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Problema Proposto
18 - Sobre uma línha reta consideram-se os
pontos consecutivos A, B, C e D.
Se: m.AB.BD =n.CD.AC
Calcular "x", na seguinte expressão:
[tex3]\frac{n}{BD} -\frac{m}{AC} = \frac{x}{BC}[/tex3]

Notação

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Bem, eu já estava num ponto que estava tentando qualquer coisa, até que por fim, encontrei um caminho surpreendentemente simples. Eu não diria que é um ideia que eu teria logo de cara, afinal, eu não teria ela, logo, não diria que cheguei nelas de forma intuitiva.

Eu estava tentando simplificar a notação de alguma forma, até que achei semelhanças nas equações em uma das tentativas. Tomemos:

[tex3]\underbrace{A\,\,\,\,\,\leftarrow\rightarrow\,\,\,\,\,B\,\,\,\,\,\leftarrow\rightarrow\,\,\,\,\,C}_{p}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overbrace{\phantom{B\,\,\,\,\,\leftarrow\rightarrow\,\,\,\,\,C}\,\,\,\,\,\leftarrow\rightarrow\,\,\,\,\,D}^{q}[/tex3]


Também tomemos que [tex3]T=\overline{AD}[/tex3]


Transcrevendo as equações do enunciado, temos:

[tex3]m\cdot (T-q) \cdot q=n\cdot (T-p)\cdot p\\\boxed{m(Tq-q^2)=n(Tp-p^2)=y}[/tex3]

*Vou separar esse [tex3]y[/tex3] para mais tarde


E para a segunda:

[tex3]\frac{n}{q}-\frac{m}{p}=\frac{x}{(p+q-T)}[/tex3]




Resolvendo a equação

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Expandindo a segunda:

[tex3]\frac{n}{q}\cdot\frac{p}{p}-\frac{m}{p}\cdot\frac{q}{q}=\frac{x}{(p+q-T)}[/tex3]

[tex3]\frac{np-mq}{pq}=\frac{x}{(p+q-T)}[/tex3]

[tex3]({\color{Blue}np}-{\color{YellowOrange}mq}){\color{PineGreen}(p+q-T)}=xpq[/tex3]

[tex3]{\color{Blue}np}{\color{PineGreen}(p+q-T)}-{\color{YellowOrange}mq}{\color{PineGreen}(p+q-T)}=xpq[/tex3]

[tex3]n(p^2+pq-Tp)-m(pq+q^2-Tq)=xpq[/tex3]

[tex3]n(pq+p^2-Tp)-m(pq+q^2-Tq)=xpq[/tex3]


Note a similaridade das equações:

[tex3]\left\{\begin{matrix}{\color{PineGreen}m}({\color{PineGreen}Tq-q^2})={\color{Purple}n}({\color{Purple}Tp-p^2})=y\\{\color{Purple}n}(pq+{\color{Purple}p^2-Tp})-{\color{PineGreen}m}(pq+{\color{PineGreen}q^2-Tq})=xpq\end{matrix} \right.[/tex3]


É isso que iremos utilizar. Voltando as contas:

[tex3]n(pq+p^2-Tp){\color{YellowOrange}\,\,+\,\,y}\,-m(pq+q^2-Tq){\color{NavyBlue}\,\,-\,\,y}=xpq[/tex3]

[tex3]n(pq+p^2-Tp){\color{YellowOrange}\,\,+\,\,n(Tp-p^2)}\,-m(pq+q^2-Tq){\color{NavyBlue}\,\,-\,\,m(Tq-q^2)}=xpq[/tex3]

[tex3]n(pq+{\color{Red}\cancel{\color{Black}p^2-Tp}})+{\color{Red}\cancel{\color{Black}n(Tp-p^2)}}\,-m(pq+{\color{Red}\cancel{\color{Black}q^2-Tq}})-{\color{red}\cancel{\color{Black}m(Tq-q^2)}}=xpq[/tex3]

[tex3]n{\color{Red}\cancel{\color{Black}pq}}-m{\color{Red}\cancel{\color{Black}pq}}=x{\color{Red}\cancel{\color{Black}pq}}[/tex3]


[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{x=n-m}[/tex3]