70b + 7c \therefore 428 = 100a + 10b + c \therefore \\\\ 4 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 8 = 100a + 10b + c \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ a = 4, b = 2, c = 8 } }[/tex3]

Alternativa d.

Solução Alternativa - por csmarcelo

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Problema 36

(FUVEST-2005) O Sr. Reginaldo tem dois filhos, nascidos respectivamente em 1/1/2000 e 1/1/2004. Em testamento, ele estipulou que sua fortuna deve ser dividida entre os dois filhos, de tal forma que

(1) os valores sejam proporcionais às idades;
(2) o filho mais novo receba, pelo menos, 75% do valor que o mais velho receber.

O primeiro dia no qual o testamento poderá ser cumprido é:

a) 1/1/2013
b) 1/1/2014
c) 1/1/2015
d) 1/1/2016
e) 1/1/2017

Resposta

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Alternativa d

[csmarceloMOD]

Resolução do problema 36

[tex3]i_1[/tex3] = idade do filho mais velho
[tex3]i_2[/tex3] = idade do filho mais novo

Se o valores das heranças são proporcionais às idades dos filhos e o filho mais novo deve receber, pelo menos, 75% do valor do filho mais velho, então quando [tex3]i_2=0,75i_1\ (I)[/tex3] as condições para distribuição da herança serão atendidas.

O primeiro filho é 4 anos mais velho [tex3](2004-2000=4)[/tex3] e, portanto, [tex3]i_1=i_2+4\ (II)[/tex3].

Substituindo [tex3](I)[/tex3] em [tex3](II)[/tex3]:

[tex3]i_1=0,75i_1+4\rightarrow i_1=16[/tex3]

Como o filho mais velho nasceu em 2000, ele completará 16 anos em 2016 e, a partir desse ano, a herança já poderá ser distribuída conforme exigido no testamento.

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Problema 37

(UNICAMP-2008) Seja [tex3]C[/tex3] o conjunto dos números (no sistema decimal) formados usando-se apenas o algarismo 1, ou seja, [tex3]C=\{1,11,111,1111,11111,111111,...\}[/tex3].

a) Verifique se ao conjunto [tex3]C[/tex3] contém números que são divisíveis por 9 e se contém números divisíveis por 6. Exiba o menor numero divisível por 9, se houver. Repita o procedimento em relação ao 6.

b) Escolhendo ao acaso um número [tex3]m[/tex3] de [tex3]C[/tex3], e sabendo que esse número tem, no máximo, 1000 algarismos, qual a probabilidade de [tex3]m[/tex3] ser divisível por 9?

Resposta

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a) O primeiro número divisível por 9 é 111.111.111. Por outro lado, [tex3]C[/tex3] não tem números divisíveis por 6.
b) A probabilidade de que [tex3]m[/tex3] seja divisível por nove é igual a [tex3]\frac{111}{1000}=11,1\%[/tex3].

[Ittalo25MOD]

Resolução do problema 37

a)

Critério de divisibilidade por 9:
A soma dos algarismos deve ser divisível por 9, então, o menor número é:

111.111.111

Critério de divisibilidade por 6:
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Então, para ser dividido por 2, o número deve terminar com algum algarismo par, o que não é possível, pois a única possibilidade é terminar em 1.

b)

[tex3]\frac{1000}{9} = 111....[/tex3]

Então, são 111 números divisíveis por 9 no espaço amostral:

[tex3]\frac{111}{1000}[/tex3]

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Problema 38

(Fuvest 2001)
O polinômio [tex3]x^{4} + x^{2}[/tex3] -2x +6 admite 1+i como raiz, onde [tex3]i^{2}[/tex3] = -1. O número de raízes reais desse polinômio é:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Resposta

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a)

[Marcos]

Resolução do problema 38

Sejam [tex3]1+i; 1-i; \alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] as raízes do polinômio [tex3]x^4+x^2-2x+6[/tex3].Pelas Relações de Girard temos:

[tex3]\begin{cases}
(1+i)+(1-i)+\alpha+\beta=0 \\
(1+i)\cdot (1-i)\cdot \alpha\cdot \beta=6
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
\alpha+\beta=-2 \\
\alpha\cdot \beta=3
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\alpha=-1+\sqrt{2}i[/tex3]
[tex3]\beta=-1-\sqrt{2}i[/tex3]

Logo, o polinômio [tex3]x^4+x^2-2x+6[/tex3] não possui raízes reais. [tex3]\Longrightarrow Letra: (A)[/tex3]

Resposta: [tex3]A[/tex3]

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Problema 39

(Fuvest 1992) Seja [tex3]x=2^{1000}[/tex3].Sabendo que [tex3]\log_{10}2[/tex3] é aproximadamente igual a [tex3]0,30103[/tex3] pode-se afirmar o número de algarismos de [tex3]x[/tex3] é:

a) [tex3]300[/tex3]
b) [tex3]301[/tex3]
c) [tex3]302[/tex3]
d) [tex3]1000[/tex3]
e) [tex3]2000[/tex3]

Resposta

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[tex3]C[/tex3]

[Ittalo25MOD]

Resolução do problema 39

[tex3]x = 2^{1000}[/tex3]

[tex3]\log_{10}x = 1000\cdot \log_{10}2[/tex3]

[tex3]\log_{10}x = 1000\cdot (0,30103)[/tex3]

[tex3]\log_{10}x = 301,03[/tex3]

[tex3]x = 10^{301,03}[/tex3]

[tex3]x[/tex3] possui 301 algarismos mais o próprio 1 da base.


[tex3]Letra: (C)[/tex3]

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Problema 40

(Fuvest 1990)

A reta [tex3]y= m\cdot x (m > 0[/tex3]) é tangente à circunferência [tex3](x-4)^{2} + y^2 = 4[/tex3] . Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo [tex3]x[/tex3].

a) [tex3]\frac{1}{5}[/tex3]
b) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]
e) [tex3]\sqrt{5}[/tex3]

Resposta

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B)