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Solução do Problema 50
Esfera Inscrita:

[tex3]\frac{\text{Hipotenusa}_{\text{Menor}}}{\text{Hipotenusa}_{\text{Maior}}} = \frac{r}{\frac{a}{2}}[/tex3]

[tex3]\frac{h - r}{\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}} = \frac{r}{\frac{a}{2}}[/tex3]

[tex3]r\cdot \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}} = h\cdot \frac{a}{2} - r\cdot \frac{a}{2}[/tex3]

[tex3]r\cdot \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}} + r\cdot \frac{a}{2} = h\cdot \frac{a}{2}[/tex3]

[tex3]\boxed{r = \frac{h\cdot \frac{a}{2}}{\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}} + \frac{a}{2}}}[/tex3]

Esfera Circunscrita:

[tex3]r^2 = (h - r)^2 + \left(\frac{\left(a \sqrt{2}\right)}{2}\right)^2[/tex3]

[tex3]r^2 = h^2 - 2h\cdot r + r^2 + \frac{2a^2}{4}[/tex3]

[tex3]\boxed{r = \frac{h^2 + \frac{a^2}{2}}{2h}}[/tex3]

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Problema 51

(ITA-73) A desigualdade [tex3]a^3 + \frac{1}{a^3} > a^2 + \frac{1}{a^2}[/tex3] é verdadeira se:

a) [tex3]|a| > 1[/tex3]
b) [tex3]a \neq 1, \ a \neq 0[/tex3]
c) [tex3]a > 0, \ a \neq 1[/tex3]
d) [tex3]|a| < 1, \ a \neq 0[/tex3]
e) [tex3]nda[/tex3]

Solução do Problema 51

[tex3](a^3 - a^2) + \left(\frac{1}{a^3} - \frac{1}{a^2}\right) > 0[/tex3]

[tex3]a^2(a-1) + \frac{1-a}{a^3} > 0[/tex3]

[tex3](a-1)\left(a^2 - \frac{1}{a^3}\right) > 0[/tex3]

[tex3]\frac{(a-1)(a^5-1)}{a^3} > 0[/tex3]

Se [tex3]a>0[/tex3], então [tex3](a-1)(a^5-1)>0[/tex3], que é verdade para todo [tex3]a \neq 1[/tex3].

Se [tex3]a<0[/tex3], então [tex3](a-1)(a^5-1)<0[/tex3], que nunca é verdade.

Desta forma, os possíveis valores de a está no intervalo [tex3](0,1) \cup (1, \infty)[/tex3], assim temos como resposta a Letra C.

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Problema 52

(ITA- 73)Consideremos um cone de revolução de altura h, e um cilindro nele inscrito. Seja d a distância do vértice do cone à base superior do cilindro. A altura H de um segundo cilindro inscrito neste cone (diferente do primeiro) e de mesmo volume do primeiro é dada por:

a) [tex3]H=\frac{h-\sqrt{h-d}}{3}[/tex3]
b) [tex3]H=\frac{h\pm \sqrt{h^2-d^2}}{3}[/tex3]
c) [tex3]H=\frac{h-d+h\sqrt{h^2-d^2}}{2}[/tex3]
d) [tex3]H=\frac{h+d-\sqrt{(h-d)(h+3d)}}{2}[/tex3]
e) N.R.A

Solução do Problema 52
Relações Notáveis

[tex3]R = Raio_{Cone}[/tex3]

[tex3]r1 = Raio_{Cilindro1}[/tex3]

[tex3]r2 = Raio_{Cilindro2}[/tex3]

[tex3]H_{Cilindro1} = (h-d)[/tex3] (Pelo Desenho)

[tex3]H_{Cilindro2} = H[/tex3] (Pelo Enunciado)

[tex3]\frac{d}{r1} = \frac{h}{R}[/tex3] (I)

[tex3]\frac{h - H}{r2} = \frac{h}{R}[/tex3] (II)

[tex3]V_{Cilindro1} = \pi (r1)^2 (h - d)[/tex3] (III)

[tex3]V_{Cilindro2} = \pi (r2)^2 H[/tex3] (IV)

Do enunciado, tiramos (III) = (IV):

[tex3]H = \left(\frac{r1}{r2}\right)^2 (h - d)[/tex3] (V)

Isolando [tex3]R[/tex3] em (I):

[tex3]R = \frac{h.r1}{d}[/tex3]

Isolando [tex3]R[/tex3] em (II):

[tex3]R = \frac{h.r2}{h - H}[/tex3]

Igualando as equações de [tex3]R[/tex3]:

[tex3]\boxed{\frac{r1}{r2} = \frac{d}{h - H}}[/tex3] (VI)

Substituindo (VI) em (V):

[tex3]H = \frac{d^2}{h^2 - 2hH + H^2} (h - d)[/tex3]

Multiplicando por [tex3]h^2 - 2hH + H^2[/tex3] por ambos os lados:

[tex3]H^3 - (2h)H^2 + (h^2)H + (d^3 - d^2h) = 0[/tex3]

Fatorando:

[tex3](H + d - h)(H^2 - (h + d)H + d^2) = 0[/tex3]

Solução 1: [tex3]H - d + h = 0 \to \cancel{\boxed{H = h - d}}[/tex3] (Se fosse verdade os dois cilindros teriam a mesma altura e seriam iguais, o que é absurdo)

Solução 2: [tex3]H^2 - (h + d)H + d^2 = 0[/tex3]

[tex3]\Delta = h^2 + 2hd - 3d^2[/tex3]

[tex3]H = \frac{h + d \pm \sqrt{h^2 + 2hd - 3d^2}}{2}[/tex3]

[tex3]\boxed{H = \frac{h + d \pm \sqrt{(h - d)(h + 3d)}}{2}}[/tex3]

Letra D

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Problema 53

(IME-66) Entre os números [tex3]3[/tex3] e [tex3]192[/tex3] insere-se igual número de meios aritméticos e geométricos com razões [tex3]r[/tex3] e [tex3]q[/tex3] respectivamente. Sabe-se que o terceiro termo do desenvolvimento de [tex3]\left(1 + \frac{1}{q}\right)^8[/tex3] em potências crescentes de [tex3]\frac{1}{q}[/tex3] é [tex3]\frac{r}{9q}[/tex3]. Pede-se para determinar as progressões.

Solução do Problema 53

Como queremos em ordem crescente,então:
[tex3]\left(1+\frac{1}{q}\right)^8=\sum_{k=0}^8\binom{8}{k}1^{8-k}\left(\frac{1}{q}\right)^k[/tex3]

O terceiro termos é:
[tex3]T_3=\binom{8}{2}\left(\frac{1}{q}\right)^2[/tex3]

Do enunciado,temos
[tex3]\frac{r}{9\cancel{q}}=\frac{28}{q^{\cancel{2}}}[/tex3]

[tex3]q\cdot r=252[/tex3]

PA: [tex3]a_n=a_1+(n-1)r[/tex3]
[tex3]r=\frac{189}{n-1}[/tex3]

PG:[tex3]a_n=a_1q^{n-1}[/tex3]
[tex3]q^{n-1}=2^6[/tex3]

Assim temos,
[tex3]\frac{189}{n-1}\cdot 2^{\frac{6}{n-1}}=252[/tex3]
[tex3]2^{\frac{6}{n-1}}=\frac{4(n-1)}{3}[/tex3]

Observando vemos que só é satisfeito para [tex3]n-1=3\,\therefore \, n=4[/tex3].

Logo temos,
[tex3]r=\frac{189}{3}=63[/tex3] então, PA: [tex3](3,66,129,192)[/tex3]

[tex3]q=2^{\frac{6}{3}}=4[/tex3] então, PG: [tex3](3,12,48,192)[/tex3]

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Problema 54

(ITA-73) Seja S uma semi-esfera de raio R dado. Sejam p e q dois planos paralelos e distantes entre si [tex3]\frac{R}{2}[/tex3] e tais que interceptem S paralelamente à sua base. Seja T o tronco de cone com bases b e c, onde b e são as interseções de p e q com S. Seja x o valor da menor das distâncias d e D, onde d é a distância entre p e a base de S, e D é a distância entre q e a base de S. Seja k descrito abaixo.

[tex3]k=\left[(R^2-x^2)\left(R^2-\left(x^2+\frac{R^2}{2}\right)^2\right)\right]^{\frac{1}{2}}[/tex3]

Então o volume de [tex3]T[/tex3], como função de [tex3]x[/tex3], [tex3]0\leq x \leq \frac{R}{2}[/tex3] vale:

a) [tex3]\frac{\pi R}{6}\left(\frac{7R^2}{4}-2x^2-Rx+k\right)[/tex3]
b) [tex3]\frac{\pi R}{12}\left(\frac{7R^2}{4}-2x^2-Rx+k\right)[/tex3]
c) [tex3]\frac{\pi R}{12}\left(\frac{7R^2}{4}-2x^2-Rx-k\right)[/tex3]
d) [tex3]\frac{\pi R}{6}\left(\frac{7R^2}{4}-2x^2-Rx-k\right)[/tex3]
e) N.R.A

Solução do Problema 54
Relações notáveis e notações:
- BMA = Base Maior, BME = Base Menor; chamei os raios de [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3], já que é a letra dada no enunciado para reconhcer essas bases.
- [tex3]h[/tex3] é a altura do tronco de cone, que no caso é [tex3]\frac{R}{2}[/tex3].
- [tex3]R[/tex3] é o raio da semi-esfera.
- De acordo com o enunciado, na figura [tex3]x = d[/tex3].
- [tex3]D = \frac{R}{2} + d[/tex3].

1) Volume - Tronco de Cone: [tex3]\frac{1}{3} \pi h (R_{BMA}^2 + R_{BMA} \cdot r_{BME} + r_{BME}^2)[/tex3]

Substituindo:

[tex3]V_{T} = \frac{1}{3} \pi \frac{R}{2} (b^2 + b\cdot c + c^2) = \boxed{\frac{\pi R}{6} (b^2 + b\cdot c + c^2)}[/tex3] (I)

Por Pitágoras, podemos tirar duas relações importantes:

[tex3]R^2 = d^2 + b^2[/tex3] (II)
[tex3]R^2 = (d + \frac{R}{2})^2 + c^2[/tex3] (III)

Isolando [tex3]b[/tex3] em (II):

[tex3]\boxed{b = \sqrt{R^2 - d^2}}[/tex3]

Isolando [tex3]c[/tex3] em (III):

[tex3]\boxed{c = \sqrt{R^2 - (d + \frac{R}{2})^2}}[/tex3]

Percebe-se dessas duas relações a relação dada no enunciado:

[tex3]k = b\cdot c[/tex3]

Substituindo em (I):

[tex3]V_{T} = \frac{\pi R}{6} (R^2 - d^2 + k + R^2 - (d + \frac{R}{2})^2)[/tex3]

Substituindo [tex3]d[/tex3] por [tex3]x[/tex3]:

[tex3]V_{T} = \frac{\pi R}{6} (R^2 - x^2 + k + R^2 - (x + \frac{R}{2})^2)[/tex3]

[tex3]V_{T} = \frac{\pi R}{6} (2R^2 - x^2 + k - (x^2 + R\cdot x + \frac{R^2}{4}))[/tex3]

[tex3]\boxed{V_{T} = \frac{\pi R}{6} \left(\frac{7R^2}{4} - 2x^2 - R\cdot x + k\right)}[/tex3]

Letra A

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Problema 55

(IME-72) Calcule o determinante:

[tex3]\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1& 1 & 1\\
1 & 1 + M & 1& 1 & 1\\
1 & 1 & 1 + N & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 + P & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 + R
\end{vmatrix}[/tex3]

Sendo:

• [tex3]M = log_{a} a^a[/tex3]
  
  [tex3]N = e^{ln a}[/tex3]
  
  [tex3]P = log_{10} 10^(\frac{1}{a})^2[/tex3]
  
  [tex3]R = (2a)^{2 log_{a} a}[/tex3]

Solução do Problema 55

Temos que,
[tex3]M = \log_{a} a^a=a[/tex3]

[tex3]N = e^{ln a}=a[/tex3]

[tex3]P = \log_{10} 10^{(\frac{1}{a})^2}=\left(\frac{1}{a}\right)^2[/tex3]

[tex3]R = (2a)^{2 \log_{a} a}=(2a)^2[/tex3]

Subtraindo cada coluna da primeira temos,
[tex3]\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1& 1 & 1\\ 1 & 1 + M & 1& 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 + N & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 + P & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + R \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0& 0 & 0\\ 1 & M & 0& 0 & 0\\ 1 & 1 & N & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & P & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & R \end{vmatrix}=1\cdot M\cdot N\cdot P\cdot R=1\cdot a\cdot a\cdot \left(\frac{1}{a}\right)^2\cdot (2a)^2=\boxed{4a^2}[/tex3]

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Problema 56

(IME-72/73) Calcule

[tex3]S=\sum_{n=1}^{30}\frac{1}{n^2+3n+2}[/tex3]

Solução do Problema 56

[tex3]\frac{1}{n^2 + 3n + 2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}[/tex3]

Decompondo em frações parciais:

[tex3]\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n+2}[/tex3]

Usando a propriedade dos somatórios:

[tex3]\sum_{n=1}^{30} \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \sum_{n=1}^{30} \frac{1}{n+1} - \sum_{n=1}^{30} \frac{1}{n+2}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2} - \cancel{\frac{1}{3}} + \cancel{\frac{1}{3}} - \cancel{\frac{1}{4}} + \cancel{\frac{1}{4}} + ... - \frac{1}{32}[/tex3]

[tex3]\frac{16}{32} - \frac{1}{32} = \boxed{\frac{15}{32}}[/tex3]

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Problema 57

(IME-57) Uma reta se desloca de modo que a soma dos inversos dos segmentos que ela determine sobre os eixos coordenados é constante e igual a [tex3]\frac{1}{k}[/tex3]. Demonstrar que esta reta passa por um ponto fixo e dizer onde está situado esse ponto.

Solução do Problema 57

Seja os pontos [tex3]P(a,0)[/tex3] e [tex3]Q(0,b)[/tex3]

Escrevendo a equação segmentada, temos
[tex3]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1[/tex3] [tex3]{\color{red}(1)}[/tex3]

Do enunciando tiramos,
[tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{k}[/tex3]

Isolando b encontramos,
[tex3]b=\frac{ak}{a-k}[/tex3]

Substituindo em (1) encontramos
[tex3]kx+(a-k)y=ak[/tex3] [tex3]{\color{red}(2)}[/tex3]

Pegando dois valores para a, tal que [tex3]a \neq 0[/tex3] e [tex3]a \neq k[/tex3]
[tex3]\begin{cases}a=2 \\ b=3\end{cases}\,\,\rightarrow\,\,\begin{cases}kx+(2-k)y=2k\,\,\,\,{\color{red}(3)} \\ kx+(3-k)y=3k\,\,\,\,{\color{red}(4)}\end{cases}[/tex3]

Assim temos um conjunto de retas que concorrem no ponto [tex3](k,\,k)[/tex3].

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Problema 58

(IME-71/72-Modificada) Dizemos que [tex3]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3] é uma função exponencial se [tex3]f(x)=a^x,\, \forall \,x \in \mathbb{R}[/tex3] onde [tex3]a[/tex3] é uma constante real estritamente positiva.

Determine as funções exponenciais que satisfazem a equação [tex3]6f(x+5)+f(x+4)-43f(x+3)-43f(x+2)+f(x+1)+6f(x)=0[/tex3]

Solução do Problema 58

Arrumando o enunciado: [tex3]{-}43f(x+3) - 43f(x+\boxed{2})[/tex3].

Aplicando a definição:

[tex3]6a^{x + 5} + a^{x+4} - 43a^{x+3} - 43^{x+2} + a^{x+1} + 6a^x = 0[/tex3]

Dividindo tudo por [tex3]a^x[/tex3]:

[tex3]6a^5 + a^4 - 43a^3 - 43a^2 + a + 6 = 0[/tex3]

Por pesquisa, uma das raízes encontradas é [tex3]{-}1[/tex3], nos dando a primeira função:

[tex3]\boxed{f_{1} (x) = (-1)^x}[/tex3]

Aplicando Briot-Ruffini:

[tex3]\begin{array}{c|ccccc|c} & 6 & 1 & -43 & -43 & 1 & 6 \\ \hline
-1 & 6 & -5 & -38 & -5 & 6 & \boxed{0} \\ \end{array}[/tex3]

Equação rebaixada:

[tex3]6a^4 - 5a^3 - 38a^2 - 5a + 6 = 0[/tex3]

Dividindo tudo por [tex3]a^2[/tex3]:

[tex3]6a^2 - 5a - 38 - \frac{5}{a} + \frac{6}{a^2} = 0[/tex3]

[tex3]6\left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right) - 5\left(a + \frac{1}{a}\right) - 38 = 0[/tex3]

Chamando:

[tex3]t = a + \frac{1}{a}[/tex3] (I)

Elevando ao quadrado:

[tex3]t^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}[/tex3]
[tex3]t^2 - 2 = a^2 + \frac{1}{a^2}[/tex3] (II)

Substituindo (I) e (II) na equação original:

[tex3]6(t^2 - 2) - 5t - 38 = 0[/tex3]
[tex3]6t^2 - 12 - 5t - 38 = 0[/tex3]
[tex3]6t^2 - 5t - 50 = 0[/tex3]

[tex3]\Delta = 25 + 1200 = 1225 = 35^2[/tex3]

[tex3]t = \frac{5 \pm 35}{12}[/tex3]

[tex3]\boxed{t_{1} = \frac{10}{3}}[/tex3]
[tex3]\boxed{t_{2} = -\frac{5}{2}}[/tex3]

Voltando à incógnita original:

[tex3]\frac{10}{3} = a + \frac{1}{a}[/tex3] (III)
[tex3]{-}\frac{5}{2} = a + \frac{1}{a}[/tex3] (IV)

Resolvendo (III):

[tex3]3a^2 - 10a + 3 = 0[/tex3]

[tex3]\Delta = 100 - 36 = 64 = 8^2[/tex3]

[tex3]a = \frac{10 \pm 8}{6}[/tex3]

O que nos dá outras duas funções:

[tex3]\boxed{f_{2} (x) = 3^x}[/tex3], [tex3]\boxed{f_{3} (x) = \frac{1}{3^x}}[/tex3]

Resolvendo (IV) pelo mesmo método:

[tex3]a = \frac{-5 \pm 3}{4}[/tex3]

O que nos dá as funções restantes:

[tex3]\boxed{f_{4} (x) = (-2)^x}[/tex3], [tex3]\boxed{f_{5} (x) = (-\frac{1}{2})^x}[/tex3]

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Problema 59

(IME-49) Transformar o determinante [tex3]\Delta = \begin{vmatrix}f_{1}\cdot\cos \theta + g_{1}\cdot\sen \theta & f_{2}\cdot\cos \theta + g_{2}\cdot\sen \theta\\ -f_{1}\cdot\sen \theta + g_{1}\cdot\cos \theta & -f_{2}\cdot\sen \theta + g_{2}\cdot\cos \theta\end{vmatrix}[/tex3] no produto de dois determinantes.

Calcular então, o valor de [tex3]\Delta[/tex3].

Solução do Problema 58

Correção:
As funções [tex3]f_1(x)[/tex3],[tex3]f_4(x)[/tex3] e [tex3]f_5(x)[/tex3] não satisfazem ao enunciado, onde diz que a é estritamente positiva.

Assim temos como resposta apenas,
[tex3]\boxed{f_{2} (x) = 3^x},\, \boxed{f_{3} (x) = \frac{1}{3^x}}[/tex3]

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Solução do Problema 59
[tex3]\Delta =\begin{vmatrix} f_{1}\cdot\cos \theta + g_{1}\cdot\sen \theta & f_{2}\cdot\cos \theta + g_{2}\cdot\sen \theta\\ -f_{1}\cdot\sen \theta + g_{1}\cdot\cos \theta & -f_{2}\cdot\sen \theta + g_{2}\cdot\cos \theta \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos \theta & \sen \theta \\ -\sen \theta & \cos\theta \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}f_1 &f_2\\ g_1& g_2 \end{vmatrix}[/tex3]

Logo, a determinante vale:
[tex3]\det \Delta=1.(f_1.g_2)-(g_1.f_2)[/tex3]

[tex3]\boxed{\det \Delta=f_1\cdot g_2-g_1\cdot f_2}[/tex3]

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Problema 60

(IME -54/55) Resolva a equação
[tex3]\begin{vmatrix}x&0&0&-5\\-1&x&0&6\\0&-1&x&7\\0&0&-1&2\end{vmatrix}=0[/tex3]