Maratonas de Matemática ⇒ II Maratona de Matemática IME/ITA

[theblackmamba]

Solução do Problema 60

[tex3](m+n+p)^2 = m^2+n^2+p^2 + 2(mn+mp+np)[/tex3]
[tex3]m^2 + n^2+p^2 = 6^2 - 2 \cdot 11 = 14[/tex3]

[tex3]\frac{m}{np}+ \frac{n}{mp} + \frac{p}{mn} = \frac{m^3 np + n^3 mp + p^3 mn}{(mnp)^2} = \frac{m^2 + n^2 + p^2}{mnp} = \frac{14}{2} = \boxed{7}[/tex3]

Letra C

Solução Alternativa

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Problema 61

(ITA 2001) Considere as funções [tex3]f(x)=\frac{5+7^x}{4}[/tex3], [tex3]g(x) = \frac{5-7^x}{4}[/tex3] e [tex3]h(x) = \arctg\,x[/tex3]. Se [tex3]a[/tex3] é tal que [tex3]h(f(a)) + h(g(a)) = \frac{\pi}{4}[/tex3], então [tex3]f(a)-g(a)[/tex3] vale:

A) [tex3]1[/tex3]
B) [tex3]1[/tex3]
C) [tex3]\frac{7}{4}[/tex3]
D) [tex3]\frac{7}{2}[/tex3]
E) [tex3]7[/tex3]

[Natan]

Solução do problema 61

Inicialmente resolvemos a equação dada para a:

[tex3]\begin{cases}h(f(a)) + h(g(a))=\frac{\pi}{4} \\ \arctg\left( \frac{5+7^a}{4} \right) + \arctg\left( \frac{5-7^a}{4} \right)=\frac{\pi}{4}\end{cases}[/tex3] aplicando tangente de ambos os lados:

[tex3]\frac{\frac{5+7^a}{4}+\frac{5-7^a}{4}}{1-\frac{5+7^a}{4}\cdot\frac{5-7^a}{4}}=1 \\ 7^{2a}=49\, \Rightarrow\, a=1[/tex3]

Agora calculamos o valor pedido:

[tex3]f(a)-g(a)=\frac{5+7}{4}+\frac{7-5}{4}=\frac{7}{2}[/tex3] Letra [tex3]\boxed{d}[/tex3]

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Problema 62

(ITA-2008) Considere a parábola [tex3]y=ax^2+bx+c[/tex3] que passa pelos pontos (2, 5) e (-1, 2) e tal que a, b e c formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Determine a distancia do vértice da parábola á reta tangente a esta no ponto (2, 5).

[theblackmamba]

Solução do Problema 62

Substituindo os pontos dados:
[tex3]\begin{cases}4a+2b+c=5 \,\,\,\,(1) \\ a-b+c=2 \,\,\,\,(2)\end{cases}[/tex3]

Subtraindo:
[tex3]3a+3b=2[/tex3]
[tex3]a+b=1\,\,\,\,(3)[/tex3]

Pela propriedade de PA:
[tex3]a+c=2b\,\,\,\,(4)[/tex3]

Fazendo 2 em 4:
[tex3]2b-b=2 \rightarrow b = 2[/tex3]

Logo,
[tex3]a+2 = 1\rightarrow a=-1[/tex3] e [tex3]-1 + c = 2\cdot 2 \rightarrow c = 5[/tex3]

Temos a equação da parábola:
[tex3]\boxed{y=-x^2+2x+5}[/tex3]

[tex3]X_v = \frac{-b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1[/tex3]
[tex3]Y_v = \frac{4ac-b^2}{4a} = \frac{4 \cdot (-1) \cdot 5 - 2^2}{4 \cdot (-1)} = 6[/tex3]

Coeficiente angular da reta tangente no ponto (2.5):
[tex3]y' = -2x+2[/tex3]
[tex3]m = y''(2) = -2 \cdot 2 + 2 = -2[/tex3]

Logo a equação da reta será:
[tex3]y-5 = -2(x-2)[/tex3]
[tex3]\boxed{2x+y-9=0}[/tex3]

Distância do vértice da parábola a reta tangente:
[tex3]d = \frac{|2\cdot 1 + 1 \cdot 6 - 9|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{d = \frac{\sqrt{5}}{5}}[/tex3]

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Problema 63

(ITA - 2009) Se [tex3]a = \cos\frac{\pi}{5}[/tex3] e [tex3]b=\sen\frac{\pi}{5}[/tex3], então o número complexo [tex3]\left(\cos\frac{\pi}{5} + i \cdot \sen\frac{\pi}{5}\right)^{54}[/tex3] é igual a:

a) [tex3]a+bi[/tex3]
b) [tex3]-a+bi[/tex3]
c) [tex3](1-2a^2 b^2) + ab(1+b^2)i[/tex3]
d) [tex3]a-bi[/tex3]
e) [tex3]1-4a^2 b^2 + 2ab(1-b^2)i[/tex3]

[Natan]

Solução do problema 63

Apenas como um comentário, acho que essa solução não seria integralmente aceita, pois o ITA não considera Cálculo como parte do ensino médio como a Escola Naval faz, eu pelo menos nunca vi nenhuma questão de Cálculo ou Álgebra Linear em provas do ITA.

Quanto a questão: queremos elevar o complexo [tex3]z=\cos {\frac{\pi}{5}} + i \cdot \sen\frac{\pi}{5}[/tex3] a 54, para isso usamos a fórmula de potenciação de De'Moivre:

[tex3]z^{54}=\left(\cos {\frac{\pi}{5}} + i \cdot \sen\frac{\pi}{5}\right)^{54}=\cos {\frac{54 \pi}{5}} + i \cdot \sen\frac{54 \pi}{5}=\cos {\frac{4 \pi}{5}} + i \cdot \sen\frac{4 \pi}{5}[/tex3]

agora precisamos relacionar esse arco com os valores dados, veja que [tex3]\frac{4 \pi}{5}[/tex3] é o suplementar de [tex3]\frac{ \pi}{5}[/tex3] e com isso:

[tex3]\cos{\frac{4 \pi}{5}}=-\cos {\frac{ \pi}{5}}=-a \\ \sen\frac{4 \pi}{5}=\sen{\frac{ \pi}{5}}=b[/tex3]

Com isso o complexo pedido é [tex3]{-}a+bi[/tex3] de onde chega-se a letra [tex3]\boxed{b}[/tex3]

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Problema 64 (Sugerido por FilipeCaceres)

(EN - 1993/1994) [tex3]2x^4-x^3+mx^2+2n[/tex3] é divisível por [tex3]x^2-x-2[/tex3]. O valor de [tex3]m\cdot n[/tex3] é:

a) [tex3]-8[/tex3]
b) [tex3]-10[/tex3]
c) [tex3]-12[/tex3]
d) [tex3]-14[/tex3]
e) [tex3]-16[/tex3]

[theblackmamba]

Solução do Problema 64

O polinômio é divisível por [tex3]x^2-x-2 = (x+1)(x-2)[/tex3]

Logo as raízes do polinômio são [tex3]-1[/tex3] e [tex3]2[/tex3].

[tex3]P(-1) = 0[/tex3]
[tex3]2 + 1+m+2n = 0[/tex3]
[tex3]m + 2n = -3 \,\,\,\,\,(1)[/tex3]

[tex3]P(2) = 0[/tex3]
[tex3]32-8 + 4m + 2n = 0[/tex3]
[tex3]2m + n =-12\,\,\,\,\,(2)[/tex3]

[tex3]\begin{cases}m+2n=-3 \\ 2m+n=-12\end{cases}[/tex3]

[tex3]2(-3-2n)+n = -12[/tex3]
[tex3]\boxed{n = 2}[/tex3]

Logo,
[tex3]\boxed{m = -7}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{\boxed{m\cdot n = -14}}[/tex3] Letra D

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Problema 65

(EN - 2000) Num triângulo retângulo, a hipotenusa é o triplo de um dos catetos. Considerando [tex3]\alpha[/tex3] o ângulo oposto ao menor lado, podemos afirmar que [tex3]tg\alpha + sec\alpha[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\frac{5}{6}[/tex3]
b) [tex3]\frac{11 \sqrt{2}}{12}[/tex3]
c) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{11 \sqrt{2}}{4}[/tex3]
e) [tex3]\frac{12 + \sqrt{2}}{4}[/tex3]

[poti]

Solução do Problema 65

Chamando um cateto de [tex3]l[/tex3], a hipotenusa é [tex3]3l\cdot [/tex3] Por pitagóras descobrimos o valor do outro cateto [tex3]c[/tex3]:

[tex3](3l)^2 = l^2 + c^2[/tex3]

[tex3]\boxed{c = 2\sqrt{2} l}[/tex3]

[tex3]l[/tex3] é portanto o menor lado, para onde [tex3]\alpha[/tex3] cobre.

[tex3]\sen \alpha = \frac{l}{3l} = \frac{1}{3},\, \cos \alpha = \frac{2\sqrt{2} l}{3l} = \frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex3]

Resolvendo:

[tex3]\tg \alpha + \sec \alpha[/tex3]
[tex3]\frac{\sen \alpha}{\cos \alpha} + \frac{1}{\cos \alpha}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{1}{3} + 1}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}[/tex3]

[tex3]\frac{4}{2\sqrt{2}}[/tex3]

Racionalizando:

[tex3]\boxed{\sqrt{2}}[/tex3] C

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Problema 66

(EFOMM-2009/10) Considere o conjunto dos números complexos [tex3]Z[/tex3] com a propriedade [tex3]|Z + 169i| < 65[/tex3] admitindo que [tex3]i[/tex3] é a unidade imaginária. O elemento desse conjunto que possui o maior argumento [tex3]\theta,\, \ 0 \leq \theta \leq 2 \pi[/tex3], é igual a

a) [tex3]60 - 144i[/tex3]
b) [tex3]65 - 169i[/tex3]
c) [tex3]-104i[/tex3]
d) [tex3]-65 -109i[/tex3]

[theblackmamba]

Solução do Problema 66

Seja [tex3]z=a+bi[/tex3]

[tex3]|a+i(b + 169)| \leq 65 \rightarrow \sqrt{a^2 + (169+b)^2} \leq 65^2 \rightarrow a^2 + (169+b)^2 \leq 65^2[/tex3]

A equação representa uma circunferência de raio [tex3]65[/tex3] e centro [tex3]C(0,-169)[/tex3]

No conjunto, o elemento que possui maior argumento pertence a reta que passa pela origem e tangente a circunferência, seja [tex3]y=m \cdot x[/tex3], com maior argumento [tex3]m<0[/tex3] a equação da reta tangente a circunferência:

[tex3]\{ a_0 ^2 + (b_0 + 169)^2 = 65^2 \\ b = m \cdot a[/tex3] (x = a, y = b).

Resolvendo:
[tex3](m^2+1)a^2+ 2 \cdot 169 m\cdot a + (169^2 - 65^2)=0[/tex3]

Para a reta ser tangente [tex3]\Delta = 0[/tex3].

[tex3]4 \cdot 13^4 \cdot m^2 - 4 \cdot (m^2 +1) \cdot 104 \cdot 234=0[/tex3]
[tex3]m^2 (13^4 - 2^2 \cdot 104 \cdot 234) - 104 \cdot 234 = 0[/tex3]
[tex3]m^2 = \frac{104 \cdot 234}{13^4 - 104 \cdot 234}[/tex3]
[tex3]m^2 = \frac{(2^3 \cdot 13) \cdot (
13 \cdot 2 \cdot 3^2)}{13^4 - 2^3 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 3^2} = \frac{144}{169-144}[/tex3]
[tex3]m = - \frac{12}{5}[/tex3] (coeficiente angular)

Equação da reta:
[tex3]y=-\frac{12}{5} x[/tex3]

Aplicando Pitágoras:
[tex3]a^2 + b^2 + 65^2 = 169^2[/tex3]
[tex3]a^2 + \frac{144}{25} a^2 = (169+65)(169-65)[/tex3]
[tex3]\frac{169a^2}{25} = 234 \cdot 104[/tex3]
[tex3]a^2 = \frac{5^2 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 13 \cdot 2^3 \cdot }{169}[/tex3]
[tex3]a = + \sqrt{3600}[/tex3]
[tex3]a = 60 \rightarrow b = -144[/tex3]

[tex3]\boxed{z=60-144i}[/tex3] Letra A

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Problema 67 (Sugerido por Poti)

(EFOMM-2009/10) A equação [tex3]\sqrt[4]{x\sqrt[3]{x}} = 13 + \sqrt{217 - 13\sqrt[3]{x}}[/tex3] tem uma solução inteira positiva [tex3]x_1[/tex3]. O número de divisores inteiros e positivos de [tex3]x_1[/tex3] é:

a) [tex3]10[/tex3]
b) [tex3]11[/tex3]
c) [tex3]12[/tex3]
d) [tex3]13[/tex3]
e) [tex3]14[/tex3]

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 67

Temos,
[tex3]\sqrt[4]{x\sqrt[3]{x}} = 13 + \sqrt{217 - 13\sqrt[3]{x}}[/tex3]
[tex3]\sqrt[12]{x^4} = 13 + \sqrt{217 - 13\sqrt[3]{x}}[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{x} = 13 + \sqrt{217 - 13\sqrt[3]{x}}[/tex3]

Fazendo [tex3]\sqrt[3]{x}=a[/tex3]
[tex3]a=13+\sqrt{217 - 13a}[/tex3]
[tex3](a-13)^2=217-13a[/tex3]
[tex3]a^2-13a-48=0[/tex3]
[tex3]a=16[/tex3]
[tex3]a=-3[/tex3], não serve.

[tex3]\sqrt[3]{x}=16=2^4[/tex3]
[tex3]x=2^{12}[/tex3]

O número de divisores vale:
[tex3]n_d=12+1[/tex3]
[tex3]\boxed{n_d=13}[/tex3]. Letra D

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Problema 68

(EN - 1989) O menor valor de [tex3]n,\, n\in \mathbb{R}[/tex3], para o qual [tex3]\(\sqrt{3}+i\)^n[/tex3] é imaginário puro, é

a) [tex3]0[/tex3]
b) [tex3]2[/tex3]
c) [tex3]3[/tex3]
d) [tex3]5[/tex3]
e) [tex3]7[/tex3]

[poti]

Solução do Problema 68

Colocando na forma polar, temos [tex3]r\cdot\cis\left(\frac{\pi}{6}\right)[/tex3].

Para termos um imaginário puro, o [tex3]\cos[/tex3] do [tex3]\cis[/tex3] deve valer 0. Isso ocorre para [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3].

Sabemos por Moivre: [tex3]\left[r\cdot\cis\left(\frac{\pi}{6}\right)\right]^n = r^n\cdot\cis\left(\frac{n\cdot \pi}{6}\right)[/tex3]

[tex3]\frac{n\cdot\pi}{6} = \frac{\pi}{2}[/tex3]

[tex3]\boxed{n=3}[/tex3]

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Problema 69

(CN-2009) Um funcionário usa uma empilhadeira para transportar bobinas de 70 kg e de 45 kg, sendo uma de cada vez. Quantas viagens com carga deverá fazer, no mínimo, para transportar exatamente uma tonelada de carga?

a) 18
b) 17
c) 16
d) 15
e) 14

[theblackmamba]

Solução do Problema 69

[tex3]70x+45y=1000[/tex3]
[tex3]14x + 9y=200[/tex3]

É uma equação diofantina.

Analisando uma possível resposta temos: [tex3]x_o =4[/tex3] e [tex3]y_o = 16[/tex3]

Temos que [tex3]mdc(a,b)=mdc(14,9)=1 = d[/tex3].

[tex3]x=x_o +\frac{b}{d} \cdot k[/tex3]
[tex3]x = 4 + 9k[/tex3]

[tex3]y=y_o - \frac{a}{d} \cdot k[/tex3]
[tex3]y = 16 -14k[/tex3]

Lembrando que k é sempre inteiro.

Números de viagens:
[tex3]n = x+y[/tex3]
[tex3]n = 20 - 5k[/tex3]
[tex3]n = 5(4 - k)[/tex3]

Vemos que o número de viagens é um múltiplo de 5, logo ficamos com a alternativa D.

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Problema 70

(EN - 2006) A raízes [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] da equação [tex3]x^3+mx^2-6x+8=0[/tex3], [tex3]m\,\in\,\mathbb{R}[/tex3], representam os três primeiros termos de uma progressão aritmética crescente. Se [tex3]\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} = - \frac{3}{8}[/tex3], o valor do 17º termo da progressão arimética vale:

a) [tex3]38[/tex3]
b) [tex3]41[/tex3]
c) [tex3]46[/tex3]
d) [tex3]51[/tex3]
e) [tex3]57[/tex3]