Maratonas de Matemática ⇒ V Maratona de Matemática IME/ITA

[undefinied3]

Solução do problema 40:

Generalizando os termos da soma, temos:
[tex3]\sum_{i=1}^{1000} \frac{1}{(3i-2)(3i+1)}[/tex3]
Separando o produto no denominador em uma soma de duas frações:
[tex3]\frac{1}{(3i-2)(3i+1)}=\frac{A}{3i-2}+\frac{B}{3i+1}[/tex3]
[tex3]1=A(3i+1)+B(3i-2)[/tex3]
[tex3]1=3Ai+A+3Bi-2B[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
3A+3B=0 \\
A-2B=1
\end{cases} \rightarrow
\begin{cases}
A+B=0 \\
A-2B=1
\end{cases}[/tex3]
[tex3]A=\frac{1}{3}[/tex3] e [tex3]B=-\frac{1}{3}[/tex3]
Então podemos reescrever a soma:
[tex3]\sum_{i=1}^{1000} \frac{1}{3(3i-2)}-\frac{1}{3(3i+1)}=\frac{1}{3}.\sum_{i=1}^{1000} \frac{1}{(3i-2)}-\frac{1}{(3i+1)}[/tex3]
Colocando alguns valores para a soma, veja o que ocorre:
[tex3]\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}...[/tex3]
Os termos vão se cancelando. É fácil ver então que
[tex3]\frac{1}{3}.\sum_{i=1}^{1000} \frac{1}{(3i-2)}-\frac{1}{(3i+1)}=\frac{1}{3}.\left ( \frac{1}{1}-\frac{1}{3.1000+1} \right ) = \frac{1}{3} \left ( \frac{3000}{3001} \right ) = \frac{1000}{3001}[/tex3]

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Problema 41:

(IME – 2006) Considere o polinômio [tex3]P(x) = x^5 - 3x^4 - 3x^3 + 27x^2 - 44x + 30[/tex3]. Sabendo que o produto de duas de suas raízes complexas é igual a [tex3]3 - i[/tex3] e que as partes reais e imaginárias de todas as suas raízes complexas são inteiras e não – nulas, calcule todas as raízes do polinômio.

Resposta

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[tex3]S=\{ -3,(1-i),(1+i),(2-i),(2+i) \}[/tex3]

[brunoafa]

Solução do Problema 41:

Como as raízes complexas só aparecem aos pares e o grau do polinômio é ímpar, existe pelo menos uma raíz real [tex3]k[/tex3]. O enunciado não diz nada sobre a multiplicidade, então vamos supor que existam raízes complexas [tex3]z[/tex3] e [tex3]w[/tex3] e suas conjugadas [tex3]\overline{z}[/tex3] e [tex3]\overline{w}[/tex3].

[tex3]z \cdot w = (3-i) \\ \\ \overline{z} \cdot \overline{w} = (3+i) \\ \\

\rightarrow z \cdot w \cdot \overline{z} \cdot \overline {w} =(3-i)(3+i)=10[/tex3]

Das relações de Girard:

[tex3]\rightarrow z \cdot w \cdot \overline{z} \cdot \overline {w} \cdot k = -30 \rightarrow \boxed{k=-3}[/tex3]

Abaixando o grau do polinômio por Briot Ruffini chegamos em:

[tex3]q(x)=x^4-6x^3+16x^2-18x+10[/tex3]

Com raízes, [tex3]z, w, \overline{z}, \overline{w}[/tex3].

[tex3]\begin{cases}z+\overline{z}+w+\overline{w}=6 \\
z\overline{z}+zw+z\overline{w}+w\overline{w}=15\end{cases} \\ \\

\\

\begin{cases}Re(z)+Re(w)=3 \\
(z+w)(\overline{z}+\overline{w})=9 =|z+w|^2 \end{cases}
\\ \\ \\
\begin{cases}z+w=3 \\
zw=3-i \end{cases}[/tex3]

[tex3]\boxed{z_{1}=(1-i),z_{2}=(1+i),w_{1}=(2+i),w_{2}=(2-i),3}[/tex3]

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Problema 42:

(IME 83) Determine a soma de todos os números inteiros que são obtidos permutando-se, sem repetição, os algarismos 1, 2, 3, 4, e 5.

Resposta

---

3999960

[undefinied3]

Solução do problema 42:

Inicialmente, veja que para cada número do tipo "[tex3]abcde[/tex3]" existe o que chamarei de complementar "[tex3](6-a)(6-b)(6-c)(6-d)(6-e)[/tex3]". Note que não é um produto, mas os algarismos do número. Além disso, esse número é único.
Somando esses dois números, o resultado é sempre [tex3]66666[/tex3]. Permutando os 5 algarismos, obtemos no total [tex3]5!=120[/tex3] números. Como somamos dois a dois (um número com seu complementar), realizamos 60 somas, e portanto a resposta pedida é [tex3]60.66666=3999960[/tex3]

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Problema 43:

(IME) Dado o quadrilatero ABCD , inscrito num circulo de raio r, conforme a figura abaixo, prove que
[tex3]\frac{AC}{BD}=\frac{AB.AD+BC.CD}{AB.BC+CD.AD}[/tex3]

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Resposta

---

Demonstração

[Marcos]

Solução do problema 43:

IME.png (9.32 KiB) Exibido 3747 vezes

Observe que [tex3]T[/tex3] e [tex3]U[/tex3] são pontos sobre a circunferência circunscrita ao quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] tais que [tex3]\widehat{AT}=\widehat{CD}[/tex3] e [tex3]\widehat{DU}=\widehat{AB}[/tex3].
Logo, [tex3]AT=CD, \ DU=AB, \ BT=CU \ e \ TC=BU=AD[/tex3].
Com isso, aplicando o Teorema de Ptolomeu nos quadriláteros [tex3]TABC[/tex3] e [tex3]UBCD[/tex3] temos:

[tex3]BT\cdot AC=AB\cdot TC+BC\cdot AT \ (i)[/tex3]
[tex3]CU\cdot BD=DU\cdot BC+CD\cdot BU \ (ii)[/tex3]
Dividindo [tex3](i)[/tex3] por [tex3](ii)[/tex3], obtemos

[tex3]\frac{BT.AC}{CU.BD}=\frac{AB.TC+BC.AT}{DU.BC+CD.BU}[/tex3]
[tex3]\frac{\cancel{BT}.AC}{\cancel{CU}.BD}=\frac{AB.TC+BC.AT}{DU.BC+CD.BU}[/tex3]
[tex3]\frac{AC}{BD}=\frac{AB\cdot AD+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+CD\cdot AD} \ (c.q.d)[/tex3]

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Problema 44:

(ITA 1990) Há muito tempo atrás, quando poucas pessoas eram versadas na arte de contar, houve uma grande tempestade no oceano. Um navio, colhido pelo tufão, foi salvo graças ao trabalho excepcional de dois marinheiros. Terminada a borrasca, o capitão, decidido a recompensar seus dois comandados pelo serviço bem executado, anunciou que dividiria entre eles no dia seguinte o conteúdo de um pequeno baú com moedas de ouro, tendo encarregado o seu imediato desta tarefa. Acontece que os dois marinheiros eram muito amigos e, querendo evitar o constrangimento de uma partilha pública, um deles teve a idéia na madrugada de pegar a sua parte do prêmio. Indo ao baú, este marinheiro separou as moedas em dois grupos idênticos e, para sua surpresa, sobrou uma moeda. Não sabendo como proceder, jogou-a ao mar para agradecer aos deuses a sua sobrevivência e pegou a parte que lhe cabia. Porém, mais tarde o segundo marinheiro teve exatamente a mesma idéia. Indo ao baú, ele separou as moedas em dois montes iguais e, para surpresa sua, sobrou uma moeda. Jogou-a ao mar como agradecimento pela sua sorte e tomou a parte que lhe cabia da recompensa. Pela manhã os dois marinheiros se sentiram constrangidos em comunicar o procedimento noturno. Assim, o imediato separou as moedas em dois grupos e verificou que sobrava uma. Deu a cada marinheiro a sua parte do prêmio e tomou para si a moeda restante como paga pelos seus cálculos. Sabendo-se que a razão entre as moedas ganhas pelo primeiro e pelo segundo marinheiros foi de [tex3]\frac{29}{17}[/tex3] então o número de moedas que havia originalmente no baú era:

a) 99
b) 95
c) 135
d) 87
e) n.d.a.

Resposta

---

Letra B

[brunoafa]

Solução do Problema 44:

O número de moedas é ímpar e pode ser representado por [tex3]2n+1[/tex3]. O primeiro marinheiro ficou com [tex3]n[/tex3] moedas, e sendo [tex3]n[/tex3] ímpar podemos escrever que [tex3]n=k+1[/tex3].

O segundo marinheiro ficou com [tex3]k[/tex3] moedas, que também é um número ímpar e pode ser escrito como [tex3]k=\ell+1[/tex3].

[tex3]\frac{n+\ell}{k+\ell}=\frac{29}{17} \rightarrow \frac{5\ell+3}{3\ell+1}=\frac{29}{17} \rightarrow \boxed{\ell= 11} \\ \\ \\

n=4 \cdot 11 + 3 = 47 \rightarrow 2n+1= \boxed{95}[/tex3]

Resposta

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Tentei fazer de outra forma dividindo e subtraindo de uma quantidade [tex3]x[/tex3] mas cheguei a [tex3]96[/tex3], não sei o que fiz de errado.

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Problema 45:

(IME) Calcule o determinante da matriz [tex3]n\times n[/tex3] que possui zeros na diagonal principal e todos os outros elementos iguais a [tex3]1[/tex3].

Resposta

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[tex3]D_{n}=(-1)^{n-1} \cdot (n-1)[/tex3]

[brunoafa]

Resolução do Problema 45:

[tex3]A{nxn}= \det \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \ldots & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \ldots & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \ldots & 1 & 1 \\
: & : & : & : & : \\
1 & 1 & 1 & 1 \ldots 1 & 1 & 0\end{pmatrix} \\ \\

\boxed{\rightarrow L_{i}= L{i}-L_{n}, 1\leq i < n} \\ \\

\rightarrow det \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \ldots & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 & 0 \ldots & 0 & 1 \\
0 & -0 & -1 & 0 \ldots & 0 & 1 \\
: & : & : & : & : \\
1 & 1 & 1 & 1 \ldots & 1 & (n-1) \end{pmatrix} \\ \\
\boxed{\det= (-1)^{n-1}\cdot(n-1)}[/tex3]

---

Problema 46: (ITA 2003) Considere o conjunto [tex3]S=\{{(a,b) \in \mathbb{N} \ast \mathbb{N}: a+b=18}\}.[/tex3] A soma de todos os números da forma [tex3]\frac{18!}{a!\cdot b!}, \forall (a,b) \in S[/tex3], é:

a)[tex3]8^6[/tex3]
b)[tex3]9![/tex3]
c)[tex3]9^6[/tex3]
d)[tex3]12^6[/tex3]
e)[tex3]12![/tex3]

Resposta

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Letra A

[Marcos]

Resolução do Problema 46:

[tex3]\blacktriangleright S=\{{(a,b) \in \mathbb{N} \ast \mathbb{N}: a+b=18}\}=[/tex3]
[tex3]={(0;18),(1;17),(2;16),(3;15),....,(18;0)}[/tex3].

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] A soma de todos os números da forma [tex3]\frac{18!}{a!\cdot b!}, \forall (a,b) \in S[/tex3] é:
[tex3]\frac{18!}{0!18!}+\frac{18!}{1!17!}+\frac{18!}{2!16!}+\frac{18!}{3!15!}+......+\frac{18!}{18!0!}=[/tex3]
[tex3]=\begin{pmatrix}18 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}18 \\ 1 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}18 \\ 2 \\ \end{pmatrix}+...........\begin{pmatrix}18 \\ 18 \\ \end{pmatrix}=2^{18}=\boxed{\boxed{8^{6}}}\Longrightarrow Letra:(A)[/tex3]

Resposta: [tex3]A[/tex3]

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Problema 47:

(ITA 1968) Num relógio, o ponteiro dos minutos se superpõe ao ponteiro das horas exatamente às:

a) [tex3]6h \ e \ \frac{355}{11} \ min[/tex3]
b) [tex3]6h \ e \ \frac{358}{11} \ min[/tex3]
c) [tex3]6h \ e \ \frac{360}{11} \ min[/tex3]
d) [tex3]6h \ e \ \frac{365}{11} \ min[/tex3]
e) [tex3]\text{Nada disso}[/tex3]

Resposta

---

Letra C

[brunoafa]

Tem certeza que esse problema é de matemática? AHA

Solução do Problema 47

Movimento angular uniforme:

[tex3]\phi =\phi _{0}+\omega \cdot t[/tex3]

Ponteiro dos minutos:

[tex3]\omega = \frac{2\pi}{60}[/tex3]

Ponteiro das horas:

[tex3]\omega = \frac{2\pi}{720}[/tex3]

[tex3]\phi = \phi ' \\ \\
\frac{2\pi}{60}t = \pi + \frac{2\pi}{720}t \\ \\

\boxed{t=\frac{360}{11}}[/tex3]


(Deve ter uma forma de fazer matematicamente usando trigonometria)

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Problema 48

(AFA 2016) Considere a região E do plano cartesiano dada por

[tex3]E= \begin{cases}\frac{y}{3}+\frac{x}{3} \leq 1 \\ \\
y+x \geq 1 \\ \\
x \geq 0 \\ \\
y \geq 0 \end{cases}[/tex3]
O volume do sólido gerado, se E efetuar uma rotação de [tex3]270[/tex3] º em torno do eixo Ox em unidades de volume é igual a

a)[tex3]\frac{26\pi}{3}[/tex3]
b)[tex3]26\pi[/tex3]
c)[tex3]\frac{13\pi}{2}[/tex3]
d)[tex3]\frac{13\pi}{3}[/tex3]

Resposta

---

Letra C

[Marcos]

Resolução do Problema 48

Desenhando a região do plano: [tex3]E= \begin{cases}\frac{y}{3}+\frac{x}{3} \leq 1 \\ \\y+x \geq 1 \\ \\ x \geq 0 \\ \\y \geq 0 \end{cases}[/tex3]

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Ao rotacionar, temos uma figura semelhante a [tex3]\frac{3}{4}[/tex3] de um cone de altura [tex3]3[/tex3] e raio da base [tex3]3[/tex3] e [tex3]\frac{3}{4}[/tex3] de um cone de altura [tex3]1[/tex3] e raio da base [tex3]1[/tex3].A região gerada pela rotação de [tex3]E[/tex3] fica assim:

UTOPIA.png (5.77 KiB) Exibido 3717 vezes

Logo, o volume será:

[tex3]V=\frac{3}{4}.\frac{1}{3}\left(\pi.3^2.3-\pi.1^2.1\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{V=\frac{13\pi }{2}}} \Longrightarrow Letra:(C)[/tex3]

Resposta: [tex3]C[/tex3]

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Problema 49

(EN 1991) Escrevem-se os inteiros positivos em ordem crescente [tex3]12345678910111213.........[/tex3].O [tex3]1991^o[/tex3] algarismo escrito é:

[tex3]a) \ 0[/tex3]
[tex3]b) \ 1[/tex3]
[tex3]c) \ 3[/tex3]
[tex3]d) \ 5[/tex3]
[tex3]e) \ 4[/tex3]

Resposta

---

Letra A

[brunoafa]

Solução do Problema 49

Créditos ao professor Caju.

Vamos separar a contagem em intervalos com números contendo a mesa quantidade de algarismos, ou seja, primeiro os de [tex3]1[/tex3] algarismo, depois os de [tex3]2[/tex3] e por fim os de [tex3]3[/tex3] (deve ser suficiente):

[tex3]1[/tex3] algarismo: [tex3]1->9 = 9[/tex3] números = [tex3]9[/tex3] algarismos
[tex3]2[/tex3] algarismos: [tex3]10 -> 99 = 90[/tex3] números = [tex3]90 \cdot 2[/tex3] = 180 algarismos

Ao escrevermos o número [tex3]99[/tex3] já teremos escrito [tex3]180 + 9 = 189[/tex3] algarismos. O exercício pede o de posição [tex3]1991[/tex3], portanto, falta-nos [tex3]1991 - 189 = 1802[/tex3] algarismos.
Vamos então entrar nos números de [tex3]3[/tex3] algarismos aos poucos:

[tex3]100 -> 699 = 600[/tex3] números = [tex3]600 \cdot 3 = 1800[/tex3] algarismos

Ou seja, ao escrever o numeral pedido até o número [tex3]699[/tex3] já teremos escrito [tex3]1800 + 189 = 1989[/tex3] algarismos, faltando-nos apenas mais dois algarismos. Sendo assim, podemos escrever o início e o final do numeral pedido:

[tex3]1234567891011121314...69869970[/tex3]

O que nos leva à alternativa letra "A".

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Problema 50

(AFA 1996) Numa urna são depositadas 145 etiquetas numeradas de 1 a 45. Três etiquetas são sorteadas, sem reposição. A probabilidade de os números sorteados serem consecutivos é:

a) [tex3]\frac{1}{145\cdot 144}[/tex3]
b) [tex3]\frac{1}{145\cdot 144 \cdot 143}[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{24\cdot 145}[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{72\cdot 145 \cdot 143}[/tex3]