Maratonas de Matemática ⇒ V Maratona de Matemática IME/ITA

[Marcos]

Resolução do Problema 50

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Numa urna são depositadas [tex3]145[/tex3] etiquetas numeradas de [tex3]1 \ a \ 145 \Rightarrow \ (1,2,3,4,.....,143,144,145)[/tex3].

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Três etiquetas são sorteadas, sem reposição:

Total de possibilidades:[tex3]\boxed{145\cdot 144\cdot 143}[/tex3]

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Números sorteados serem consecutivos:

[tex3]\boxed{1^\circ}\rightarrow \ \(\boxed{1},\,2,\,3\)[/tex3]
[tex3]\boxed{2^\circ}\rightarrow \ \(\boxed{2},\,3,\,4\)[/tex3]
[tex3]\boxed{3^\circ}\rightarrow \ \(\boxed{3},\,4,\,5\)[/tex3]
[tex3]\boxed{4^\circ}\rightarrow \ \(\boxed{4},\,5,\,6\)[/tex3]
[tex3]\boxed{5^\circ}\rightarrow \ \(\boxed{5},\,6,\,7\)[/tex3]
[tex3]\boxed{6^\circ}\rightarrow \ \(\boxed{6},\,7,\,8\)[/tex3]
[tex3]........................[/tex3]
[tex3]\boxed{139^\circ}\rightarrow \ \(\boxed{139},\,140,\,141\)[/tex3]
[tex3]\boxed{140^\circ}\rightarrow \ \(\boxed{140},\,141,\,142\)[/tex3]
[tex3]\boxed{141^\circ}\rightarrow \ \(\boxed{141},\,142,\,143\)[/tex3]
[tex3]\boxed{142^\circ}\rightarrow \ \(\boxed{142},\,143,\,144\)[/tex3]
[tex3]\boxed{143^\circ}\rightarrow \ \(\boxed{143},\,144,\,145\) \Rightarrow \boxed{143 \ casos}[/tex3]

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] A probabilidade de os números sorteados serem consecutivos é:

[tex3]P=\frac{143}{145\cdot 144\cdot 143} \rightarrow \boxed{\boxed{P=\frac{1}{145\cdot 144}}} \Longrightarrow Letra:(A)[/tex3]

Resposta: [tex3]A[/tex3]

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Problema 51

(CN 1997) Numa cidade, [tex3]28\%[/tex3] das pessoas têm cabelos pretos e [tex3]24\%[/tex3] possuem olhos azuis. Sabendo que [tex3]65\%[/tex3] da população de cabelos pretos têm olhos castanhos e que a população de olhos verdes que tem cabelos pretos é [tex3]10\%[/tex3] do total de pessoas de olhos castanhos e cabelos pretos, qual a porcentagem, do total de pessoas de olhos azuis, que tem os cabelos pretos ?

Obs: Nesta cidade só existem pessoas de olhos azuis, verdes ou castanhos.

[tex3]a) \ 30,25\%[/tex3]
[tex3]b) \ 31,25\%[/tex3]
[tex3]c) \ 32,25\%[/tex3]
[tex3]d) \ 33,25\%[/tex3]
[tex3]e) \ 34,25\%[/tex3]

Resposta

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Letra D

[brunoafa]

Solução do Problema 51

A porcentagem de pessoas de cabelos pretos e olhos castanhos é [tex3]y= 65 \cdot 0,28 = 18,2[/tex3]%

A porcentagem de pessoas de cabelos pretos e olhos verdes é [tex3]z=10 \cdot 0,182= 1,82[/tex3]%

A porcentagem de pessoas de cabelos pretos e olhos azuis é dada por:

[tex3]x=28-y-z=28-18,2-1,82=7,98[/tex3]%

Total= [tex3]\frac{7,98}{24}=33,25[/tex3]%

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Probleama 52

(AFA 1996) Uma urna contém bolas numeradas de [tex3]1[/tex3] a [tex3]9[/tex3]. Sorteiam-se, com reposição, duas bolas. A probabilidade de o número da segunda bola ser estritamente menor que o da primeira é:
a)[tex3]\frac{10}{27}[/tex3]
b)[tex3]\frac{4}{9}[/tex3]
c)[tex3]\frac{5}{9}[/tex3]
d)[tex3]\frac{8}{9}[/tex3]

[Marcos]

Resolução do Problema 52

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Uma urna contém bolas numeradas de [tex3]1 \ a \ 9 \Rightarrow \ \(1,\,2,\,3,\,4,\,\ldots,\,7,\,8,\,9\)[/tex3]
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Sorteiam-se, com reposição, duas bolas:

Total de possibilidades:[tex3]\boxed{9.9}[/tex3]

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] O número da segunda bola ser estritamente menor que o da primeira é:

[tex3]\rightsquigarrow (1,\,2);\,(1,\,3);\,(1,\,4);\,(1,\,5);\,(1,\,6);\,(1,\,7);\,(1,\,8);\,(1,\,9)\Rightarrow \boxed{\text{nenhum caso}}[/tex3]
[tex3]\rightsquigarrow \boxed{(2,\,1)};\,(2,\,3);\,(2,\,4);\,(2,\,5);\,(2,\,6);\,(2,\,7);\,(2,\,8);\,(2,\,9)\Rightarrow \boxed{\text{1 caso}}[/tex3]
[tex3]\rightsquigarrow \boxed{(3,\,1);\,(3,\,2)};\,(3,\,4);\,(3,\,5);\,(3,\,6);\,(3,\,7);\,(3,\,8);\,(3,\,9)\Rightarrow \boxed{\text{2 casos}}[/tex3]
[tex3]\rightsquigarrow \boxed{(4,\,1);\,(4,\,2);\,(4,\,3)};\,(4,\,5);\,(4,\,6);\,(4,\,7);\,(4,\,8);\,(4,\,9)\Rightarrow \boxed{\text{3 casos}}[/tex3]
[tex3]\rightsquigarrow \boxed{(5,\,1);\,(5,\,2);\,(5,\,3);\,(5,\,4)};\,(5,\,6);\,(5,\,7);\,(5,\,8);\,(5,\,9)\Rightarrow \boxed{\text{4 casos}}[/tex3]
[tex3]\rightsquigarrow \boxed{(6,\,1);\,(6,\,2);\,(6,\,3);\,(6,\,4);\,(6,\,5)};\,(6,\,7);\,(6,\,8);\,(6,\,9)\Rightarrow \boxed{\text{5 casos}}[/tex3]
[tex3]\rightsquigarrow \boxed{(7,\,1);\,(7,\,2);\,(7,\,3);\,(7,\,4);\,(7,\,5);\,(7,\,6)};\,(7,\,8);\,(7,\,9)\Rightarrow \boxed{\text{6 casos}}[/tex3]
[tex3]\rightsquigarrow \boxed{(8,\,1);\,(8,\,2);\,(8,\,3);\,(8,\,4);\,(8,\,5);\,(8,\,6);\,(8,\,7)};\,(8,\,9)\Rightarrow \boxed{\text{7 casos}}[/tex3]
[tex3]\rightsquigarrow \boxed{(9,\,1);\,(9,\,2);\,(9,\,3);\,(9,\,4);\,(9,\,5);\,(9,\,6);\,(9,\,7);\,(9,\,8)}\Rightarrow \boxed{\text{8 casos}}[/tex3]

No total, então, temos [tex3]8+7+6+5+4+3+2+1+0=\boxed{36}[/tex3] casos.

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] A probabilidade de o número da segunda bola ser estritamente menor que o da primeira é:

[tex3]P=\frac{36}{9.9} \rightarrow \boxed{\boxed{P=\frac{4}{9}}} \Longrightarrow Letra:(B)[/tex3]

Resposta: [tex3]B[/tex3]

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Problema 53

(CN 1988) A equação do 2º grau [tex3]x^2-2x+m=0 \ , \ m<0,[/tex3] tem raízes [tex3]x_{1} \text{ e } x_{2}[/tex3]. Se [tex3]x^{n-2}_{1}+x^{n-2}_{2}=a[/tex3] e [tex3]x^{n-1}_{1}+x^{n-1}_{2}=b[/tex3], então [tex3]x^{n}_{1}+x^{n}_{2}[/tex3] é igual a:

[tex3]a) \ 2a+mb[/tex3]
[tex3]b) \ 2b-ma[/tex3]
[tex3]c) \ ma+2b[/tex3]
[tex3]d) \ ma-2b[/tex3]
[tex3]e) \ m(a-2b)[/tex3]

Resposta

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Letra C

[brunoafa]

Solução do Problema 53

Relações de Newton para polinômios:

[tex3]Sn- 2 \cdot S_{n-1}+ m \cdot S_{n-2}=0 \\
S_{n-2}=a \ \ S_{n-1}=b \\

S_{n}=x_{1}^n+x_{2}^2= \boxed{\ ma+2b}[/tex3]

Putz, essa prova é sugada hein! E olha que é para ingresso no ensino médio, vish.

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Problema 54

(AFA 2006) Assinale a alternativa INCORRETA:

a) O conjunto solução da inequação ([tex3]2-\sqrt3)^{x}>-1 \in \mathbb{R}[/tex3]
b) O número real que satisfaz a sentença [tex3](3^{\sqrt{x}-2})^2=5^{2-\sqrt{x}}[/tex3] é divisor de [tex3]1024[/tex3].
c) A função exponencial definida por [tex3]f(x)=-(a-4)^x[/tex3] é decrescente se [tex3]4<a<5[/tex3]
d) Se [tex3]y=10^x[/tex3] é um número entre [tex3]10.000[/tex3] e [tex3]100.000[/tex3], então [tex3]x[/tex3] está entre [tex3]4[/tex3] e [tex3]6[/tex3]

Resposta

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Letra C

[brunoafa]

Resolução do Problema 54

[tex3]\rightarrow (2-\sqrt3)^{x}>-1 \in \mathbb{R} \\
\sqrt3 \approx 1,7 \\

(0,26)^{x}> -1 , \forall x \in \mathbb{R} \ \ \ \text{(V)} \\ \\

\rightarrow(3^{\sqrt{x}-2})^2=5^{2-\sqrt{x}} \\
(2\sqrt{x}-4)\log 3=(2-\sqrt{x})\log5 \\
-4\log3-2\log5+2\sqrt{x}\log3+\sqrt{x}\log5=0 \\
\log45\sqrt{x}-2\log45=0 \\
\log45(\sqrt{x}-2)=0 \\
(\sqrt{x}=2) \ \boxed{x=4} \ \ \ \text{(V)} \\

f(x)=-(a-4)^x \ \ (4<a<5) \\
\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}<0 \ \ -f(x) \rightarrow \frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}>0 \ \ \ (F) \\ \\

y=10^x \\
x=4 \rightarrow y = 10.000 \\
x=5 \rightarrow y=100.000 \ \ \ \text{(V)}[/tex3]

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Problema 55

(AFA 2010) Numa sala de aula, estão presentes [tex3]5[/tex3] alunos e [tex3]6[/tex3] alunas. Para uma determinada atividade, o professor deverá escolher um grupo de [tex3]3[/tex3] dessas alunas e [tex3]3[/tex3] dos alunos. Em seguida, os escolhidos serão dispostos em um círculo de tal forma que os alunos do mesmo sexo não fiquem lado a lado. Isso poderá ocorrer de n maneiras distintas. O número [tex3]n[/tex3] é igual a:

a) [tex3]24.000[/tex3]
b) [tex3]2.400[/tex3]
c) [tex3]400[/tex3]
d) [tex3]200[/tex3]

Resposta

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Letra B

[brunoafa]

Po, vamos movimentar essa Maratona!

Resolução do Problema 55

Número de maneiras de escolher os alunos:

[tex3]C_{5}^{3} \cdot C_{6}^{3}=200[/tex3]

Fixando as alunas o número de maneiras de dispor os alunos na roda é [tex3]2![/tex3] Permutando as alunas serão [tex3]3[/tex3]!
[tex3]2! \cdot 3! = 12[/tex3] maneiras

Total
[tex3]12 \cdot 200 = 2400[/tex3]


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Problema 56

(ITA 75) A expressão [tex3]1+\frac{2}{2}+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\frac{5}{16}+...[/tex3] vale:

a) [tex3]4[/tex3]
b) [tex3]\frac{9}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac{7}{2}[/tex3]
d) [tex3]3,8[/tex3]
e) nda

Resposta

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Sem gabarito

[undefinied3]

Resolução do Problema 56

[tex3]S=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\frac{5}{16}+...[/tex3]
[tex3]\frac{S}{2}= \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+...[/tex3]
Subtraindo:
[tex3]\frac{S}{2}=1+\frac{2-1}{2}+\frac{3-2}{4}+\frac{4-3}{8}+...[/tex3]
[tex3]\frac{S}{2}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...[/tex3]
[tex3]\frac{S}{2}=2[/tex3]
[tex3]\therefore S=4[/tex3]
Letra A.
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Problema 57

(ITA - 2008) Sejam [tex3]\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}[/tex3]. Considere o polinômio [tex3]p(x)[/tex3] dado por [tex3]x^5-9x^4+(\alpha-\beta-2\gamma)x^3+(\alpha+2\beta+2\gamma-2)x^2+(\alpha-\beta-\gamma+1)x+(2\alpha+\beta+\gamma+1)[/tex3]
Encontre os valores de [tex3]\alpha, \beta, \gamma[/tex3] de modo que [tex3]x=0[/tex3] seja uma raiz com multiplicidade 3 de [tex3]p(x)[/tex3]

Resposta

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[tex3]\begin{cases}
\alpha=0 \\
\beta=1-\gamma \\
\gamma \neq 1
\end{cases}[/tex3]

[brunoafa]

Resolução do Problema 57

A condição para que o polinômio tenha multiplicidade três é que o grau minímo seja [tex3]3[/tex3] (ah vá!). Portanto:

[tex3]\alpha-\beta-2\gamma \neq 0[/tex3]

"Abaixando o grau" por Briot Ruffini chegamos ao seguinte sistema:

[tex3]\begin{cases}
\alpha-\beta-2\gamma \neq 0 \\
\alpha+2\beta+2\gamma-2=0 \\
\alpha-\beta-\gamma+1=0\\
2\alpha+\beta+\gamma+1=0
\end{cases}

\rightarrow \begin{cases} \gamma \neq 1 \\ \beta=1-\gamma \\ \alpha=0 \end{cases}[/tex3]

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Problema 58

(IME 94) Considere os números complexos [tex3]z=x+yi[/tex3] e [tex3]w=y-xi[/tex3], cujos módulos são tais que |[tex3]z|=e^{|w| \cdot \frac{\sqrt3}{x}}[/tex3] e [tex3]|w|=e^{|z| \cdot \frac{1}{y}}[/tex3], onde [tex3]e[/tex3] é a base dos logaritmos neperianos. Obtenha a forma polar de [tex3]z^2[/tex3].

Resposta

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[tex3]e^{\pm 4}\cdot cis(\frac{\pi}{3})[/tex3]

[brunoafa]

Resolução do Problema 58

Lembrando que:
Se [tex3]z=a+bi[/tex3]
[tex3]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/tex3]
[tex3]\overline{z}=a-bi[/tex3] e
[tex3]e^{ix}=\cos x + i \sin x[/tex3]


[tex3]\rightarrow z[/tex3] e [tex3]w[/tex3] possuem módulos iguais

[tex3]e^{|w| \cdot \frac{\sqrt3}{x}}=e^{|z| \cdot \frac{1}{y}} \\ \\
\rightarrow \boxed{x=y\sqrt3}[/tex3]

[tex3]|z|=|w| = \sqrt{3y^2+y^2}=2|y| \\ \\
2|y|= e^{\frac{2|y|}{y}}[/tex3]

[tex3]\pm2y=e^{\pm2} \\ \\ \rightarrow
y=\pm \frac{e^{\pm2}}{2}, x=\pm \frac{e^{\pm2\sqrt3}}{2} \\ \\

z=\pm e^{\pm2 \left( \frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}i \right)}[/tex3]

[tex3]\boxed{e^{\pm 4}\cdot \cis\left(\frac{\pi}{3}\right)}[/tex3]

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Problema 59
(ITA) Sobre uma mesa estão dispostos [tex3]5[/tex3] livros de história, [tex3]4[/tex3] de biologia e [tex3]2[/tex3] de espanhol. Determine a probabilidade de os livros serem empilhados sobre a mesa de tal forma que aqueles que tratam do mesmo assunto estejam juntos.

Resposta

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[tex3]p=\frac{1}{1155}[/tex3]

[brunoafa]

Resolução do Problema 59

Se ninguém vai participar mais da Maratona vou tocar sozinho. Já sou meio autista mesmo kkkkkkkk

[tex3]p=\frac{3! \cdot 5! \cdot 4! \cdot 2!}{11!}=\boxed{\frac{1}{1155}}[/tex3]

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Problema 60

(IME 2010) Considere o sistema

[tex3]\begin{cases}xy+x-y=5 \\ x^3y^2-x^2y^3-2x^2y+2xy^2=6\end{cases}[/tex3]

onde [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são números inteiros.

O valor de [tex3]x^3+y^2+y[/tex3] é:

a) [tex3]14[/tex3]
b) [tex3]18[/tex3]
c) [tex3]20[/tex3]
d) [tex3]32[/tex3]
e) [tex3]38[/tex3]

Resposta

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Letra d