Maratonas de Matemática ⇒ I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

[PedroCunha]

Solução do problema 90

Letra a:

Se [tex3]D[/tex3] ao ser dividido por 17 deixa resto [tex3]2r[/tex3] e [tex3]r \in \mathbb{N}[/tex3], devemos ter:

[tex3]0 \leq 2r \leq 16 \rightarrow 0 \leq r \leq 8[/tex3]

Assim, o valor máximo de [tex3]r[/tex3] é 8.

Letra b:

Pelo método de Descartes:

[tex3]\begin{cases}

D = 4 \cdot 31 + r \\ D = 7 \cdot 17 + 2r \\

\end{cases} \\\\

D = D \Leftrightarrow r = 5 \Leftrightarrow D = 129[/tex3]

---

Problema 91

(UNICAMP - 2004) O quadrilátero convexo [tex3]ABCD[/tex3], cujos lados medem, consecutivamente, [tex3]1,\, 3,\, 4[/tex3] e [tex3]6[/tex3] cm, está inscrito em uma circunferência de centro [tex3]O[/tex3] e raio [tex3]R[/tex3].

a) Calcule o raio [tex3]R[/tex3] da circunferência.
b) Calcule o volume do cone reto cuja base é o círculo de raio [tex3]R[/tex3] e cuja altura mede [tex3]5[/tex3] cm.

Resposta

---

Letra a: [tex3]R = \frac{3\sqrt{66}}{8}[/tex3]
Letra b: [tex3]V = \frac{495\pi}{32} cm^3[/tex3]

[PedroCunha]

Postarei a solução para o problema não ter que ser retirado.

Solução do problema 91

Letra a:

Vejam a seguinte figura: Fonte da figura: curso objetivo

ob.png (14.31 KiB) Exibido 14865 vezes

No triângulo [tex3]ABD[/tex3]:

[tex3](BD)^2 = 6^2 + 1^2 - 12\cos \alpha[/tex3]

No triângulo [tex3]BDC[/tex3]:

[tex3](BD)^2 = 3^2 + 4^2 + 24\cos \alpha[/tex3]

Então: [tex3]37 -12\cos \alpha = 25 + 24\cos \alpha \therefore 12 = 36\cos \alpha \therefore \cos \alpha = \frac{1}{3}[/tex3]

e com isso, [tex3]\sen \alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \frac{2\sqrt2}{3}[/tex3].

Lei dos Senos no triângulo [tex3]ABD[/tex3]:

[tex3]\frac{BD}{\sen \alpha} = 2R \therefore \frac{\sqrt{37-4}}{\frac{2\sqrt2}{3}} = 2R \therefore R = \frac{3\sqrt{33}}{4\sqrt2} = \frac{3\sqrt{66}}{8}cm[/tex3]

Letra b:

Temos:

[tex3]v = \frac{\left( \frac{3\sqrt{66}}{8} \right)^2 \cdot \pi \cdot 5}{3} \therefore v = \frac{990\pi}{64} = \frac{495\pi}{32}cm^3[/tex3]

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Problema 92

(UNICAMP-2004) Suponha que, em uma prova, um aluno gaste para resolver cada questão, a partir da segunda, o dobro de tempo gasto para resolver a questão anterior. Suponha ainda que, para resolver todas as questões, exceto a última, ele tenha gasto 63,5 minutos e para resolver todas as questões, exceto as duas últimas, ele tenha gasto 31,5 minutos. Calcule:

a) O número total de questões da referida prova.
b) O tempo necessário para que aquele aluno resolva todas as questões da prova.

Resposta

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Letra a: 8 questões
Letra b: 127,5min

[csmarceloMOD]

Resolução do problema 92

a)

Claramente percebesse que os tempos para resolução de cada questão formam uma PG de razão 2.

Soma [tex3]S_n[/tex3] dos [tex3]n[/tex3] termos de uma PG finita = [tex3]\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}[/tex3]

Logo,

[tex3]S_{n-1}=\frac{a_1(1-2^{n-1})}{1-2}=a_1(2^{n-1}-1)=63,5\ (I)[/tex3]
[tex3]S_{n-2}=\frac{a_1(1-2^{n-2})}{1-2}=a_1(2^{n-2}-1)=31,5\ (II)[/tex3]

Aplicando o método da subtração no sistema acima e desenvolvendo a equação:

[tex3]a_1(2^{n-1}-1)-a_1(2^{n-2}-1)=63,5-31,5[/tex3]
[tex3]a_1(2^{n-1}-1-2^{n-2}+1)=32[/tex3]
[tex3]a_1(2^n\cdot2^{-1}-1-2^n\cdot2^{-2}+1)=32[/tex3]
[tex3]2^na_1(2^{-1}-1-2^{-2}+1)=32[/tex3]
[tex3]\frac{2^na_1}{4}=32[/tex3]
[tex3]2^na_1=128[/tex3]
[tex3]a_1=\frac{128}{2^n}[/tex3]
[tex3]a_1=\frac{2^7}{2^n}[/tex3]
[tex3]a_1=2^{7-n}[/tex3]

Substituindo [tex3]a_1[/tex3] em [tex3](I)[/tex3]:

[tex3]2^{7-n}\cdot(2^{n-1}-1)=63,5[/tex3]
[tex3]2^{7-n}\cdot2^{n-1}-2^{7-n}=63,5[/tex3]
[tex3]2^{7-n+n-1}-2^{7-n}=63,5[/tex3]
[tex3]2^6-2^{7-n}=63,5[/tex3]
[tex3]2^{7-n}=2^6-63,5[/tex3]
[tex3]2^{7-n}=0,5[/tex3]
[tex3]2^{7-n}=2^{-1}[/tex3]
[tex3]7-n=-1[/tex3]
[tex3]n=8[/tex3]

b)

[tex3]a_1=2^{7-n}=2^{7-8}=2^{-1}=0,5[/tex3]

[tex3]S_n=\frac{0,5\cdot(1-2^8)}{1-2}=127,5[/tex3]

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Problema 93

(FUVEST-2009) A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a

Sem título.png (13.82 KiB) Exibido 14845 vezes

a) [tex3]3\sqrt{3}[/tex3]
b) [tex3]2\sqrt{3}[/tex3]
c) [tex3]\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex3]
d) [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
e) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Resposta

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e

[PedroCunha]

Solução do problema 93

A área pedida é a soma de dois triângulo de base igual à metade do lado de um dos hexágonos menores e altura igual ao raio da circunferência circunscrita aos mesmos mais a área de um triângulo de base igual ao lado de um dos dos hexágonos menores e altura igual ao raio da circunferência circunscrita. Assim:

[tex3]S = 2 \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2}}{2} + \frac{1 \cdot \frac{\sqrt3}{2}}{2} \therefore S = \frac{\sqrt3}{4} + \frac{\sqrt3}{4} \Leftrightarrow S = \frac{\sqrt3}{2}[/tex3]

Alternativa e.

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Problema 94

(UNICAMP - 1990) Um ciclista pedala uma bicicleta com rodas de mesmo diâmetro e com distâncias entre os eixos de [tex3]1,20 m[/tex3]. Num determinado instante ele vira o guidão em [tex3]30^{\circ}[/tex3], e o mantém nesta posição para andar em círculo. Calcule os raios dos círculos descritos pelas rodas dianteira e traseira da bicicleta.

Resposta

---

[tex3]R_d = 2,40m, R_t = 1,20\sqrt3m[/tex3]

[csmarceloMOD]

Resolução do problema 94

Sem título.png (12.93 KiB) Exibido 14834 vezes

Os pontos [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] representam os eixos traseiro e dianteiro da bicicleta, respectivamente.

[tex3]\beta=180^\circ-(90^\circ+30^\circ)=60^\circ[/tex3]

Logo,

[tex3]AB=BC\cdot\tan60^\circ=1,2\sqrt{3}m[/tex3]

[tex3]AC=\frac{BC}{\cos60^\circ}=\frac{1,2}{\frac{1}{2}}=2,4m[/tex3]

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Problema 95

(FUVEST-2006) O conjunto dos pontos [tex3](x,y)[/tex3] do plano cartesiano que satisfazem [tex3]t^2-t-6=0[/tex3], onde [tex3]t=|x-y|[/tex3], consiste de

a) uma reta.
b) duas retas.
c) quatro retas.
d) uma parábola.
e) duas parábolas.

Resposta

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b

[poti]

Solução do problema 95

[tex3]t^2 - t - 6 = 0 \Rightarrow t = 3 \ \text{ou} \ t = -2[/tex3]

Usando os valores de [tex3]t[/tex3]:

[tex3]|x-y| = -2 \Rightarrow \text{Impossível}[/tex3]
[tex3]|x-y| = 3 \Rightarrow \begin{cases}
y = x - 3, \ x > y \\
y = x + 3, \ x < y
\end{cases}[/tex3]

Isso representa duas retas paralelas. Letra b.

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Problema 96

(Unicamp - 1994)

a) Se [tex3]a_1[/tex3] é um valor aproximado por excesso da raiz quadrada de um número inteiro [tex3]N > 1[/tex3], isto é, [tex3]a_1 > \sqrt{N}[/tex3], mostre que [tex3]N / a_1[/tex3] é valor aproximado por falta da mesma raiz, ou seja, [tex3]N / a_1 < \sqrt{N}[/tex3]
b) Mostre que a média aritmética [tex3]a_2[/tex3] entre [tex3]a_1[/tex3] e [tex3]N / a_1[/tex3] também é uma aproximação de [tex3]\sqrt{N}[/tex3] por excesso, ou seja, [tex3]a_2 - \sqrt{N} > 0[/tex3]
c) Mostre que [tex3]a_2[/tex3] é uma aproximação melhor do que [tex3]a_1[/tex3], isto é, [tex3]\sqrt{N} < a_2 < a_1[/tex3]

[cajuADMIN]

Solução do problema 96

a) Começamos com a desigualdade dada no enunciado:

[tex3]a_1>\sqrt{N}[/tex3]

Multiplicamos ambos os lados pelo número positivo [tex3]\frac{\sqrt N}{a_1}[/tex3] (sem perder a desigualdade):

[tex3]a_1\cdot \frac{\sqrt N}{a_1}>\sqrt{N}\cdot \frac{\sqrt N}{a_1}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\sqrt N>\frac{N}{a_1}}}[/tex3] Como queríamos demonstrar!!

b) Pela desigualdade das médias (média aritmética [tex3]\geq[/tex3] média geométrica) temos que:

[tex3]\frac{a_1+\frac{N}{a_1}}{2}\geq \sqrt{a_1\cdot\frac{N}{a_1}}[/tex3]

[tex3]a_2\geq \sqrt{N}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\boxed{a_2-\sqrt N\geq 0}}[/tex3] Como queríamos demonstrar!!!

c) Começamos pela definição da média aritmética:

[tex3]a_2 = \frac{a_1+\frac{N}{a_1}}{2}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\boxed{a_2=\frac{a_1^2+N}{2a_1}}\hspace{15pt}\color{red}\text{(I)}[/tex3]

Como sabemos que [tex3]a_1>\sqrt N[/tex3] e que [tex3]N>1[/tex3], podemos elevar ao quadrado e ter [tex3]a_1^2> N[/tex3]. Assim, vamos substituir [tex3]N[/tex3] por [tex3]a_1^2[/tex3] em (I) e tornar a igualdade em desigualdade:

[tex3]a_2<\frac{a_1^2+a_1^2}{2a_1}[/tex3]

[tex3]a_2<\frac{2a_1^2}{2a_1}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\boxed{a_2<a_1}[/tex3]

Temos de b) que [tex3]a_2>\sqrt N[/tex3], portanto, [tex3]\boxed{\boxed{\sqrt{N}<a_2<a_1}}[/tex3] Como queríamos demonstrar!!

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Problema 97

(UNICAMP - 1989) Mostre que, dentre os triângulos retângulos de mesma hipotenusa, o de maior perímetro é o triângulo isósceles.

[poti]

Solução do problema 97

Sem título.png (1.65 KiB) Exibido 14760 vezes

Seja [tex3]h[/tex3] a hipotenusa e [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] os catetos do triângulo. Então:

[tex3]\sen (\theta) = \frac{c_1}{h}, \ \cos(\theta) = \frac{c_2}{h}[/tex3]

Fazendo o produto das duas relações:

[tex3]\sen (\theta) \cdot \cos(\theta) = \frac{c_1 \cdot c_2}{h^2}[/tex3]

[tex3]\frac{\sen (2\theta)}{2} = \frac{1}{h^2} \cdot 2A_{\triangle}[/tex3]

[tex3]\sen (2\theta) = \frac{1}{h^2} \cdot 4A_{\triangle}[/tex3]

Vale lembrar que a área de um triângulo pode ser escrita em função do produto de seu semiperímetro com o raio da circunferência inscrita. Fazendo essa substituição conveniente:

[tex3]\sen (2\theta) = \frac{1}{h^2} \cdot 4p \cdot r[/tex3]

[tex3]\sen (2\theta) = \frac{2r}{h^2} \cdot 2p[/tex3]

[tex3]\frac{2r}{h^2}[/tex3] é constante, pois a circunferência inscrita é única e [tex3]h[/tex3] foi fixado pelo enunciado. Portanto, [tex3]2p[/tex3] está em função de [tex3]\theta[/tex3] e será máximo quando [tex3]\sen (2\theta)[/tex3] for máximo.

[tex3]\sen (2\theta) = 1 \Rightarrow \boxed{\theta = 45^{\circ}}[/tex3]

[tex3]\theta = 45^{\circ} \Rightarrow 90^{\circ} - \theta = 45^{\circ} \Rightarrow \ \text{o} \ \triangle \ \text{\'e is\'osceles, cqd}[/tex3]

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Problema 98

(Fuvest - 1998)
a) Expresse [tex3]\sen (3\alpha)[/tex3] em função de [tex3]\sen (\alpha)[/tex3]
b) Resolva [tex3]\sen (3\alpha)>2\sen (\alpha)[/tex3] para [tex3]0 < \alpha < 180^{\circ}[/tex3]

Resposta

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a) [tex3]3\sen (\alpha) - 4\sen^3(\alpha)[/tex3]
b) [tex3]0 < \alpha < 30^{\circ}[/tex3]

[PedroCunha]

Solução do problema 98

Letra a:

[tex3]\sen(3a) = \sen(2a+a) \therefore \sen(3a) = \sen 2a \cdot \cos a + \cos 2a \cdot \sen a \therefore \\\\ \sen(3a) = 2\sen a \cdot \cos^2a + (1 - 2\sen^2a) \cdot \sen a \therefore \\\\ \sen(3a) = 2\sen a \cdot (1-\sen^2a) + \sen a - 2\sen^3a \therefore \\\\ \Leftrightarrow \boxed{\boxed{\sen(3a) = -4\sen^3a + 3\sen a }}[/tex3]

Letra b:

[tex3]\sen(3a) > 2\sen a \therefore -4\sen^3a + \sen a > 0 \therefore \sen a \cdot (-4\sen^2a + 1) > 0[/tex3]

Para [tex3]0 < \alpha < 180^{\circ},\, \sen \alpha[/tex3] é sempre maior que zero. Assim, basta que [tex3]-4\sen^2a + 1[/tex3] também seja. Assim:

[tex3]-4\sen^2a + 1 > 0 \therefore \sen^2a < \frac{1}{4} \Leftrightarrow -\frac{1}{2} < \sen a < \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 < \sen a < \frac{1}{2} \\\\

\Leftrightarrow \boxed{\boxed{0 < a < \frac{\pi}{6} \text{ ou } \frac{5\pi}{6} < a < \pi}}[/tex3]

Gabarito incorreto.

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Problema 99

(FUVEST-1994) O valor de [tex3](\tan 10^{\circ}+\cot 10^{\circ}) \cdot \sen 20^{\circ}[/tex3] é:

a) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
b) [tex3]1[/tex3]
c) [tex3]2[/tex3]
d) [tex3]\frac{5}{2}[/tex3]
e) [tex3]4[/tex3]

Resposta

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Alternativa c

[csmarceloMOD]

Resolução do problema 99

[tex3]\tan^2\theta+1=\sec^2\theta[/tex3] é um corolário da lei fundamental da trigonometria

Seno do arco-duplo:

[tex3]\sen2\theta=2\sen\theta\cos\theta[/tex3]

Assim,

[tex3](\tan 10^{\circ}+\cot 10^{\circ}) \cdot \sen 20^{\circ}=[/tex3]
[tex3]=\left(\tan 10^{\circ}+\frac{1}{\tan 10^{\circ}}\right) \cdot \sen 20^{\circ}=[/tex3]
[tex3]=\left(\frac{\tan^210^{\circ}+1}{\tan 10^{\circ}}\right) \cdot \sen 20^{\circ}=[/tex3]
[tex3]=\frac{\cos10^\circ}{\sen10^\circ}\cdot\sec^210^\circ\cdot \sen 20^{\circ}=[/tex3]
[tex3]=\frac{\cancel{\cos10^\circ}}{\cancel{\sen10^\circ}}\cdot\frac{1}{\cancel{\cos^210^\circ}}\cdot 2\cdot\cancel{\sen 10^{\circ}}\cancel{\cos10^{\circ}}=[/tex3]
[tex3]=2[/tex3]

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Problema 100

(UNICAMP-1998) Dada a função [tex3]f(x)=\log_{10}\frac{2x+4}{3x}[/tex3], encontre:

a) O valor de [tex3]x[/tex3] para o qual [tex3]f(x)=1[/tex3].
b) Os valores de [tex3]x\in\mathbb{R}[/tex3] para os quais [tex3]f(x)[/tex3] é um número real menor que 1.

Resposta

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a)[tex3]\frac{1}{7}[/tex3]
b)[tex3]x<-2[/tex3] ou [tex3]x>\frac{1}{7}[/tex3]