Maratonas de Matemática ⇒ II Maratona de Matemática IME/ITA

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 80

EFOMM 2010 - Geo_PA.png (3.36 KiB) Exibido 2887 vezes

Somando a medida dos lados,
[tex3]3x=18[/tex3]
[tex3]\boxed{x=6}[/tex3]

Da lei dos senos temos,
[tex3]\frac{x+a}{\sen A}=\frac{x}{\sen B}=2R[/tex3]
[tex3]\frac{6+a}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{6}{\frac{3\sqrt{15}}{16}}[/tex3]
[tex3]\boxed{a=2}[/tex3]

[tex3]\frac{6}{\frac{3\sqrt{15}}{16}}=2R[/tex3]
[tex3]\boxed{R=\frac{16\sqrt{15}}{15}}[/tex3]

A área do triângulo vale:
[tex3]A=p\cdot r[/tex3]
[tex3]\frac{(x-a)\cdot x \cdot \sen A}{2}=pr[/tex3]
[tex3]\frac{4\cdot 6}{2}\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}=9\cdot r[/tex3]
[tex3]\boxed{r=\frac{\sqrt{15}}{3}}[/tex3]

Portanto,
[tex3]R\cdot r=\frac{16\sqrt{15}}{15}\cdot \frac{\sqrt{15}}{3}[/tex3]
[tex3]\boxed{R\cdot r=\frac{16}{3}}[/tex3]. Letra D

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Problema 81

(EN - 2004) Se [tex3]a,b,m\,\text{ e }\,n[/tex3] são números reais tais que [tex3]a^2+b^2=341ab,\,a\neq 0,\,b\neq 0,\,\log_3 2=m\,e\,\log_3 7=n[/tex3], então, o valor da expressão [tex3]\log_3 \frac{(a+b)^2}{64ab}-\log_3 \left(\frac{7}{3}\right)^2-2(\log_9 2)^2 +\log_{\frac{1}{3}}14[/tex3] é

a) [tex3]m^2+6n-1[/tex3]
b) [tex3]-\frac{m^2}{2}-7m+2[/tex3]
c) [tex3]3\frac{n^2}{2}+3m-6n-2[/tex3]
d) [tex3]\frac{n^2}{2}+6n-1[/tex3]
e) [tex3]-n^2+6m-1[/tex3]

[poti]

Solução do Problema 81

Primeira parcela:

[tex3]\log_3 \left(\frac{a^2 + b^2 + 2ab}{64ab}\right)[/tex3]

Usando a primeira condição:

[tex3]\log_3 \left(\frac{343ab}{64ab}\right)[/tex3]

[tex3]\boxed{\log_3 \left(\frac{343}{64}\right)}[/tex3]

Segunda parcela:

[tex3]-\log_3 \left(\frac{7}{3}\right)^2 = -2\log_3 7 + 2[/tex3]

Usando a última condição:

[tex3]\boxed{-2n + 2}[/tex3]

Terceira parcela:

[tex3]-2(\log_9 2)\cdot(\log_9 2)[/tex3]

Mudando a base:

[tex3]-2\cdot\frac{(\log_3 2)\cdot(\log_3 2)}{2\cdot 2}[/tex3]

[tex3]-\frac{(\log_3 2)^2}{2}[/tex3]

Usando a penúltima condição:

[tex3]\boxed{-\frac{m^2}{2}}[/tex3]

Quarta parcela:

[tex3]\log_{\frac{1}{3}}14[/tex3]

Mudando a base:

[tex3]\frac{\log_3 14}{-1}[/tex3]

[tex3]- \log_3 7\cdot2 = -(\log_3 7 + \log_3 2)[/tex3]

Usando as condições:

[tex3]\boxed{-(n+m)}[/tex3]

Somando tudo:

[tex3]\log_3 \left(\frac{343}{64}\right) - 2n + 2 - \frac{m^2}{2} - n - m[/tex3]

[tex3]\log_3 \left(\frac{7^3}{2^6}\right) - 2n + 2 - \frac{m^2}{2} - n - m[/tex3]

[tex3]3n - 6m - 2n + 2 - \frac{m^2}{2} - n - m[/tex3]

[tex3]\boxed{-7m - \frac{m^2}{2} + 2}[/tex3] B

Solução alternativa

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Problema 82

(EFOMM-09/10) O gráfico das três funções polinomiais do primeiro grau [tex3]a, b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] definidas, respectivamente, por [tex3]a(x), b(x)[/tex3] e [tex3]c(x)[/tex3] estão representadas abaixo.

GRAF43.png (10.09 KiB) Exibido 2868 vezes

Nessas condições, o conjunto-solução da inequação [tex3]\frac{(a(x))^5\cdot(b(x))^6}{(c(x))^3} \geq 0[/tex3] é:

a) [tex3](-4,-1) \cup [3, + \infty)[/tex3]
b) [tex3][-4,-1] \cup [3, + \infty)[/tex3]
c) [tex3](-\infty,-4) \cup [-1, + \infty)[/tex3]
d) [tex3][4, + \infty)[/tex3]
e) [tex3]\mathbb{R} - \{4\}[/tex3]

[theblackmamba]

Solução do Problema 82

A potência sobre as funções não altera suas raízes, somente sua imagem. Então podemos reproduzir um quadro de sinais normalmente, observando as raízes mostradas no gráfico.

graf.png (7.08 KiB) Exibido 2857 vezes

Observando o quadro temos a solução.

Letra C

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Problema 83

(EFFOM - 2009/10) Sabendo que o [tex3]\log_{30} \,3=a[/tex3] e [tex3]\log_{30} \,5 = b[/tex3], que opção representa [tex3]\log_{10}\,2[/tex3] ?

[tex3]a)\frac{1-a-b}{2+a}[/tex3]
[tex3]b)\frac{1-a-b}{a-1}[/tex3]
[tex3]c)\frac{1-a-b}{1+a}[/tex3]
[tex3]d)\frac{1-a-b}{2-a}[/tex3]
[tex3]e)\frac{1-a-b}{1-a}[/tex3]

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 83

[tex3]S=\log_{10}2=\frac{\log_{30}2}{\log_{30}10}=\frac{\log_{30}\left(\frac{30}{15}\right)}{\log_{30}\left(\frac{30}{3}\right)}[/tex3]
[tex3]S=\frac{\log_{30}30-\log_{30}3-\log_{30}5}{\log_{30}30-\log_{30}3}[/tex3]
[tex3]\boxed{S=\frac{1-a-b}{1-a}}[/tex3]. Letra E

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Problema 84

(EN - 2004) O conjunto dos números reais [tex3]x[/tex3] que satisfaz a desigualdade [tex3]\left |\frac{3-2x}{2+x}\right|\leq 4[/tex3] é

a) [tex3]\left]-\infty ,-2\right[\cup \left]-2,+\infty\right[[/tex3]
b) [tex3]\left]-\infty ,-2\right[\cup \left[-\frac{5}{6},+\infty\right[[/tex3]
c) [tex3]\left[-\frac{11}{2} ,-\frac{5}{6}\right]\cup \left[\frac{3}{2},+\infty\right[[/tex3]
d) [tex3]\left]-\infty ,-\frac{11}{2}\right]\cup \left[-\frac{5}{6},+\infty\right[[/tex3]
e) [tex3]\left]-\infty ,-\frac{5}{6}\right]\cup \left[\frac{3}{2},+\infty\right[[/tex3]

[poti]

Solução do Problema 84

[tex3]|2x - 3| \leq 4|x+2|[/tex3]

[tex3]\sqrt{(2x - 3)^2} \leq 4\sqrt{(x+2)^2}[/tex3]

Elevando tudo ao quadrado:

[tex3](2x-3)^2 \leq 16(x+2)^2[/tex3]

[tex3]4x^2 - 12x + 9 \leq 16x^2 + 64x + 64[/tex3]

[tex3]12x^2 + 76x + 55 \geq 0[/tex3]

[tex3]x \geq -\frac{5}{6}[/tex3] ou [tex3]x \leq -\frac{11}{2}[/tex3]

Letra D

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Problema 85

(EFOMM-2008) Considere a matriz [tex3]A = \left(\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1/2 & 0 \end{array}\right)[/tex3]. A matriz onde [tex3]\sum_{j=1}^{10} A^j[/tex3] é:

a) [tex3]I_{2\times 2}[/tex3]
b) [tex3]A[/tex3]
c) [tex3]I_{2\times 2} + A[/tex3]
d) [tex3]5(I_{2\times 2} + A)[/tex3]
e) [tex3]7A[/tex3]

[emanuel9393MOD]

Solução do Problema 85

Temos que:


[tex3]A \, = \, \left(\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1/2 & 0 \end{array}\right)[/tex3]

[tex3]A^{2} \, = \, \left(\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1/2 & 0 \end{array}\right) \, \cdot \, \left(\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1/2 & 0 \end{array}\right) \, = \, \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)[/tex3]

[tex3]A^{3} \, = \, \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \, \cdot \, \left(\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1/2 & 0 \end{array}\right) \, = \, \left(\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1/2 & 0 \end{array}\right)[/tex3]

...

[tex3]A^{2n + 1} \, = \, \left(\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1/2 & 0 \end{array}\right)[/tex3]

[tex3]A^{2n} \, = \, \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)[/tex3]


Logo:

[tex3]\sum_{j=1}^{10} A^j \, = \, 5 \left(\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1/2 & 0 \end{array}\right) \, + \, 5 \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \, = \, 5(I_{2\times 2} + A)[/tex3]

Resposta = D

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Problema 86

(ITA - 2011) A superfície de duas esferas se interceptam ortogonalmente (isto é, em cada ponto da intersecção,, os respectivos planos tangentes são perpendiculares). Sabendo que o raio destas esferas medem [tex3]2 \,\,\, cm[/tex3] e [tex3]\frac{3}{2} \,\,\, cm[/tex3], respectivamente, calcule:

a) a distância entre os centros das duas esferas;

b) a área da superfície do sólido obtido pela intersecção das duas esferas;

[theblackmamba]

Solução do Problema 86

Podemos construir a seguinte figura:

tri.png (15.91 KiB) Exibido 2952 vezes

a)
Como em cada ponto de intersecção os respectivos planos tangentes às esferas são perpendiculares, [tex3]A \widehat{P} B=90^{\circ}[/tex3] e no triângulo APB temos:

[tex3]AB^2=AP^2+PB^2[/tex3]
[tex3]AB = \sqrt{4 + \frac{9}{4}}[/tex3]
[tex3]\boxed{AB=\frac{5}{2}\,cm}[/tex3]

b)
Das relações métricos no triângulo retângulo APB:
[tex3]AP^2=AS \cdot AB[/tex3]
[tex3]\frac{9}{4} = AS \cdot \frac{5}{2} \longrightarrow AS = \frac{9}{10}\,\text{cm}[/tex3]

[tex3]SM=AM-AS = \frac{3}{2}-\frac{9}{10}=\frac{3}{5}\,\text{cm}[/tex3]

[tex3]BS=AB-AS = \frac{5}{2}-\frac{9}{10}=\frac{8}{5}\,\text{cm}[/tex3]

A área da superfície do sólido obtido é a soma das áreas das calotas dos segmentos esféricos. A área de uma calota esférica de raio r e flecha h (altura da calota) é dada por [tex3]2\pi \cdot r \cdot h[/tex3], a área desejada é:

[tex3]2\pi \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{5} + 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{2}{5} = \boxed{\frac{17\pi}{5} \,cm^2}[/tex3]

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Problema 87

(ITA - 2011) Num triângulo AOB o ângulo [tex3]A\hat{O}B[/tex3] mede 135º e os lados [tex3]\overline{AB}[/tex3] e [tex3]\overline{OB}[/tex3] medem [tex3]\sqrt{2}\,\text{cm}[/tex3] e [tex3]\sqrt{2-\sqrt{3}}\,\text{cm}[/tex3], respectivamente. A circunferência de centro O e raio igual à medida de [tex3]\overline{OB}[/tex3] intercepta [tex3]\overline{AB}[/tex3] no ponto [tex3]C\neq B[/tex3].

a) Mostre que [tex3]O\hat{A}B[/tex3] mede 15º
b) Calcule o comprimento de [tex3]\overline{AC}[/tex3]

[poti]

Solução do Problema 87

a)

Chamando [tex3]O\hat{A}B[/tex3] de [tex3]x[/tex3], pela lei dos senos:

[tex3]\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sen(x)}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{\sen(x)}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}[/tex3]

[tex3]\sen(x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}[/tex3]

Elevando ao quadrado:

[tex3]\sen^2 (x) = \frac{2 - \sqrt{3}}{4} = 1 - \cos ^2(x)[/tex3]

[tex3]\cos (x) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}[/tex3]

Pela fórmula do arco-duplo:

[tex3]\sen(2x) = 2\sen x\cdot\\cos x = 2\cdot\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}[/tex3]

[tex3]\sen(2x) = \frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]2x = 30^{\circ}[/tex3]

[tex3]\boxed{x = 15^{\circ}}[/tex3]

b)

[tex3]C[/tex3] está sobre a circunferência, portanto [tex3]OC[/tex3] também é um raio. Formando um triângulo isósceles [tex3]OCB[/tex3], temos dois ângulos de [tex3]30^{\circ}[/tex3] com o central de [tex3]120^{\circ}[/tex3]. Chamando [tex3]AC[/tex3] de [tex3]k[/tex3], sabemos que [tex3]CB = \sqrt{2} - k[/tex3]. Por lei dos senos:

[tex3]\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sen 30} = \frac{\sqrt{2} - k}{\sen 120}[/tex3]

[tex3]2\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} - k}{\frac{\sqrt{3}}{2}}[/tex3]

[tex3]\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} = \sqrt{2} - k[/tex3]

[tex3]\boxed{k = AC = \sqrt{2} - \sqrt{6 - 3\sqrt{3}}}[/tex3]

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Problema 88

(EFOMM-2009) Em uma progressão aritmética cujo números de termos é ímpar a soma dos termos de ordem ímpar é 573, e a soma dos termos de ordem par é 549. Quanto vale a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos dessa progressão?

(A) 12
(B) 24
(C) 48
(D) 56
(E) 68

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 88

Soma dos números ímpares:
[tex3](a_1+a_n)\frac{(n+1)}{2}=573[/tex3]
[tex3](a_1+a_n)(n+1)=1196[/tex3]

Soma dos números pares:
[tex3](a_1+a_{n-1})\frac{(n)}{2}=549[/tex3]
[tex3](a_1+a_{n-1})n=1098[/tex3]

A soma dos termos equidistantes são iguais, temos,
[tex3](a_1+a_n)=(a_1+a_{n-1})[/tex3]

Subtraindo as equações encontramos o valore desejado.
[tex3]\boxed{a_1+a_n=48}[/tex3]. Letra C

OBS.:
Percebe que esta PA não existe pois,
[tex3](a_1+a_n)\frac{(n+1)}{2}=573[/tex3]
[tex3]48(n+1)=1196[/tex3]
[tex3]n+1 \approx 24,9[/tex3], veja que teremos um número "quebrado" de termos.

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Problema 89

(EN - 2004) Os pontos [tex3]A=(x_1,y_1)[/tex3] e [tex3]B=(x_2,y_2)[/tex3] são soluções do sistema de equações [tex3]\begin{cases}\sen(x+y)+\sen(x-y)=2\\\sen x+\cos y=2\end{cases}[/tex3] onde [tex3]x\in [0,2\pi][/tex3] e [tex3]y\in [0,2\pi][/tex3]. A distância desde [tex3]A[/tex3] até [tex3]B[/tex3] é
[tex3]a) \frac{\pi}{2}[/tex3]
[tex3]b)\frac{\sqrt{3}}{2}\pi[/tex3]
[tex3]c)\pi[/tex3]
[tex3]d)2\pi[/tex3]
[tex3]e)3\pi[/tex3]

[poti]

Solução do Problema 89

Por Prostaferese:

[tex3]\sen(x+y) + \sen(x-y) = 2\sen(x)\cos(y)[/tex3]

[tex3]\sen(x)\cos(y) = 1[/tex3]

[tex3]\boxed{\sen(x) = \frac{1}{\cos(y)}}[/tex3]

Substituindo na segunda equação:

[tex3]\frac{1}{\cos y} + \cos y = 2[/tex3]

[tex3]\cos^2y - 2\cos y + 1 = 0[/tex3]

[tex3]\cos y = 1 (\Delta = 0[/tex3])

[tex3]\boxed{y = 2\pi, \ y = 0}[/tex3]

[tex3]\sen x + 1 = 2[/tex3]

[tex3]\sen x = 1[/tex3]

[tex3]\boxed{x = \frac{\pi}{2}}[/tex3]

[tex3]A\left(\frac{\pi}{2},\,2\pi\right),\, B\left(\frac{\pi}{2},\,0\right)[/tex3]

Por Pitágoras:

[tex3]d = \sqrt{\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\right)^2 + (2\pi - 0)^2}[/tex3]

[tex3]d = \sqrt{4\pi^2}[/tex3]

[tex3]\boxed{d = 2\pi}[/tex3] D

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Problema 90

(EFOMM-2009) Qual é o número inteiro cujo produto por 9 é um número natural composto apenas pelo algarismo 1 ?

(A) 123459
(B) 1234569
(C) 12345679
(D) 12345789
(E) 123456789