Maratonas de Matemática ⇒ II Maratona de Matemática IME/ITA

[poti]

Solução do Problema 300

Fatoração de [tex3]x^4 + 1 = \(x^2 + \sqrt{2}x + 1\)\(x^2 - \sqrt{2}x + 1\)[/tex3]

Na soma das frações parciais, ficou:
[tex3]\frac{x^2}{x^4+1}=\frac{Ax+B}{\(x^2 + \sqrt{2}x + 1\)}+\frac{Cx+D}{\(x^2 - \sqrt{2}x + 1\)}[/tex3]

[tex3]\frac{x^2}{x^4+1}=\frac{(Ax + B)\(x^2 - \sqrt{2}x + 1\) + (Cx + D)\(x^2 + \sqrt{2}x + 1\)}{x^4 + 1}[/tex3]

[tex3]x^2 = (Ax + B)\(x^2 - \sqrt{2}x + 1\) + (Cx + D)\(x^2 + \sqrt{2}x + 1\)[/tex3]

[tex3]x^2 = B + Ax -\sqrt{2}Bx - \sqrt{2}Ax^2 + Bx^2 + Ax^3 + D + Cx + \sqrt{2}Dx + \sqrt{2}Cx^2 + Dx^2 + Cx^3[/tex3]

Por comparação:

[tex3]\begin{cases}0 = A + C \\ 1 = -\sqrt{2}A + B + \sqrt{2}C + D \\ 0 = A - \sqrt{2}B + C + \sqrt{2}D \\ 0 = B + D\end{cases}[/tex3]

Resolvendo: [tex3]\boxed{B = 0, \ D = 0, \ A = -\frac{1}{2\sqrt{2}}, \ C = \frac{1}{2\sqrt{2}}}[/tex3]

[tex3]A^2 + C^2 = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \boxed{\frac{1}{4}}[/tex3]

Letra C

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Problema 301

(IME-76/77) Determine todos os arcos [tex3]x[/tex3] tais que [tex3]\tg(3x) = \tg(2x) + \tg(x)[/tex3].

Resposta

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[tex3]x = \frac{k \pi}{3}[/tex3]

[Hama]

Solução do Problema 301

[tex3]\tg(2x+x) = \tg(2x)+\tg(x)[/tex3]

[tex3]\frac{\tg(x)+\tg(2x)}{1+\tg(2x)\cdot \tg(x)} = \tg(2x)+\tg(x)[/tex3]

[tex3][\tg(x)+\tg(2x)]\cdot[-\tg(x)\cdot \tg(2x)]=0[/tex3]

[tex3]\tg(x)=-\tg(2x)[/tex3] logo [tex3]\tg(x)=\frac{-2\tg(x)}{1-\tg^{2}(x)}[/tex3] então [tex3]\tg(x)\cdot(3-\tg^{2}x) = 0[/tex3]

Para [tex3]\tg(x); x=k\pi[/tex3] e para [tex3]3-\tg^{2}(x)=0\,\,\rightarrow\,\,\tg^{2}(x)=3\,\,\rightarrow\,\,\tg(x)=\pm \sqrt{3}\ \,\,\rightarrow\,\, x=\frac{k\pi}{3}[/tex3]

Para [tex3]-\tg(x)\cdot \tg(2x)=0[/tex3] temos [tex3]\tg(2x)=0;x=\frac{k\pi}{2}\ ->X \ \nexists[/tex3] Impossível

Para [tex3]\tg(x)=0\ ->\ x=k\pi[/tex3]

Resposta é : [tex3]x=\frac{k\pi}{3}[/tex3]

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Problema 302

(ITA-2011/2012) Considere a matriz quadrada [tex3]A[/tex3] em que os termos dadiagonal principal são [tex3]1,1+x_1, 1+x_2,...,1+x_n[/tex3] e todos os outros termos são iguais a [tex3]1[/tex3]. Sabe-se que [tex3](x_1, x_2, ..., x_n)[/tex3] é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] e a razão é [tex3]4[/tex3].

Determine a ordem da matriz [tex3]A[/tex3] para que o seu determinante seja igual a [tex3]256[/tex3].

[Nat]

Solução do Problema 302

A matriz A tem ordem [tex3](n + 1)[/tex3].

Aplicando a Regra de Chió, todos os termos exceto os termos da diagonal principal serão nulos. Então o determinante de A será o produtos dos termos da diagonal.

[tex3]\det A = 1\cdot x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot\cdot\cdot x_{n}[/tex3]

[tex3]1\cdot x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot \cdot \cdot x_{n} = 256[/tex3]

Mas [tex3]x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot \cdot \cdot x_{n}[/tex3] é o produto dos termos de uma PG. Então [tex3]x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot \cdot \cdot x_{n}=a_{1}^{n}\cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}[/tex3]

Pelo enunciado, [tex3]a_{1}=\frac12[/tex3] e [tex3]q = 4[/tex3]. Então
[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\cdot 4^{\frac{n(n-1)}{2}} = 256\,\,\,\therefore\,\,\,2^{n^{2} - 2n}=2^{8}\,\,\,\therefore\,\,\,n^{2} - 2n - 8 =0[/tex3]

[tex3]n = 4[/tex3] ou [tex3]n = -2[/tex3] <= Não convém

Então a ordem da matriz [tex3]n+1 = 4 + 1 = 5[/tex3]

A ordem da matriz A é 5.

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Problema 303

(ITA-2011/2012)Determine os valores reias de [tex3]x[/tex3], de modo que [tex3]\sen(2x) - \sqrt{3}\cos(2x)[/tex3] seja máximo.

Resposta

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[tex3]\frac{5\pi }{12}+n\pi (n \in Z)[/tex3]

[gabrielbpf]

Solução do Problema 303

[tex3]\sen (2x)-\sqrt{3}\cos (2x)[/tex3]

[tex3]2\left[\frac{1}{2}\sen (2x)-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos (2x)\right][/tex3]

[tex3]2\left[\sen (2x)\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)-\sen \left(\frac{\pi}{3}\right)\cos (2x)\right][/tex3]

[tex3]\ \ 2\sen \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)[/tex3]

Para que esse equação tenha valor máximo, devemos ter que [tex3]-1 \leq \sen (\alpha ) \leq +1[/tex3].

[tex3]\sen \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=1 \ \rightarrow \ 2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \rightarrow \ x=\frac{5\pi}{12}+k\pi, \ k \in \mathbb{Z}[/tex3]

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Problema 304

(ITA 2011/2012) Dez cartões estão numerados de [tex3]1[/tex3] a [tex3]10[/tex3]. Depois de embaralhados, são formados dois conjuntos de [tex3]5[/tex3] cartões cada. Determine a probabilidade de que os números [tex3]9[/tex3] e [tex3]10[/tex3] apareçam num mesmo conjunto.

[poti]

Solução do Problema 304

Número de maneiras para formar 2 grupos com 5 cartões: [tex3]\frac{C_5^{10}}{2!} = 126[/tex3]
Número de maneiras para 9 e 10 estarem no mesmo grupo: [tex3]C_3^8 = 56[/tex3]

[tex3]56[/tex3] possibilidades dentro do espaço de [tex3]126[/tex3], basta dividir um pelo outro.

Resposta: [tex3]\boxed{4/9}[/tex3]

*Coloque sempre o gabarito quando se tratar de questões abertas*

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Problema 305

(IME - 2011) Seja [tex3]f(x)=a\cdot \sen x+b\cdot \sqrt[3]{x}+4[/tex3], onde [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são constantes reais diferentes de zero. Sabendo que [tex3]f(\log_{10}\,(\log_3\,10))=5[/tex3], o valor de [tex3]f(\log_{10}\,(\log_{10}\,3))[/tex3] é:

a) 5
b) 3
c) 0
d) -3
e) -5

[theblackmamba]

Solução do Problema 305

Seja [tex3]g(x)=f(x)-4=a \cdot \sen x+b\cdot \sqrt[3]{x}[/tex3]

[tex3]g(-\alpha)=a\cdot \sen(-\alpha)+b\cdot \sqrt[3]{-\alpha}=-\(a\cdot \sen\alpha+b\cdot \sqrt[3]{\alpha}\)=-g(\alpha)[/tex3]. Ou seja, [tex3]g(x)[/tex3] é uma função ímpar !

Por outro lado façamos:
[tex3]k=\log_{10}\,(\log_{3}\,10)[/tex3].

[tex3]\log_{10}\,(\log_{10}\,3)=\log_{10}\,[(\log_{3}\,10)^{-1}]=-k[/tex3]

[tex3]f(k)=5[/tex3]
[tex3]g(k)+4=5\,\,\Leftrightarrow \,\,g(k)=1\,\,\therefore\,\,g(-k)=-1 (g(x)[/tex3] é ímpar).

[tex3]f(-k)=g(-k)+4[/tex3]
[tex3]f(-k)=-1+4\,\,\Leftrightarrow \,\,\boxed{f(-k)=3}[/tex3]. Letra B

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Problema 306

(AFA - 2006) Um balão sobrevoa certa cidade a uma altura de [tex3]750\,\text{m}[/tex3] em relação ao solo, na horizontal. Deste balão avistam-se pontos luminosos A, B e C, conforme a figura abaixo. O valor da [tex3]\tg \alpha[/tex3] é igual a:

afa2006.png (14.02 KiB) Exibido 6499 vezes

a) [tex3]\frac{7}{3}[/tex3]
b) [tex3]\frac{9}{8}[/tex3]
c) [tex3]\frac{3}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

[jhonim]

Solução do problema 306

[tex3]\tg (\alpha+\beta)=\frac{\tg \alpha+\tg \beta}{1-\tg (\alpha)\tg (\beta)}=\frac{1750}{750}=\frac{\tg \alpha+\frac{250}{750}}{1-\tg \alpha\cdot\frac{250}{750}}\rightarrow \tg \alpha=\frac{9}{8}[/tex3]
Alternativa B

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Problema 307

(AFA - 2000) Se [tex3]b=2^{-x^2+x+12}[/tex3], então o número de soluções inteiras que satisfaz a inequação [tex3]\log_b\,\frac{5}{7}<\log_b\,\frac{3}{4}[/tex3] é:

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7

[cajuADMIN]

Solução do Problema 307

Quando temos uma inequação logaritmica de mesma base [tex3]b[/tex3], podemos "cortar" as bases e, se [tex3]0<b<1[/tex3], invertemos a desiguladade.

Na desigualdade apresentada, [tex3]\log_b\left(\frac{5}{7}\right)<\log_b\left(\frac{3}{4}\right)[/tex3], ao "cortar" as bases, vemos que a desigualdade não pode se inverter, pois [tex3]\frac{5}{7}<\frac{3}{4}[/tex3].

Sendo assim, devemos ter [tex3]b>1[/tex3], para não invertermos a desigualdade ao "cortar" as bases:

[tex3]b>1[/tex3]

[tex3]2^{-x^2+x+12}>1[/tex3]

[tex3]2^{-x^2+x+12}>2^0[/tex3]

[tex3]\cancel{2}^{-x^2+x+12}>\cancel{2}^0[/tex3]

[tex3]-x^2+x+12>0[/tex3]

As raízes são: [tex3]x=-4[/tex3] e [tex3]x=3[/tex3]. Ou seja, o intervalo solução da inequação acima (com concavidade para baixo):

[tex3]\boxed{-4<x<3}[/tex3]

Assim, a quantidade de soluções inteiras neste intervalo é [tex3]6[/tex3], que corresponde aos números [tex3]\{-3,\,\,-2,\,\,-1,\,\,0,\,\,1,\,\,2\}[/tex3]

Resposta final, letra C.

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Problema 308

(ITA 2006/2007) Sobre a equação na variável real [tex3]x[/tex3];

[tex3]|||x-1|-3|-2|=0[/tex3]

podemos afirmar que

a) ela não admite solução real.
b) a soma de todas as suas soluções é 6:
c) ela admite apenas soluções positivas.
d) a soma de todas as soluções é 4:
e) ela admite apenas duas soluções reais

Resposta

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Gabarito: D

[jrneliodias]

Solução do problema 308

[tex3]|||x-1|-3|-2|=0\,\,\,\Leftrightarrow\,\,||x-1|-3|-2=0\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,||x-1|-3|=2\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\\\\|x-1|-3=2\,\,\,\,ou\,\,\,\,|x-1|-3=-2\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,|x-1|=5\,\,\,\,ou\,\,\,\,|x-1|=1\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\\\\x-1=5\,\,\,\,ou\,\,\,\,x-1=-5\,\,\,\,ou\,\,\,\,x-1=1\,\,\,\,ou\,\,\,\,x-1=-1\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\\\\\boxed{x=6\,\,\,\,ou\,\,\,\,x=-4\,\,\,\,ou\,\,\,\,x=2\,\,\,\,ou\,\,\,\,x=0}[/tex3]

Resposta: d

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Problema 309

(ITA) Os zeros da função [tex3]P(x)=3x^6-8x^5+3x^4+2x^3[/tex3] são:

a) todos inteiros.
b) 2 imaginários puros e 4 reais.
c) todos racionais.
d) 4 racionais e 2 irracionais.
e) n. r. a.

Resposta

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Gabarito: c

[felps]

Solução do Problema 309

Como não há termo independente, pode-se deduzir que essa função têm raízes igual a [tex3]0[/tex3], na verdade, [tex3]3[/tex3] raízes [tex3]0[/tex3]. Dividindo a função por [tex3]x^3[/tex3] temos que:

[tex3]P(x)=3x^3-8x^2+3x+2[/tex3]

Somando todos os coeficientes da função temos que:

[tex3]S_c = 3 - 8 + 3 + 2[/tex3]
[tex3]S_c = 0[/tex3], ou seja, [tex3]1[/tex3] é uma das raízes.

Dividindo o polinômio por [tex3](x-1)[/tex3]:

[tex3]P(x)=3x^2-5x-2[/tex3]

Por bhaskara:

[tex3]x =\frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{6}[/tex3]
[tex3]x =\frac{5 \pm 1}{6}[/tex3]
[tex3]x' = 1[/tex3]
[tex3]x'' = \frac{2}{3}[/tex3].

Com isso, concluímos que todas as raízes são racionais.

Letra C.

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Problema 310

(ITA-2001) O polinômio com coeficientes reais [tex3]P(x) = x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0[/tex3] tem duas raízes distintas, cada uma delas com multiplicidade [tex3]2[/tex3], e duas de suas raízes são [tex3]2[/tex3] e [tex3]i[/tex3]. Então, a soma dos coeficientes é igual a:

a) [tex3]-4[/tex3]
b) [tex3]-6[/tex3]
c) [tex3]-1[/tex3]
d) [tex3]1[/tex3]
e) [tex3]4[/tex3]