Maratonas de Matemática ⇒ III Maratona de Matemática IME/ITA

[Juniorhw]

Solução do Problema 80

Chamando o primeiro termo de [tex3]x_1[/tex3] e usando Girard, temos:

[tex3](x_1)+\left(x_1+\frac{1}{2}\right)+(x_1+1)+\left(x_1+\frac{3}{2}\right)=\frac{20}{4}\\\\4x_1=2\to x_1=\frac{1}{2}[/tex3]

Mais duas relações de Girard:

[tex3](x_1\cdot x_2)+(x_1\cdot x_3)+(x_1\cdot x_4)+(x_2\cdot x_3)+(x_2\cdot x_4)+(x_3\cdot x_4)=\frac{a}{4}\\\\\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+1+\frac{3}{2}+2+3=\frac{a}{4}\\\\a=35[/tex3]

[tex3]x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_4=\frac{b}{4}\\\\\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \frac{3}{2}\cdot 2=\frac{b}{4}\\\\b=6[/tex3]

[tex3]\boxed{a+b=41}[/tex3]

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Problema 81 Proposto por FilipeCaceres

(ITA - 1980) Considere a equação [tex3]|x |= x- 6[/tex3] . Com respeito à solução real desta equação podemos afirmar que:

a) A solução pertence ao intervalo fechado [tex3][1, 2][/tex3].
b) A solução pertence ao intervalo fechado [tex3][-2, -1][/tex3].
c) A solução pertence ao intervalo aberto [tex3](-1,1)[/tex3].
d) A solução pertence ao complementar da união dos intervalos anteriores.
e) A equação não tem solução.

Resposta

---

Letra E

[theblackmamba]

Solução do Problema 81

Condição de existência:
[tex3]x-6\geq 0\,\,\Rightarrow\,\,x\geq 6[/tex3]

Temos 2 casos:
Para [tex3]|x|=x,\,\,x\geq 0[/tex3]:

[tex3]x=x-6[/tex3]
[tex3]0=-6[/tex3]. Não há solução!

Para [tex3]|x|=-x,\,\,x<0[/tex3]:

[tex3]x=6-x[/tex3]
[tex3]x=3[/tex3]. Não é válida pela condição de existência!

Portanto,
[tex3]\boxed{S=\emptyset}[/tex3]. Letra E

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Problema 82

(IME - 1970/71) Sejam [tex3]M[/tex3] um ponto da circunferência de círculo de diâmetro [tex3]\overline{AB}[/tex3] e [tex3]H[/tex3] a projeção de [tex3]M[/tex3] sobre o diâmetro. Traçando-se um segundo círculo com centro em [tex3]M[/tex3] e raio [tex3]r=\overline{MH}[/tex3], a corda [tex3]\overline{CD}[/tex3] comum aos dois círculos intercepta o segmento [tex3]\overline{M}[/tex3] em um ponto [tex3]P[/tex3]. Determine o valor da razão [tex3]\frac{\overline{PM}}{\overline{PH}}[/tex3].

[tex3]a)\,\,\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]b)\,\,\frac{1}{8}[/tex3]
[tex3]c)\,\,2[/tex3]
[tex3]d)\,\,\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]e)\,\,\frac{1}{4}[/tex3]
[tex3]f)\,\,\text{N.R.A.}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]f)\,\,\frac{\overline{PM}}{\overline{PH}}=1[/tex3]

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 82

IME_70-71.png (10.65 KiB) Exibido 6045 vezes

Para facilitar a solução podemos pegar este caso em particular, onde as circunferências tem o mesmo raio, sendo assim o ponto [tex3]P[/tex3] é o ponto médio de [tex3]\overline{MH}[/tex3]. Portanto,
[tex3]\frac{\overline{PM}}{\overline{PH}}=\frac{\frac{\overline{MH}}{2}}{\frac{\overline{MH}}{2}}=1[/tex3]. Letra F

Solução Alternativa

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Problema 83

(IME - 1964/1965) Sobre uma circunferência tomou-se um ponto qualquer [tex3]A[/tex3]. A partir desse ponto, traçam-se retas secantes, tendo como comprimento o dobro das respectivas cordas. Definir, provando, o lugar geométrico das extremidades das retas assim construídas.

Resposta

---

Circunferência

[theblackmamba]

Solução do Problema 83

Considerando a ilustração:

ime_64.65.png (15.54 KiB) Exibido 6023 vezes

Pelo enunciado:
[tex3]AC=2\cdot AD\,\,\therefore\,\,CD=AD[/tex3]

[tex3]B[/tex3] é a reflexão do ponto [tex3]A[/tex3] em relação ao centro [tex3]O[/tex3].

Traçando o segmento [tex3]BD[/tex3] temos que o triângulo [tex3]\triangle ABD[/tex3] é retângulo. Isso implica que [tex3]AB=BC[/tex3]. De forma que independente da escolha do ponto [tex3]D[/tex3] o comprimento de [tex3]BC[/tex3] é sempre constante, o que caracteriza que a trajetória da extremidade [tex3]C[/tex3] é uma circunferência com centro em [tex3]B[/tex3] e raio igual ao dobro da outra circunferência.

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Problema 84

(IME - 1970/71) Uma esfera de raio [tex3]R[/tex3] é tangente às faces de um dos triedros de um cubo de aresta [tex3]a[/tex3]. Um vértice do cubo pertence à superfície esférica. Calcule o raio [tex3]r[/tex3] da intersecção da esfera com o plano de uma das faces do cubo que cortam a esfera, em função apenas da aresta [tex3]a[/tex3] do cubo.

[tex3]a)\,\,\frac{\sqrt{2}}{2}a[/tex3].
[tex3]b)\,\,(\sqrt{2}-1)a[/tex3].
[tex3]c)\,\,\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{3}-1)a[/tex3].
[tex3]d)\,\,(1-\sqrt{3})a[/tex3].
[tex3]e)\,\,\frac{(\sqrt{3}-1)}{2}a[/tex3].
[tex3]f)\,\,\text{N.R.A}[/tex3].

Resposta

---

[tex3]b)[/tex3]

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 84

Para facilitar veja esta figura planificada.

IME_70-71.png (10.13 KiB) Exibido 6013 vezes

Da figura tiramos,
[tex3]\begin{cases}
a=R+r \\
r=R\cos45
\end{cases}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]a=\frac{r}{\cos 45}+r=r(\sqrt{2}+1)[/tex3]
[tex3]\boxed{r=a(\sqrt{2}-1)}[/tex3]. Letra B

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Problema 85

(IME - 1970/1971) A área de uma elipse é igual a quatro quintos da área de seu círculo principal. Calcule a excentricidade da elipse, sabendo-se que o arco de [tex3]2160[/tex3] minutos da circunferência do círculo principal tem o comprimento de [tex3]\pi[/tex3] centímetros.

a) [tex3]0.3[/tex3]
b) [tex3]0,4[/tex3]
c) [tex3]0,5[/tex3]
d) [tex3]0,6[/tex3]
e) [tex3]0.8[/tex3]
f) [tex3]NRA[/tex3]

Resposta

---

Letra D

[theblackmamba]

Solução do Problema 85

O círculo principal de uma elipse é aquele em possui centro igual a da mesma e raio coincidente com o semieixo maior [tex3]a[/tex3] (elipse com eixo maior paralelo ao eixo das abcissas).

ime_70.71_mat.png (9.91 KiB) Exibido 6002 vezes

Pelo enunciado temos a medida do ângulo do arco:
[tex3]\theta=2160'=\frac{2160}{60}=36^{\circ}=\frac{\pi}{5}\,\text{rad}[/tex3]

Seja [tex3]r=a[/tex3] o raio do círculo:
[tex3]\frac{2\pi a}{2\pi}=\frac{\pi}{\frac{\pi}{5}}\,\,\therefore\,\,a=5\,uc[/tex3]

[tex3]A_e=\frac{4}{5}A_c[/tex3]
[tex3]\pi a b =\frac{4}{5}\pi\cdot a^2[/tex3]
[tex3]b=\frac{4}{5}\cdot 5\,\,\therefore\,\,b=4\,uc[/tex3]

[tex3]c^2=5^2-4^2\,\,\Rightarrow\,\,c=3\,uc[/tex3]

Portanto,
[tex3]e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}[/tex3]
[tex3]\boxed{e=0,6}[/tex3]. Letra D

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Problema 86

(IME - 2013/14) Calcule o valor da expressão abaixo:

[tex3]\sqrt[3]{\underbrace{370370\cdots 037}_{89\,\text{algarismos}}-\underbrace{11\cdots 1}_{\text{30 algs. "1"}}\,\underbrace{00\cdots0}_{\text{30 algs. "0"}}}[/tex3]

Resposta

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[tex3]\frac{10^{30}-1}{3}=\underbrace{33\cdots 33}_{30\,\text{algarismos}\,"3"}\,[/tex3]

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 86

Reescrevendo,
[tex3]S_1=\underbrace{370370\ldots 037}_{89\,\text{algarismos}}=37\cdot 10^{29}+37\cdot 10^{28}+\ldots +37\cdot 10^{2}+37\cdot 10^{1}+37\cdot 10^{0}[/tex3]

Uma PG de razão [tex3]q=10^3[/tex3] e [tex3]a_1=37[/tex3]
[tex3]S_2=\frac{37(10^{90}-1)}{999}[/tex3]

Analogamente,
[tex3]S_2=\underbrace{11\ldots 1}_{\text{30 algs. "1"}}\,\underbrace{00\ldots0}_{\text{30 algs. "0"}}=(10^{29}+10^{28}+\ldots+10^{2}+10^{1}+10^{0})\cdot 10^{30}[/tex3]

[tex3]S_2=\frac{10^{30}-1}{9}\cdot 10^{30}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]\sqrt[3]{\frac{37(10^{90}-1)}{999}-\frac{10^{60}-10^{30}}{9}}=[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{\frac{(10^{90}-1)}{27}-\frac{3\cdot(10^{60}-10^{30})}{27}}=[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{\frac{10^{90}-3\cdot 10^{60}+3\cdot 10^{30}-1}{27}}=[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{\frac{(10^{30}-1)^3}{3^3}}=\boxed{\frac{10^{30}-1}{3}=\underbrace{33\ldots 33}_{\text{30 algarismos "3"}}}[/tex3]

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Problema 87

(IME - 1959/1960) Determinar as equações dos círculos concêntricos no ponto [tex3]C_1 (-2, 1)[/tex3] e tangentes ao círculo [tex3]x^2 + y^2- 2x +6y + 1 = 0[/tex3]

Resposta

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[tex3](x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 4[/tex3]
[tex3](x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 64[/tex3]

[theblackmamba]

Solução do Problema 87

Não é difícil de ver que os círculos concêntricos são tangentes em pontos diametralmente opostos da outra circunferência, do contrário não teríamos dois círculos tangentes na mesma circunferência.

ime_59.60.png (11.56 KiB) Exibido 5945 vezes

Vamos arrumar a equação do outro círculo:
[tex3]x^2+y^2-2x+6y+1=0[/tex3]

[tex3]C=\left(\frac{-2}{-2},\frac{6}{-2}\right)=(1,-3)[/tex3]
[tex3]r=\sqrt{1^2+(-3)^2-1}=3\,u.c.[/tex3]

A distância do pontos [tex3]C_1,C[/tex3] equivale soma dos raios dos círculos menores:
[tex3]R_1+r=\sqrt{(-2-1)^2+(1+3)^2}[/tex3]
[tex3]R_1=5-3=2\,u.c[/tex3]

Logo temos a equação de um dos círculos: [tex3]\boxed{(x+2)^2+(y-1)^2=4}[/tex3]

De modo que:
[tex3]R_2=R_1+2r=8\,u.c.[/tex3]

E temos a equação do outro círculo: [tex3]\boxed{(x+2)^2+(y-1)^2=64}[/tex3]

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Problema 88

(IME - 1970/71) Achar o limite da soma dos termos da série abaixo. (O valor absoluto de [tex3]a[/tex3] é maior que [tex3]1[/tex3]).

[tex3]\frac{a}{a}+\frac{2a}{a^2}+\frac{3a}{a^3}+\frac{4a}{a^4}+...[/tex3]

[tex3]a)\,\,a+1[/tex3]
[tex3]b)\,\,\frac{a-1}{a}[/tex3]
[tex3]c)\,\,a-1[/tex3]
[tex3]d)\,\,\frac{a}{a-1}[/tex3]
[tex3]e)\,\,\left(\frac{a}{a-1}\right)^2[/tex3]
[tex3]f)\,\,\text{N.R.A.}[/tex3]

Resposta

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e)

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 88

Problema clássico de PA-PG.

Método de resolução: multiplicar tudo pela razão da PG e subtrair as somas.

Assim temos,
[tex3]a\cdot S=a+\frac{2a}{a}+\frac{3a}{a^2}+\frac{4a}{a^3}+...[/tex3]

Subtraindo,
[tex3](a-1)S=a+1+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}+\cdots\right)[/tex3]

[tex3](a-1)S=a+1+\frac{1}{a-1}=\frac{a^2}{a-1}[/tex3]
[tex3]\boxed{S=\left(\frac{a}{a-1}\right)^2}[/tex3]. Letra E

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Problema 89

(IME - 1959/1960) Calcular a soma da série cujo termo geral é [tex3]\frac{3}{2^{2n+2}}[/tex3], [tex3]n=1,2,3,\cdots[/tex3]

Resposta

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[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

[theblackmamba]

Solução do Problema 89

[tex3]S=3\cdot \left(\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+...\right)[/tex3]

No parenteses temos um PG infinita de razão [tex3]\frac{1}{2^2}[/tex3]. Logo:

[tex3]S=3\cdot \left(\frac{\frac{1}{2^4}}{1-\frac{1}{2^2}}\right)[/tex3]
[tex3]S=3\cdot \frac{1}{4\cdot 3}[/tex3]
[tex3]\boxed{S=\frac{1}{4}}[/tex3]

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Problema 90

(IME - 1964/65) Em um triângulo qualquer [tex3]ABC[/tex3], calcular o valor da relação:

[tex3]\frac{\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C}{\tan A+\tan B+\tan C}[/tex3]

Resposta

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[tex3]1[/tex3]