Maratonas de Matemática ⇒ III Maratona de Matemática IME/ITA

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 40

IME_67-68geo_sol.png (16.6 KiB) Exibido 4923 vezes

O volume de cada tetraedro vale
[tex3]V=\frac{A_b\cdot h}{3}[/tex3]
[tex3]A_b=\frac{1}{2}\frac{a}{2}\frac{a}{2}=\frac{a^2}{8}[/tex3]
[tex3]V=\frac{\frac{a^2}{8}\cdot\frac{a}{2}}{3}=\frac{a^3}{48}[/tex3]

Assim o volume do sólido [tex3]S[/tex3] vale
[tex3]V_S=V_{cubo}-8V_{tetraedro}[/tex3]
[tex3]V_S=a^3-8\frac{a^3}{48}[/tex3]
[tex3]V_S=\frac{5a^3}{6}\,u.v.[/tex3]

O volume do octaedro vale,
[tex3]V_P=\frac{\ell ^3\sqrt{2}}{3}[/tex3]

Da figura tiramos,
[tex3]\ell^2=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}[/tex3]
[tex3]\ell=\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]V_P=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^3\frac{\sqrt{2}}{3}[/tex3]
[tex3]V_P=\frac{a^3}{6}\,u.v.[/tex3]

Portanto a relação desejada é
[tex3]\boxed{V_S=5V_P}[/tex3]

---

Problema 41

(IME -1969/1970) Calcule as diagonais [tex3]\alpha = AC[/tex3] e [tex3]\beta = BD[/tex3] do quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] inscrito numa circunferência de raio [tex3]R[/tex3].
Dados:

[tex3]a = AB = 2m[/tex3]
[tex3]b = BC = 5m[/tex3]
[tex3]c = CD = 6m[/tex3]
[tex3]d = DA = 3m[/tex3]

Resposta

---

[tex3]\alpha=\frac{9\sqrt{21}}{7}[/tex3]
[tex3]=\sqrt{21}[/tex3]

[theblackmamba]

Solução do Problema 41

ime_69-70.png (9.51 KiB) Exibido 4904 vezes

Pelo Teorema de Ptolomeu:

[tex3]\alpha \cdot \beta=ac+bd[/tex3]
[tex3]\alpha \cdot \beta=12+15[/tex3]
[tex3]\boxed{\alpha \cdot \beta=27}[/tex3]

Pelo Teorema de Hiparco:

[tex3]\frac{\beta}{\alpha}=\frac{ab+cd}{ad+bc}[/tex3]
[tex3]\frac{\beta}{\alpha}=\frac{10+18}{6+30}[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{\beta}{\alpha}=\frac{7}{9}}[/tex3]

Multiplicando as duas:
[tex3]\beta^2=21[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\beta=\sqrt{21}}}\,\,\therefore\,\,\boxed{\boxed{\alpha=\frac{9\sqrt{21}}{7}}}[/tex3]

---

Problema 42

(IME - 1967/68) Sendo [tex3]y[/tex3] um arco compreendido entre [tex3]2\pi[/tex3] e [tex3]\frac{5\pi}{2}[/tex3], determinar seu valor, sabendo que:

[tex3]\tan y=\frac{1}{(\cos^2x-\sen^2x)^2}-\frac{4\tan^2 x}{(1-\tan^2 x)^2}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]y=\frac{9\pi}{4}[/tex3]

[jrneliodias]

Solução do Problema 42

Notemos as seguintes relações trigonométricas:

[tex3]\cos a=\frac{1}{\sec a}[/tex3]
[tex3]\sec^2x-\tan^2x=1[/tex3]
[tex3]\tan 2a=\frac{2\tan^2 a}{1-\tan^2a}[/tex3]

Simplificando:

[tex3]\frac{1}{(\,\cos^2 x-\sen^2 x\,)}-\frac{4\tan^2x}{(1-\tan^2 x)^2}\,\,=\,\,\frac{1}{\cos^2 2x}-\left(\frac{2\tan^2x}{1-\tan^2 x}\right)^2[/tex3]

[tex3]\sec^2 2a-\tan^2 2a=1[/tex3]

Portanto:

[tex3]\tan y=1\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,y=\frac{\pi}{4}+k\pi\,,\,\,onde\,\,k\,\in\,\mathbb{Z}[/tex3]

Como [tex3]y\,\in\,\left[\,2\pi\,,\,\frac{5\pi}{2}\,\right][/tex3]

[tex3]k=2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,y=\frac{9\pi}{4}[/tex3]

---

Problema 43

(IME - 87) Dados dois conjuntos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3], defini-se [tex3]A\,\triangle\, B=(A-B)\cup (B-A)[/tex3]. Prove que dados [tex3]3[/tex3] conjunto arbritários [tex3]X[/tex3], [tex3]Y[/tex3] e [tex3]Z[/tex3]:

[tex3]X\cap(Y\,\triangle\,Z)=(X\cap Y)\,\triangle\,(X\cap Z)[/tex3]

[IsraelSmith]

Solução Problema 43

Desenvolvi da seguinte maneira:

[tex3]X\cap(Y\Delta Z)=(X\cap [(Y-Z)\cup (Z-Y)][/tex3]
[tex3](X\cap (Y-Z))\cup (X\cap (Z-Y))[/tex3]
[tex3]((X\cap Y) - (X\cap Z))\cup ((X\cap Z)-(X\cap Y))[/tex3]

Usando a definição de Diferença Simétrica ([tex3]\Delta[/tex3]).

[tex3](X\cap Y)\Delta (X\cap Z)[/tex3]

---

Problema 44

(IME-2008) Sejam [tex3]f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}[/tex3], [tex3]g(x)=e^x[/tex3] e [tex3]h(x)=g(f^{-1}(x)).[/tex3]. Sejam os valores da base e da altura de um triângulo são definidos por [tex3]h(0,5)[/tex3] e [tex3]h(0,75)[/tex3], respectivamente, a área desse triângulo é igual a:

Resposta

---

[tex3]S=\frac{\sqrt3\sqrt7}{2}[/tex3]

[Natan]

Solução do problema 44

Começamos achando a inversa de [tex3]f,[/tex3] a qual se obtém resolvendo a equação [tex3]y=f(x)[/tex3] para [tex3]x:[/tex3]

[tex3]y=\frac{e^x-\frac{1}{e^x}}{e^x+\frac{1}{e^x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}[/tex3]

[tex3]e^{2x}(y-1)=-1-y\, \Rightarrow\, x=\frac{1}{2} \ln \( \frac{1+y}{1-y} \)\, \therefore\, f^{-1}(x)=\ln \sqrt{\( \frac{1+x}{1-x} \)}[/tex3]

com isso [tex3]h(f^{-1}(x))=e^{\ln \sqrt{\( \frac{1+x}{1-x} \)}}=\sqrt{\( \frac{1+x}{1-x} \)}[/tex3]

A área pedida pode ser avaliada por:

[tex3]A=\frac{h\(\frac{1}{2}\)\cdot h\(\frac{3}{4}\)}{2}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{7}}{2}[/tex3]

---

Problema 45

(IME-2011) Seja [tex3]x[/tex3] um número inteiro positivo menor do que ou igual a 20.000. Sabe-se que [tex3]2^x-x^2[/tex3] é divisível por [tex3]7[/tex3]. Nessas condições, determine quantos são os possíveis valores de [tex3]x[/tex3].

Resposta

---

5716

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 45

Queremos saber os valores de [tex3]x[/tex3] tal que [tex3]2^x-x^2\equiv 0\pmod 7[/tex3], ou então,[tex3]2^x\equiv x^2\pmod 7[/tex3]. Para que isso seja verdade basta encontrar os valores de [tex3]x[/tex3] que deixa os mesmos restos tanto [tex3]2^x[/tex3] quanto [tex3]x^2[/tex3] ao dividir por [tex3]7[/tex3].

[tex3]2^1\equiv 2\pmod 7[/tex3]
[tex3]2^2\equiv 4\pmod 7[/tex3]
[tex3]2^3\equiv 1\pmod 7[/tex3]
[tex3]2^4\equiv 2\pmod 7[/tex3], começou o ciclo novamente.
[tex3]2^5\equiv 4\pmod 7[/tex3]

Também temos,
[tex3]x\equiv 1\pmod 7\Rightarrow x^2\equiv 1\pmod 7[/tex3]
[tex3]x\equiv 2\pmod 7\Rightarrow x^2\equiv 4\pmod 7[/tex3]
[tex3]x\equiv 3\pmod 7\Rightarrow x^2\equiv 2\pmod 7[/tex3]
[tex3]x\equiv 4\pmod 7\Rightarrow x^2\equiv 2\pmod 7[/tex3]
[tex3]x\equiv 5\pmod 7\Rightarrow x^2\equiv 4\pmod 7[/tex3]
[tex3]x\equiv 6\pmod 7\Rightarrow x^2\equiv 1\pmod 7[/tex3]

---

Para os que deixam resto [tex3]1[/tex3] temos
[tex3]2^x\equiv 1\pmod 7[/tex3], para [tex3]x=3k,k\in\mathrm{N^*}[/tex3]
[tex3]x^2\equiv 1\pmod 7[/tex3], para [tex3]x=7t+1,t\in\mathrm{N^*}[/tex3]

Teremos a seguinte sequencia [tex3](15,36,57,\cdots ,19986)[/tex3]
[tex3]n=\frac{19986-15}{21}+1=952[/tex3]

[tex3]2^x\equiv 1\pmod 7[/tex3], para [tex3]x=3k,k\in\mathrm{N^*}[/tex3]
[tex3]x^2\equiv 1\pmod 7[/tex3], para [tex3]x=7t+6,t\in\mathrm{N^*}[/tex3]

Teremos a seguinte sequencia [tex3](6,27,48,\cdots ,19998)[/tex3]
[tex3]n=\frac{19998-6}{21}+1=953[/tex3]

---

Para os que deixam resto [tex3]2[/tex3] temos
[tex3]2^x\equiv 2\pmod 7[/tex3], para [tex3]x=3k+1,k\in\mathrm{N^*}[/tex3]
[tex3]x^2\equiv 2\pmod 7[/tex3], para [tex3]x=7t+3,t\in\mathrm{N^*}[/tex3]

Teremos a seguinte sequencia [tex3](10,31,52,\cdots ,19981)[/tex3]
[tex3]n=\frac{19981-10}{21}+1=952[/tex3]

[tex3]2^x\equiv 2\pmod 7[/tex3], para [tex3]x=3k+1,k\in\mathrm{N^*}[/tex3]
[tex3]x^2\equiv 2\pmod 7[/tex3], para [tex3]x=7t+4,t\in\mathrm{N^*}[/tex3]

Teremos a seguinte sequencia [tex3](4,25,46,\cdots ,19996)[/tex3]
[tex3]n=\frac{19996-4}{21}+1=953[/tex3]

---

Para os que deixam resto [tex3]4[/tex3] temos
[tex3]2^x\equiv 4\pmod 7[/tex3], para [tex3]x=3k+2,k\in\mathrm{N^*}[/tex3]
[tex3]x^2\equiv 4\pmod 7[/tex3], para [tex3]x=7t+2,t\in\mathrm{N^*}[/tex3]

Teremos a seguinte sequencia [tex3](2,23,45,\cdots ,19994)[/tex3]
[tex3]n=\frac{19994-2}{21}+1=953[/tex3]

[tex3]2^x\equiv 4\pmod 7[/tex3], para [tex3]x=3k+2,k\in\mathrm{N^*}[/tex3]
[tex3]x^2\equiv 4\pmod 7[/tex3], para [tex3]x=7t+5,t\in\mathrm{N^*}[/tex3]

Teremos a seguinte sequencia [tex3](5,26,47,\cdots ,19997)[/tex3]
[tex3]n=\frac{19997-5}{21}+1=953[/tex3]

---

Assim a soma desejada vale,
[tex3]S=2\cdot 952+3\cdot 953[/tex3]
[tex3]\boxed{S=5716}[/tex3]

---

Problema 46

(ITA - 1969) Sejam [tex3]f(x) = x^2 + 1[/tex3] e [tex3]g(x) = x-1[/tex3] duas funções reais de variável real. Então [tex3](gof)(y-1)[/tex3] é igual a:

A) [tex3]y^2-2y + 1[/tex3]
B) [tex3](y-1)^2 + 1[/tex3]
C) [tex3]y^2 + 2y-2[/tex3]
D) [tex3]y^2-2y + 3[/tex3]
E) [tex3]y^2-1[/tex3]

Resposta

---

Letra A

[jrneliodias]

Solução do Problema 46

[tex3](g\circ f)(x)\,\,=\,\,g(f(x))[/tex3]

Substituindo na lei na lei da [tex3]g[/tex3]:

[tex3]g(f(x))=f(x)-1\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,g(f(x))=x^2[/tex3]

Fazendo [tex3]x=y-1[/tex3], teremos,

[tex3]g(f(y-1))=(y-1)^2\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\boxed{g(f(y-1))=y^2-2y+1}[/tex3]

---

Problema 47

(AFA - 2014) No ciclo trigonométrico da figura abaixo acrescentou-se as retas [tex3]r[/tex3], [tex3]s[/tex3], [tex3]t[/tex3] e [tex3]z[/tex3]

sd.PNG (10.71 KiB) Exibido 4775 vezes

Nestas condições, a soma das medidas dos três segmentos em destaque, [tex3]AT[/tex3], [tex3]TP[/tex3] e [tex3]PB[/tex3], pode ser calculado, como função de [tex3]\alpha[/tex3], por

[tex3]a)\,\,\sec\,\alpha[/tex3]
[tex3]b)\,\,\csc\,\alpha[/tex3]
[tex3]c)\,\,\tan\,\alpha+\cot \alpha[/tex3]
[tex3]d)\,\,\csc\,\alpha+\sec \alpha[/tex3]

Gabarito:

---

Letra A

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 47

Da figura da questão temos,
[tex3]\tan \alpha = \frac{1-AT}{1}[/tex3]
[tex3]AT=1-\tan\alpha[/tex3]

Também temos,
[tex3]\sen\alpha = \frac{1-AT}{OT}=\frac{\tan\alpha}{OP+PT}=\frac{\tan\alpha}{1+PT}[/tex3]
[tex3]PT=\frac{\tan\alpha}{\sen\alpha}-1=\sec\alpha -1[/tex3]

E por fim,
[tex3]\tan\alpha =\frac{PB}{1}[/tex3]
[tex3]PB=\tan\alpha[/tex3]

Assim temos,
[tex3]AT+PT+PB=(1-\tan\alpha)+(\sec\alpha -1)+(\tan\alpha)=\sec\alpha[/tex3]
[tex3]\boxed{AT+PT+PB=\sec\alpha}[/tex3]. Letra A

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Problema 48

(IME 1969/1970) Seja [tex3]A=(\sqrt{3}+i)^{2\alpha}[/tex3] onde [tex3]\alpha[/tex3] é um número real, inteiro e positivo. Sendo [tex3]A[/tex3] um número real, calcule o valor de [tex3]\alpha[/tex3] para que as raízes da equação [tex3](\alpha + i)^2x + (3 + i)^2y = 0[/tex3] sejam também reais.

OBS.: [tex3]i=\sqrt{-1}[/tex3]

a) [tex3]1[/tex3]
b) [tex3]10[/tex3]
c) [tex3]12[/tex3]
d) [tex3]4[/tex3]
e) Impossível
f) Nenhuma das respostas acima

Resposta

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Letra F

Valores de [tex3]\alpha=\left\{-\frac{1}{3},3\right\}[/tex3]

[theblackmamba]

Solução do Problema 48

[tex3]A=\left[2\cdot \left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sen \frac{\pi}{6}\right)\right]^{2\alpha}=2^{2\alpha}\cdot \left(\cos \,\frac{2\alpha \pi}{6}+i\sen \frac{2\alpha \pi}{6}\right)[/tex3]

Como [tex3]A\,\,\in\,\,\mathbb{R}[/tex3] então a parte imaginária é nula:

[tex3]2^{2\alpha}\cdot \sen \frac{2\alpha \pi}{6}=0[/tex3]. Sendo [tex3]2^{2\alpha} \neq 0[/tex3]:
[tex3]\sen \frac{ \alpha \pi}{3}=0[/tex3]
[tex3]\frac{\alpha \pi}{3}=k \pi[/tex3]
[tex3]\boxed{\alpha=3k,\,\,k\in\mathbb{Z}}[/tex3]

[tex3](\alpha+i)^2x+(3+i)^2 y=0[/tex3]
[tex3](\alpha^2+2\alpha i-1)x+(8+6i)y=0[/tex3]
[tex3](\alpha^2 x-x+8y)+i\cdot (2\alpha x+6y)=0[/tex3]

A parte imaginária da equação deve ser nula:
[tex3]2\alpha x+6y=0[/tex3]
[tex3]\alpha x=-3y[/tex3]

[tex3]\alpha^2 x-x+8y=0[/tex3]
[tex3]\alpha^2 x-x-\frac{8\alpha x}{3}=0[/tex3], sendo [tex3]x \neq 0[/tex3] (se não, a equação teria soluções irreiais)
[tex3]3\alpha^2 -8\alpha-3=0[/tex3]

[tex3]\boxed{\alpha=3}[/tex3] para [tex3]k=1[/tex3] ou [tex3]\alpha=-\frac{1}{3}[/tex3] (não serve), pois [tex3]-\frac{1}{9} \notin \mathbb{Z}[/tex3].

Letra F

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Problema 49

(IME - 1969/70) Na figura abaixo, temos [tex3]n[/tex3] círculos consecutivos e tangentes, cujos diâmetros estão em progressão aritmética de razão [tex3]1[/tex3] e os centros sobre o eixo dos [tex3]x[/tex3]. Seja [tex3]ABCD[/tex3] um trapézio cujas bases [tex3]\overline{AB}=2[/tex3] e [tex3]\overline{CD}[/tex3] são respectivamente os diâmetros do primeiro e do enegésimo círculo. Calcule a área de [tex3]ABCD[/tex3] em função de [tex3]n[/tex3].
OBS.: Área do trapézio = [tex3]\frac{[(\text{Base maior})+(\text{Base menor})]\times (\text{Altura})}{2}[/tex3]

ime1969-70.png (12.16 KiB) Exibido 4760 vezes

A) [tex3](n-1)(2+n+1)^2[/tex3]
B) [tex3]\frac{1}{2}(n^3+5n^2+4)[/tex3]
C) [tex3]\frac{1}{4}(n^3+5n^2+3n-9)[/tex3]
D) [tex3]\frac{1}{4}(n^3+5n^2+4n)[/tex3]
E) [tex3]n^3[/tex3]
F) Nenhuma das respostas acima

Resposta

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Letra C

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 49

Base menor
[tex3]b=2[/tex3]

Base maior
[tex3]B=a_1+(n-1)r=2+(n-1)\cdot 1[/tex3]
[tex3]B=n+1[/tex3]

Altura será a soma de [tex3]\left(\frac{2}{2},\,\,3,\,\,4,\,\,5,\,\,\cdots,\,\,n,\,\,\frac{n+1}{2}\right)[/tex3]
[tex3]h=1+\frac{n+1}{2}+\frac{(3+n)(n-2)}{2}[/tex3]
[tex3]h=\frac{(n+3)(n-1)}{2}[/tex3]

Portanto,
[tex3]A=\frac{(b+B)h}{2}=\frac{(2+n+1)\cdot[(n+3)\cdot(n-1)]}{4}[/tex3]
[tex3]A=\frac{(n+3)^2\cdot(n-1)}{4}[/tex3]
[tex3]\boxed{A=\frac{1}{4}\cdot(n^3+5 n^2+3 n-9)}[/tex3]. Letra C

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Problema 50

(AFA - 1998) Lançando-se [tex3]4[/tex3] dados, sucessivamente, o número de maneiras de se obter soma [tex3]7[/tex3] é

A) [tex3]20[/tex3]
B) [tex3]24[/tex3]
C) [tex3]72[/tex3]
D) [tex3]216[/tex3]

Resposta

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Letra A