Pré-Vestibular ⇒ (PUC-CAMP) Matriz Tópico resolvido

[edificadora]

No conjunto das matrizes nxm (n [tex3]\neq[/tex3] m), considere as seguintes afirmações:

I. Se A é uma matriz de M, sempre estará definindo o produto A.A.
II. Se A é uma matriz de M, a sua transposta não o será.
III. A soma de duas matrizes de M pode não pertencer a M.

Concluímos que:
a) somente II é verdadeira.
b) I e II são verdadeira.
c) todas são falsas.
d) somente I é falsa.
e) n.d.a.

[Natan]

Olá,

I-F

aqui basta apresentar um exemplo de um produto que não seja possível, mesmo que os elementos envolvidos sejam ambos do grapo M, por exemplo:

[tex3]A_{2x3}[/tex3] e [tex3]B=1x2.[/tex3] Ambas pertencem a M, visto que [tex3]n \neq m,[/tex3] porém o produto não é possível.

II-F

a única condição para que uma matriz pertença a M é que [tex3]n \neq m[/tex3] então peguemos uma matriz genérica desse conjunto: [tex3]X_{mxn},[/tex3] então sua transposta é [tex3]X^{t}_{nxm}.[/tex3] Se [tex3]X\, \in\, M[/tex3] então [tex3]m \neq n[/tex3] e a recíproca também é verdadeira.

III-F

impossível pois a soma só é possivel se ambas forem de mesma ordem [tex3]mxn,[/tex3] que obviamente irá gerar uma matriz de mesma ordem das somadas.

[edificadora]

oi Natan,

Gostaria que você me explicasse melhor a 1ª proposição.

(Não postei o gabarito por achar que ele estivesse errado: no gabarito consta que resposta certa é letra A.)

[Natan]

O cara disse que o conjunto [tex3]M[/tex3] é o conjunto das matrizes que tem número de linhas diferente do número de colunas certo?, ai na primeira proposição ele afirmou que se duas matrizes pertencem ao grupo [tex3]M[/tex3](ou seja satisfaz a condição que eu disse acima) então o produto deles é SEMPRE possível, o que não ocorre, como provar isso?, exibindo um caso que se emcaixe no que ele disse mas que não satisfaz o que ele afirmou, foi o que fiz: apresentei duas matrizes que tem número de linhas diferente do número de colunos, mas o produto não é definido.

Beleza então?, se sim bem, se não grite que eu to aqui..., valeu!

[edificadora]

Entendi! Valeu!!

[rataria10]

Com todo respeito ao Natan,mas o gabarito da minha apostila também bate letra A(somente a II é verdadeira).
Penso eu que o exercício define um conjunto M: n e m são números de linhas e colunas,respectivamente,desse conjunto.
Por exemplo:
n=2 e m=3 => M(aij)2x3(LEI DE FORMAÇÂO DO CONJUNTO M)
Um exemplo de matriz que [tex3]\in [/tex3] M é a matriz X(uma matriz qualquer)
X(bij)2x3=> XT(transposta de X) vai ser 3x2;
Logo 3x2 [tex3]\notin [/tex3] a M.

Obs.: aij e bij são elementos quaisquer .

Se eu estiver errado,corrija-me .