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No gráfico seguinte estão representadas as funções f e g, definidas para todo x [tex3]\in [/tex3] [tex3]\mathbb{R}[/tex3]. Com base no gráfico, determine os valores de x para os quais:
a) f(x) > 0;
b) g(x) [tex3]\leq [/tex3] 0;
c) f(x) > g(x);
d) a função h(x) = f(x) [tex3]\cdot [/tex3] g(x) assume valores negativos;
e) a função p(x) = [tex3]\frac{f(x)}{g(x)}[/tex3] está definida;
f) a função q(x) = [tex3]\sqrt{2\cdot g(x)-3 }[/tex3].
Alguém pode me explicar passo a passo este exercício , por gentileza, pois com os conceitos abordados no livro mesmo revisando não conseguir resolver a questão. Alguém pode me indicar alguns videos ou materiais em pdf que explicam sobre os conceitos abordados nesse exercício para que eu possa reforçar nessa matéria, por gentileza.

no gráfico, os valores de [tex3]f(x)[/tex3] são os valores no eixo [tex3]y[/tex3] (eixo vertical, eixo das ordenadas) dados para cada valor de [tex3]x[/tex3] (eixo horizontal, das abscissas) para cada curva vermelha.

Para determinarmos o valor de [tex3]y[/tex3] de um certo [tex3]x_0[/tex3], traçamos uma reta vertical sobre o ponto [tex3]x_0[/tex3] e deixamos ela encontrar a curva [tex3]y = f(x)[/tex3] no ponto [tex3](x_0,f(x_0))[/tex3]. Esse encontro só pode ocorrer uma única vez, do contrário a relação [tex3]y= f(x)[/tex3] NÃO será uma função, será outro tipo de relação.

Aqui:
Sabemos, por exemplo, que [tex3]f(\frac12) = \frac 32 = g(\frac12)[/tex3], certo?

Veja que [tex3]f(-1) = 0[/tex3] e que para [tex3]x_0 >-1[/tex3], por exemplo [tex3]x_0 = 0[/tex3], temos que [tex3]f(x_0)[/tex3] está na parte positiva do eixo [tex3]y[/tex3], logo [tex3]f(x_0) > 0[/tex3] para [tex3]x_0 > -1[/tex3] (é óbvio que o gráfico está incompleto, aqui nós inferimos que será uma reta para os demais [tex3]x_0 > -1[/tex3]).

b-) é um raciocínio muito parecido com o anterior, veja que [tex3]g(2) = 0[/tex3] e que [tex3]x<2[/tex3] implica que [tex3]g(x) >0[/tex3]. Como estamos falando de retas, pode verificar que para [tex3]x>2[/tex3] tem-se que [tex3]g(x) < 0[/tex3].

c-) essa já fica mais interessante. Veja que [tex3]f(x) > g(x)[/tex3] é a mesma coisa que [tex3]f(x) - g(x) > 0[/tex3]. Então um jeito de verificar é perceber quando, para um certo [tex3]x_0[/tex3], [tex3]f(x_0) - g(x_0)>0[/tex3], ou seja, quando o gráfico de [tex3]f(x)[/tex3] está acima do de [tex3]g(x)[/tex3] para um certo [tex3]x_0[/tex3]. Isso acontece para valores acima de [tex3]x = \frac 12[/tex3].

d-) basta analisar quando [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3] têm sinais opostos para um dado [tex3]x_0[/tex3].

e-) funções do tipo [tex3]\frac{f(x)}{g(x)}[/tex3] só podem dar dois tipos de problema: quando [tex3]g(x_0) =0[/tex3], pois ai ocorre a divisão por zero; ou quando uma das funções não está definida num certo [tex3]x_0[/tex3], mas a outra está. O enunciado diz que as funções são definidas pra todo [tex3]x \in \mathbb R[/tex3], portanto o segundo tipo de erro não ocorre. Então a função está bem definida para todo [tex3]x[/tex3] real, exceto quando [tex3]g(x) = 0[/tex3], ou seja, exceto quando [tex3]x = 2[/tex3].

f-) basta que [tex3]2g(x) - 3 \geq 0[/tex3], ou seja, [tex3]g(x) \geq \frac 32[/tex3], ou seja, [tex3]x \leq \frac12[/tex3]