Maratonas de Matemática ⇒ I Maratona de Matemática IME/ITA

[Natan]

Solução do problema 80

note que x pode ser posto em evidencia 3 vezes e a soma dos coeficiente dá zero, isto significa que zero é raíz tripla e 1 é raíz simples, logo:

[tex3]p(x)=x^3(x-1)(3x^2-5x-2)[/tex3]

esse último polinômio tem raízes dadas por: [tex3]x=\frac{5 \pm 7}{6}=-\frac{1}{3},\, 2.[/tex3]

o que nos direciona a: letra [tex3]\boxed{c}[/tex3]

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Problema 81

(ITA-95) Sejam [tex3]4+i \sqrt{2}\, e\, \sqrt{5}[/tex3] do polinômio [tex3]p(x)=2x^5-22x^4+74x^3+2x^2-420x+540,[/tex3] então a soma dos quadrados de todas as raízes reais vale:

[tex3]a)\, 17 \\ b)\, 19 \\ c)\, 21 \\ d)\, 23 \\ e)\, 25[/tex3]

[poti]

Solução do Problema 81

Teorema das Raízes Complexas:

[tex3]4 - i\sqrt{2}[/tex3] é raiz também.

Por Girard:

[tex3]\sqrt{5} + 4 + i\sqrt{2} + 4 - i\sqrt{2} + x_4 + x_5 = 11[/tex3] (I)

[tex3]\sqrt{5} \cdot \(4 + i\sqrt{2}\) \cdot \(4 - i\sqrt{2}\) \cdot x_4 \cdot x_5 = -270[/tex3] (II)

[tex3]x_4 + x_5 = 3 - \sqrt{5}[/tex3]

[tex3]x_4 \cdot x_5 = -3 \sqrt{5}[/tex3]

Claramente, [tex3]x_4 = 3[/tex3] e [tex3]x_5 = - \sqrt{5}[/tex3].

[tex3]3^2 + \(\sqrt{5}\)^2 + \(-\sqrt{5}\)^2 = \boxed{19}[/tex3]

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Problema 82

(ITA-89) Escreva o desenvolvimento do binômio [tex3](\tg ^3 x - \cossec^6 x)^m[/tex3], onde [tex3]m[/tex3] é um número inteiro maior que zero, em termos de potências inteiras de [tex3]\sen x[/tex3] e [tex3]\cos x[/tex3]. Para determinados valores do expoente, este desenvolvimento possuirá uma parcela [tex3]P[/tex3], que não conterá a função [tex3]\sen x[/tex3]. Seja [tex3]m[/tex3] o menor valor para o qual isto ocorre. Então [tex3]P = \frac{-64}{9}[/tex3], quando [tex3]x[/tex3] for igual a:

a) [tex3]x = \frac{\pi}{3} + 2k \pi[/tex3], k inteiro
b) [tex3]x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k \pi[/tex3], k inteiro
c) [tex3]x = \frac{\pi}{4} + 2k \pi[/tex3], k inteiro
d) [tex3]x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k \pi[/tex3], k inteiro
e) não existe [tex3]x[/tex3] satisfazendo a igualdade desejada

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 82

Temos
[tex3](\tg^3 x - \cossec^6 x)^m[/tex3]

Reescrevendo,
[tex3]\left[\left(\frac{\sen x}{\cos x}\right)^3 - \left(\frac{1}{\sen x}\right)^6\right]^m[/tex3]

Usando o teorema binomial temos,
[tex3]\left[\left(\frac{\sen x}{\cos x}\right)^3 - \frac{1}{\sen^6x}\right]^m[/tex3]

[tex3]T_{p+1}={m \choose k}\left(\frac{\sen x}{\cos x}\right)^{3{m-k}} \left(-\frac{1}{\sen ^6x}\right)^k[/tex3]

[tex3]T_{p+1}={m \choose k}\left(\frac{\sen x}{\cos x}\right)^{3{m-k}} (-1)^k \left(\frac{1}{\sen^6x}\right)^k[/tex3]

[tex3]T_{p+1}={m \choose k}\frac{(\sen x)^{9k-3m}}{(\cos x)^{3m-k}}(-1)^k[/tex3]

Como queremos independente de [tex3]\sen x[/tex3], então devemos ter [tex3]9k-3m=0\therefore m=3k[/tex3] para o menor valor de [tex3]k[/tex3], ou seja, [tex3]k=1[/tex3] temos [tex3]m=3[/tex3].

Assim temos,
[tex3]{3 \choose 1}\frac{1}{(\cos x)^{6}}(-1)^1=-\frac{64}{9}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{\cos^6 x}=\frac{64}{27}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{x=\pm \frac{\pi}{6}+2k\pi\,; k\in \mathbb{Z}}[/tex3]

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Problema 83

(IME-46/47) Resolver a equação [tex3]\log\sqrt{5x-1}-\log\sqrt{7x+4}=1+\log2[/tex3]

[poti]

Solução do Problema 83

Condições:

[tex3]5x - 1 > 0[/tex3]
[tex3]7x + 4 > 0[/tex3]

Obs: [tex3]\log = \log _{10}[/tex3]

Propriedade do "Tombo Invertido" dos logaritmos:

[tex3]\frac{1}{2} \log (5x - 1) - \frac{1}{2} \log (7x + 4) = 1 + \log 2[/tex3]

Transformando [tex3]1 = \log _{10} 10[/tex3] e colocando [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] em evidência:

[tex3]\frac{1}{2}(\log (5x - 1) - \log (7x + 4)) = \log 10 + \log 2[/tex3]

Propriedade da multiplicação-soma dos logaritmos:

[tex3]\frac{1}{2}(\log (5x - 1) - \log (7x + 4)) = \log 20[/tex3]

Propriedade do quociente-diferença dos logaritmos:

[tex3]\log \frac{5x - 1}{7x + 4} = \log 400[/tex3]

Igualdade de logaritmandos:

[tex3]\frac{5x - 1}{7x + 4} = 400[/tex3]

Resolvendo:

[tex3]x = -\frac{1601}{2785}[/tex3]

Esse valor não atende às condições iniciais e não faz sentido no campo dos Reais. Portanto, o conjunto solução é [tex3]S = \{0\}[/tex3].

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Problema 84

(ITA-62) Se [tex3]x^3 + px + q[/tex3] é divisível por [tex3]x^2 + ax + b[/tex3] e [tex3]x^2 + rx + s[/tex3], demonstrar que [tex3]b = -r(a + r)[/tex3].

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 84

Uma das raízes dos polinômios serão iguais,seja [tex3]x_1=x_2[/tex3]
Por Girard,
[tex3]x_1+x_2=-a[/tex3]
[tex3]x_1+x_2=-r[/tex3]
[tex3]x_1+x_2+x_3=0[/tex3]

Assim temos,
[tex3]x_1=-(a+r)[/tex3]
[tex3]x_2=r[/tex3]
[tex3]x_3=a[/tex3]

Seja o produto das raízes,
[tex3]x_1.x_2=b[/tex3]

Portanto,
[tex3]b=-r(a+r)[/tex3], como queríamos mostrar.

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Problema 85

(IME-67/68) Sem desenvolver a equação, calcule o valor do somatório dos inversos dos cubos das raízes (sem desenvolver).
[tex3]mx^4+8x^3-139x^2-18x+9=0[/tex3] ([tex3]m[/tex3] inteiro maior que zero)

Resposta

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Gabarito: 98

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 85

Seja [tex3]a,\, b,\, c,\, d[/tex3] as raízes, assim temos
[tex3]S_0=a^0+b^0+c^0+d^0=4[/tex3]
[tex3]S_1=a+b+c+d=-\frac{8}{m}[/tex3]
[tex3]S_2=a^2+b^2+c^2+d^2=(a+b+c+d)^2-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)=\frac{64}{m^2}+\frac{278}{m}[/tex3]
[tex3]S_{-1}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=\frac{bcd+acd+abd+abc}{abcd}=\frac{\frac{18}{m}}{\frac{9}{m}}=2[/tex3]

Da Soma de Newton temos,
[tex3]mS_2+8S_1-139S_0-18S_{-1}+9S_{-2}=0[/tex3]
[tex3]\frac{64}{m}+278-\frac{64}{m}-139\cdot 4+18\cdot 2+9S_{-2}=0[/tex3]
[tex3]S_{-2}=\frac{314}{9}[/tex3]

Usando a Soma de Newton novamente temos,
[tex3]mS_1+8S_0-139S_{-1}-18S_{-2}+9S_{-3}=0[/tex3]
[tex3]{-}8+8\cdot 4-139\cdot 2-2\cdot 314+9S_{-3}=0[/tex3]
[tex3]S_{-3}=98[/tex3]

Portanto a soma pedida vale:
[tex3]\boxed{\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}=98}[/tex3]

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Problema 86

(IME-79/80) Resolva as equações, sabendo-se que a primeira tem uma raiz cujo valor é o tripro do valor de uma raiz da segunda.
[tex3]x^3-7x^2-204x+1260=0[/tex3]
[tex3]x^3-15x^2-394x+840=0[/tex3]

[poti]

Solução do Problema 86:

Substituindo [tex3]3r[/tex3] na primeira e [tex3]r[/tex3] na segunda:

[tex3]27r^3 - 63r^2 - 612r + 1260 = 0[/tex3] (I)
[tex3]r^3 - 15r^2 - 394r + 840 = 0[/tex3] (II)

[tex3]3r^3 - 7r^2 - 68r + 140 = 0[/tex3] (I)
[tex3]r^3 - 15r^2 - 394r + 840 = 0[/tex3] (II)

[tex3]3r^3 - 7r^2 - 68r + 140 = 0[/tex3] (I)
[tex3]{-}3r^3 + 45r^2 + 1182r - 2520 = 0[/tex3] (II)

Somando:

[tex3]38r^2 + 1114r - 2380 = 0[/tex3]

[tex3]19r^2 + 557r - 1190 = 0[/tex3]

Por inspeção, [tex3]2[/tex3] é raiz.

[tex3]\boxed{r = 2}[/tex3]

Usando Briot-Ruffini em (II):

[tex3]\begin{array}{c|ccc|c}
& 1 & -15 & -394 & 840 \\ \hline
2 & 1 & -13 & -420 & \boxed{0} \\
\end{array}[/tex3]

[tex3]x^2 - 13x - 420 = 0[/tex3]

Por Bhaskara, [tex3]x_1 = -15[/tex3], [tex3]x_2 = 28[/tex3].

Conjunto Solução de (II): [tex3]\boxed{S = \{-15, 2, 28 \}}[/tex3]

Usando Briot-Ruffini em (I):

[tex3]\begin{array}{c|ccc|c}
& 1 & -7 & -204 & 1260 \\ \hline
6 & 1 & -1 & -210 & \boxed{0}
\end{array}[/tex3]

[tex3]x^2 - x - 210 = 0[/tex3]

Por Bhaskara, [tex3]x_1' = -14[/tex3], [tex3]x_2' = 15[/tex3].

Conjunto Solução de (I): [tex3]\boxed{S = \{-14, 6, 15\}}[/tex3]

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Problema 87

(IME-96) Determine o resto da divisão do polinômio [tex3](\cos \phi + x \cdot\sen \phi)^n[/tex3] por [tex3](x^2 + 1)[/tex3], onde [tex3]n[/tex3] é um número natural.

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 87

Podemos escrever da seguinte forma,
[tex3](\cos\phi+x\sen\phi)^n= (x^2+1)Q(x)+ax+b[/tex3], onde [tex3]ax+b=R(x)[/tex3]

Seja,
[tex3]x^2+1=0[/tex3], assim temos que [tex3]x=\pm i[/tex3]

Na equação inicial temos que,
[tex3]\begin{cases}(\cos\phi+i\sen\phi)^n= (i^2+1)Q(x)+ai+b=ai+b\\(\cos\phi-i\sen\phi)^n= ((-i)^2+1)Q(x)-ai+b=-ai+b\end{cases}[/tex3]

Sabemos que,
[tex3](\cos\phi\pm i\sen\phi)^n=\cos(n\phi)\pm i\sen(n\phi)[/tex3]

Assim temos,
[tex3]a=\sen(n\phi)[/tex3]
[tex3]b=\cos(n\phi)[/tex3]

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Problema 88

(IME-96/97) Determine o termo máximo na desenvolvimento da expressão:
[tex3]\left(1+\frac{1}{3}\right)^{65}[/tex3]

[poti]

Solução do Problema 88

Relação de Fermat: [tex3]C_{k+1}^n = \frac{n - k}{k + 1} . C_k^n[/tex3]

Usando a Relação de Fermat:

[tex3]C_{p+1}^{65} = \frac{65 - p}{p + 1} . C_{p}^{65}[/tex3]

[tex3]C_{p}^{65} = \frac{65 - (p-1)}{(p-1) + 1} . C_{p-1}^{65}[/tex3]

[tex3]C_{p}^{65} = \frac{66 - p}{p} . C_{p-1}^{65}[/tex3]

[tex3]\boxed{\begin{pmatrix}
65\\
p
\end{pmatrix} = \frac{66 - p}{p} . \begin{pmatrix}
65\\
p - 1
\end{pmatrix}}[/tex3] (I) [Obs: ([tex3]p \in \mathbb{N^{+}})[/tex3]]

Pelo Teorema Binomial, temos:

[tex3]\left(1 + \frac{1}{3}\right)^{65} = \sum_{p=0}^{65} \begin{pmatrix}65\\ p\end{pmatrix} \cancel{1^{65 - p}} \left(\frac{1}{3}\right)^p[/tex3]

[tex3]\boxed{\left(1 + \frac{1}{3}\right)^{65} = \sum_{p=0}^{65} \begin{pmatrix}65\\ p\end{pmatrix} \left(\frac{1}{3}\right)^p}[/tex3] (II)

De (II), montamos equações do termo geral:

[tex3]T_{p+1} = {\begin{pmatrix}
65\\
p
\end{pmatrix} \left(\frac{1}{3}\right)^p}[/tex3]

[tex3]T_p = {\begin{pmatrix}
65\\
p - 1
\end{pmatrix} \left(\frac{1}{3}\right)^{p-1}}[/tex3]

Para o maior termo, [tex3]T_{p+1}[/tex3] tem que ser maior que seu anterior [tex3]T_p[/tex3] para um valor máximo de [tex3]p[/tex3]. Para isso:

[tex3]T_{p+1} > T_p[/tex3]

[tex3]{\begin{pmatrix}65\\ p\end{pmatrix} \left(\frac{1}{3}\right)^p} > {\begin{pmatrix}65\\ p - 1\end{pmatrix} \left(\frac{1}{3}\right)^{p-1}}[/tex3]

Usando (I):

[tex3]\frac{66 - p}{p} \cdot \begin{pmatrix}65\\ p - 1\end{pmatrix} \left(\frac{1}{3}\right)^p > {\begin{pmatrix}
65\\
p - 1
\end{pmatrix} \left(\frac{1}{3}\right)^{p-1}}[/tex3]

[tex3]\frac{66 - p}{p} \cdot \cancel{\begin{pmatrix}
65\\
p - 1
\end{pmatrix}} \cancel{\left(\frac{1}{3}\right)^p} > \cancel{\begin{pmatrix}
65\\
p - 1
\end{pmatrix}} \frac{\cancel{\left(\frac{1}{3}\right)^{p}}}{\frac{1}{3}}[/tex3]

[tex3]\frac{66 - p}{p} > 3[/tex3]

[tex3]\frac{66 - p}{p} - \frac{3p}{p} > 0[/tex3]

[tex3]\frac{66 - 4p}{p} > 0[/tex3]

A observação de (I) garante o divisor sempre positivo, portanto basta analisar apenas o numerador da fração.

[tex3]66 - 4p > 0[/tex3]

[tex3]4p < 66[/tex3]

[tex3]p < 16,5[/tex3]

Pela observação de (I) de novo, a parte decimal deve ser ignorada.

[tex3]\boxed{p = 16}[/tex3]

Portanto, o termo de desenvolvimento máximo será:

[tex3]\boxed{T_{p+1} = T_{17} = \frac{65!}{16! 49!} (\frac{1}{3})^{16}}[/tex3]

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Problema 89

(IME-75) Considere,

[tex3]E = \left[\sen\left(\frac{1 \pi n}{N}\right)\right]^2 + \left[\sen\left(\frac{2 \pi n}{N}\right)\right]^2 + ... + \left[\sen\left(\frac{N \pi n}{N}\right)\right]^2 = \sum_{k=1}^N \left[\sen\left(\frac{k \pi n}{N}\right)\right]^2[/tex3]

[tex3]N[/tex3] e [tex3]n[/tex3] são números inteiros, tais que [tex3]0 < n < N[/tex3]. Calcule [tex3]E[/tex3] em função de [tex3]N[/tex3].

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 89

[tex3]E = \sum_{k=1}^N \left[\sen\left(\frac{k \pi n}{N}\right)\right]^2[/tex3]

Sabemos que:
[tex3]\sen \frac{k\pi n}{N}=\frac{e^{\frac{ikn\pi }{N}}-e^{\frac{-ikn\pi }{N}}}{2i}[/tex3]

[tex3]E=\frac{1}{(2i)^2}\sum_{k=1}^N \left[e^{\frac{ikn\pi}{N}}-e^{\frac{-ikn\pi }{N}}\right]^2[/tex3]

[tex3]E=\frac{1}{(2i)^2}\sum_{k=1}^N \left(e^{\frac{i2kn\pi }{N}}-2e^{\frac{ikn\pi }{N}}e^{\frac{-ikn\pi}{N}}+e^{\frac{-i2kn\pi}{N}}\right)[/tex3]

[tex3]E=\frac{1}{(2i)^2}\sum_{k=1}^N \left(e^{\frac{i2kn\pi }{N}}-2+e^{\frac{-i2kn\pi}{N}}\right)[/tex3]

Calculando as partes separadamente temos que,
[tex3]\sum_{k=1}^N e^{\frac{i2kn\pi }{N}}=e^{\frac{i2kn\pi }{N}}\left[\frac{(e^{\frac{i2kn\pi }{N}})^N-1}{e^{\frac{i2kn\pi }{N}}-1}\right][/tex3]

[tex3]\sum_{k=1}^N e^{\frac{i2kn\pi }{N}}=e^{\frac{i2kn\pi }{N}} \left[\frac{e^{i2kn\pi}-1}{e^{\frac{i2kn\pi }{N}}-1}\right][/tex3]

[tex3]\sum_{k=1}^N e^{\frac{-i2kn\pi}{N}}=e^{\frac{-i2kn\pi }{N}} \left[\frac{e^{-i2kn\pi}-1}{e^{\frac{-i2kn\pi }{N}}-1}\right][/tex3]

[tex3]\sum_{k=1}^N e^{\frac{i2kn\pi }{N}} 2=2N[/tex3]

Sabemos que,
[tex3]e^{i2kn\pi } =1[/tex3]
[tex3]e^{-i2kn\pi } =1[/tex3]

Assim temos,
[tex3]E=-\frac{1}{2}(0-2N+0)[/tex3]

Portanto,
[tex3]E=\frac{N}{2}[/tex3]

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Problema 90

(IME - 65) Por um ponto distante 7cm do centro de uma circunferência de 5cm de raio traça-se uma secante de modo que sua parte externa é [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] da secante total. Calcule o comprimento da secante.