Maratonas de Matemática ⇒ V Maratona de Matemática IME/ITA

[Auto Excluído (ID: 24633)]

Resolução do problema 70

a) No primeiro processo há [tex3]8[/tex3] quadradinhos de lado [tex3]\dfrac{1}{3}[/tex3]; no segundo cada quadradinho de lado [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] será dividido em [tex3]8[/tex3] quadradinhos (e um será retirado) de lado [tex3]\left(\frac{1}3\right)^2[/tex3]. Admita que no k-ésimo processo haja [tex3]8^k[/tex3] quadrados de lado [tex3]\left(\dfrac{1}3 \right)^k[/tex3]. No k+1-ésimo processo, cada um dos [tex3]8^k [/tex3] quadradinho será dividido em outros [tex3]9[/tex3] (dos quais [tex3]8[/tex3] não serão removidos) de lado [tex3]\left(\frac{1}3 \right)^{k+1}[/tex3]. Então no k+1-ésimo processo haverão [tex3]8\cdot 8^k=8^{k+1}[/tex3] quadradinhos de lado [tex3]\frac{1}{3^{k+1}}[/tex3]. O resultado segue pelo PIF.

b) Como verificamos no item anterior, no n-ésimo processo haverão [tex3]8^n[/tex3] quadrados não removidos de lado [tex3]\left(\frac{1}3 \right)^n[/tex3]. Logo a área dos quadrados não removidos será [tex3]8^n\cdot \left(\frac{1}3 \right)^{2n}=\left(\frac{8}9 \right)^n[/tex3] e , consequentemente, a área dos quadrados removidos será [tex3]1-\left(\frac{8}9 \right)^n[/tex3]. Assim, queremos calcular
[tex3]\lim_{n \to \infty} 1-\left(\dfrac{8}9 \right)^n=1-\lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{8}9 \right)^n=1-0=1[/tex3].

Outra solução (mais bacana) seria:
No primeiro processo é removido um quadrado de área [tex3]\dfrac{1}{9}[/tex3], no segundo são removidos [tex3]8[/tex3] quadrados de área [tex3]\dfrac{1}{81}[/tex3]... no k-ésimo processo são formados [tex3]8^{k-1}[/tex3] quadrados cada um de área [tex3]\left(\frac{1}3 \right)^{2k}[/tex3].
Assim queremos calcular a seguinte série [tex3]\dfrac{1}{3^2}+8\cdot \dfrac{1}{3^4}+8^2\cdot \dfrac{1}{3^6}+...[/tex3] que é a soma dos termos de uma PG de razão [tex3]\dfrac{8}{3^2}[/tex3] e termo inicial [tex3]\dfrac{1}{9}[/tex3] que é [tex3]\dfrac{\frac{1}{9}}{1-\frac{8}{9}}=1[/tex3].

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Questão 71
(ITA-94) Sejam [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] as medidas dos lados de um triângulo e [tex3]A[/tex3], [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] os ângulos internos opostos, respectivamente, a cada um destes lados. Sabe-se que [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3], [tex3]c[/tex3], nesta ordem, formam uma progressão aritmética. Se o perímetro do triângulo mede 15 cm e [tex3]\dfrac{\cos~A}{a}+\dfrac{\cos~B}{b}+\dfrac{\cos~C}{c}=\dfrac{77}{240}[/tex3] Então a área do quadrado mede

a) [tex3]\frac{15~\sqrt{7}}{4}[/tex3]
b) [tex3]\frac{4~\sqrt{5}}{3}[/tex3]
c) [tex3]\frac{4~\sqrt{5}}{5}[/tex3]
d) [tex3]\frac{4~\sqrt{7}}{7}[/tex3]
e) [tex3]\frac{3~\sqrt{5}}{4}[/tex3]

Resposta

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a)

[mcarvalho]

Resolução do problema 71:

o perímetro do triângulo mede 15 cm

[tex3]a+b+c=15[/tex3], mas eles estão em PA de razão r, então [tex3](b-r)+b+(b+r)=15\rightarrow b=5,a=5-r,b=5+r[/tex3]

Por Lei dos Cossenos: [tex3]b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\rightarrow \cos B=\frac{b^2-(a^2+c^2)}{-2ac}[/tex3]

E o processo é análogo para os outros lados. Então temos:

[tex3]\frac{\cos A}a+\frac{\cos B}b+\frac{\cos C}c=\frac{a^2-(b^2+c^2)}{-2abc}+\frac{b^2-(a^2+c^2)}{-2abc}+\frac{c^2-(b^2+a^2)}{-2abc}\\
\frac{a^2-2a^2+b^2-2b^2+c^2-2c^2}{-2abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}=\frac{(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)}{2abc}\\
\frac{(15)^2-2[(5-r)b+(5+r)b+(5-r)(5+r)]}{2\cdot 5(5-r)(5+r)}=\frac{225-2(10\cdot 5+25-r^2)}{10(25-r^2)}\\
\frac{225-100-50+2r^2}{250-10r^2}=\frac{2r^2+75}{-10r^2+250}=\frac{77}{240}\rightarrow -770r^2+19250=480r^2+18000\\
1250r^2=1250\rightarrow \boxed{r=\pm 1}[/tex3]

E agora ficou fácil, queremos a área do triângulo de lados 4, 5 e 6.

Por Heron: [tex3]\sqrt{\frac{15}2\(\frac{15}2-4\)\(\frac{15}2-5\)\(\frac{15}2-6\)}=\boxed{\frac{15\sqrt 7}4}[/tex3]

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Problema 72:

(ITA 2020) Determine todos os números inteiros k entre 0 e 200 para os quais o polinômio [tex3]p_k(x)=x^3-x^2-k[/tex3] possui uma única raiz inteira. Para cada um desses valores de k, determine a raiz inteira correspondente.

[Ittalo25MOD]

resolução do problema 72

Seja "a" a raiz inteira, então:

[tex3]a^3-a^2-k = (x-a) \cdot (x^2+x\cdot (a-1)+a^2-a)[/tex3]
De onde [tex3]\Delta = (a-1)^2-4\cdot (a^2-a) = -(a-1) \cdot (3a+1)[/tex3]

Mas [tex3]0 \leq a^2(a-1) \leq 200\rightarrow a \in \{0,1,2,3,4,5,6\}[/tex3]

Para [tex3]a \geq 2\rightarrow \Delta <0[/tex3] e as outras duas raízes serão complexas.
Para [tex3]a=0 [/tex3], [tex3]x^2-x [/tex3] tem raízes inteiras.
Para [tex3]a=1 [/tex3], [tex3]x^2 [/tex3] tem raízes inteiras.

Então as soluções são: [tex3]\boxed {(a,k) = (2,4),(3,18),(4,48),(5,100),(6,180)}[/tex3]

Problema 73
IME-1989) Prove que as tangentes ao círculo circunscrito a um triângulo, passando nos seus vértices, interceptam os lados opostos em três pontos colineares.

[FelipeMartinMOD]

Resolução do Problema 73

Aplicação direta do teorema de Pascal no hexágono degenerado [tex3]AABBCC[/tex3].

Problema 74
ITA - 2020) Considere a circunferência [tex3]\lambda[/tex3] de centro [tex3]O[/tex3] passando por um ponto [tex3]A[/tex3]. Sejam [tex3]B[/tex3] um ponto tal que [tex3]A[/tex3] é o ponto médio de [tex3]OB[/tex3] e [tex3]M[/tex3] um ponto de [tex3]\lambda[/tex3] tal que [tex3]\angle AOM = 100^\circ[/tex3]. Seja [tex3]r[/tex3] a reta tangente à [tex3]\lambda[/tex3] passando por [tex3]M[/tex3]. Seja [tex3]DE[/tex3] a projeção ortogonal dos segmento [tex3]AB[/tex3] sobre a reta [tex3]r[/tex3]. Determine, em graus, a medida de [tex3]\angle AEB[/tex3].

[Tassandro]

Resolução do problema 74


O triângulo AOM é isóceles de base AM, o que nos dá [tex3]\angle OAM=\angle OMA=40°[/tex3], já que a soma dos ângulos de um triângulo vale [tex3]180\degree[/tex3] e [tex3]\angle AOM=100\degree[/tex3]. Como os segmentos [tex3]\overline{OM}[/tex3] e [tex3]\overline{BE}[/tex3] são perpendiculares a r, temos que [tex3]\overline{OM}\parallel\overline{BE}[/tex3], assim, pelo Teorema de Tales, segue que [tex3]DE=DM[/tex3]. Além disso, como [tex3]AD\perp r[/tex3], temos que [tex3]\triangle DEA\equiv\triangle DMA\text{ (CH)}[/tex3], logo, [tex3]\triangle AEM[/tex3] é isóceles de base [tex3]\overline{EM}[/tex3]. Como [tex3]\angle AME+\angle AMO=90\degree[/tex3] e [tex3]\angle AMO=40\degree[/tex3], tem-se que [tex3]\angle AME=\angle AEM=50°[/tex3]. Como [tex3]\overline{BE}\perp r[/tex3], [tex3]\angle ABE+\angle AEM=90°[/tex3], portanto, [tex3]\boxed{\angle AEB=40\degree}[/tex3]

[Jvrextrue13]

Problema 75

{IME(2003)Sendo [tex3]a,b,c[/tex3], números naturais em progressão aritmética e [tex3]z[/tex3] um número complexo de módulo unitário, determine um conjunto de valores para [tex3]a,b,c ,z[/tex3] de forma que eles satisfaçam a seguinte igualdade:
[tex3]\frac{1}{z^a}+\frac{1}{z^b}+\frac{1}{z^c}=\frac{1}{z^9}[/tex3]

[Auto Excluído (ID: 24633)]

Resolução do problema 75

Seja [tex3]r[/tex3] a razão da PA; assim [tex3]b=a+r[/tex3] e [tex3]c=a+2r.[/tex3]
Temos [tex3]\frac{1}{z^a}+\frac{1}{z^b}+\frac{1}{z^c}=\frac{1}{z^9}[/tex3] como queremos apenas um conjunto de valores que sejam soluções (e não a solução propriamente dita) podemos considerar o caso particular em que [tex3]a=9[/tex3] assim teremos [tex3]\frac{1}{z^b}+\frac{1}{z^c}=0 \iff z^c=-z^b \iff z^{c-b}=-1 \iff z^r=-1.[/tex3]
Como [tex3]z[/tex3] é unitário então [tex3]z=e^{i\theta}[/tex3] onde [tex3]\theta=arg(z)[/tex3] assim [tex3]e^{i\theta~r}=-1[/tex3] logo [tex3]\theta r=\pi(2k+1)[/tex3] onde [tex3]k\in \mathbb{Z}[/tex3] uma solução particular seria [tex3]\theta=\pi[/tex3] e [tex3]r=2k+1[/tex3]

Então um conjunto de soluções seria [tex3]\{(a,b,c,z)=(9,10+2k,11+4k,-1); k\in \mathbb{Z}\}.[/tex3] (o enunciado não disse que [tex3]z[/tex3] tinha de possuir parte imaginária não nula)

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Problema 76

(ITA-2005)
No desenvolvimento de [tex3](ax^2-2bx+c+1)^5[/tex3] obtém-se um polinômio [tex3]p(x)[/tex3] cujos coeficientes somam [tex3]32.[/tex3] Se [tex3]0[/tex3] e [tex3]-1[/tex3] são raízes de [tex3]p(x)[/tex3] então a soma de [tex3]a+b+c[/tex3] é igual a:
a)[tex3]-\frac{1}2[/tex3]
b)[tex3]-\frac{1}4[/tex3]
c)[tex3]\frac{1}2[/tex3]
d)[tex3]1[/tex3]
e)[tex3]\frac{3}2[/tex3]

Resposta

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a)

[Ittalo25MOD]

Resolução do problema 76

A soma dos coeficientes é dada quando [tex3]x=1[/tex3], sendo assim:
[tex3](a-2b+c+1)^5 = 32[/tex3]
[tex3]a-2b+c = 1 \space \space \space \space \space(I) [/tex3]

Se 0 é raiz, então:[tex3]c+1=0 \rightarrow c = -1 [/tex3]
Se -1 é raiz, então: [tex3]a+2b+c+1 = 0\rightarrow a = -2b \space \space \space \space \space(II) [/tex3]

Substituindo (II) em (I) encontra-se: [tex3]\begin{cases}
a=1 \\
b=-\frac{1}{2} \\
c=-1
\end{cases}\rightarrow \boxed {a+b+c = -\frac{1}{2}}[/tex3]

Problema 77

IME 2007) Considere todos os pontos de coordenadas (x,y) que pertençam à circunferência de equação [tex3]x^2+y^2-6x-6y+14=0 [/tex3]. Determine o maior valor possível de [tex3]\frac{y}{x}[/tex3].

[Jvrextrue13]

Solução do Problema 77

Completando o quadrado, a equação da circunferência pode ser escrita como:

[tex3](x-3)^2+(y-3)^2=2^2[/tex3]

Logo se trata de uma circunferência de centro [tex3]C=(3,3)[/tex3] e raio [tex3]r=2[/tex3]

Fazendo uma reta [tex3]y=mx[/tex3] e resolvendo o sistema com a equação da circunferência, devemos encontrar o maior valor de m possível.

[tex3]x^2(m^2+1)-6x(m+1)+14=0\\\Delta =0\rightarrow Tangência\\ [-6(m+1)]^2-4.14(m^2+1)=0\\5m^2-18m+5=0\\m=\frac{18\pm \sqrt{18^2-4.5.5}}{2.5}\\m_{máx}=\frac{9+2\sqrt{14}}{5}[/tex3]

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Problema 78

IME 2010 Determine o valor numérico da expressão :

[tex3]cos\frac{2\pi}{7}+cos\frac{4\pi}{7}+cos\frac{6\pi}{7}[/tex3]

[Tassandro]

Resolução do problema 70

Seja [tex3]X=\cos\frac{2π}7+\cos\frac{4π}7+\cos\frac{6π}{7}[/tex3]
Logo,
[tex3]X\cdot\(2\cos\fracπ{14}\)=2\cos\fracπ{14}\cos\frac{4π}{14}+2\cos\fracπ{14}\cos\frac{8π}{14}+2\cos\fracπ{14}\cos\frac{12π}{14}[/tex3]
Mas sabemos que [tex3]\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b[/tex3], assim,
[tex3]X\cdot\(2\cos\fracπ{14}\)=\cos\frac{5π}{14}+\cos\frac{3π}{14}+\cos\frac{9π}{14}+\cos\frac{7π}{14}+\cos\frac{13π}{14}+\cos\frac{11π}{14}[/tex3]
Mas [tex3]\cos(π-θ)+\cosθ=0,\cos\fracπ2=0[/tex3], desse modo,
[tex3]X\cdot\(2\cos\frac{π}{14}\)=\cos\frac{13π}{14}\implies X=-\frac12[/tex3]



Problema 79

(IME/2016) Considere quatro pontos distintos coplanares. Das distâncias entre esses pontos, quatro delas valem 𝑎 e duas delas valem 𝑏. O valor máximo da relação [tex3]\(\frac ba\)^2[/tex3] é

a) 2
b) 1 + √3
c) 2 + √3
d) 1 + 2√2
e) 2 + 2√3

Resposta

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c