Física III ⇒ Rumo ao ITA - Eletroestática Campo Elétrico e Lei de Gaus Tópico resolvido

[LostWalker]

O campo elétrico na atmosfera da superfície da Terra é de aproximadamente 200 v/m, dirigido para baixo. A 1400 m acima da superfície da Terra, o campo elétrico na atmosfera é de somente 20 v/m, novamente dirigido para baixo. Qual é a densidade média da carga na atmosfera abaixo de 1400 m? Esta consiste predominantemente de íons positivos ou negativos?

Resposta

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[tex3]+ 1.14\cdot 10^{–12}\,C\!/m^3[/tex3]

(Procurei a origem da questão para um título mais definido, infelizmente não encontrei)

[joaopcarvMOD]

É uma aplicação da Lei de Gauss.

Considere uma coluna atmosférica eletricamente carregada. A superfície gaussiana que melhor se ajusta a essa coluna é um prisma. Seja então [tex3]\mathsf{A}[/tex3] a área da base desse prisma gaussiano e sua altura [tex3]\mathsf{h \ = \ 1400 \ m}[/tex3], já que iremos englobar, nesse prisma, toda a suposta nuvem de cargas atmosféricas entre a superfície e a altitude de [tex3]\mathsf{1400 \ m.}[/tex3]

Faremos algumas considerações:

[tex3]\bullet \ \mathsf{\epsilon_{(ar)} \ \approx \ 8,85 \ \cdot 10^{-12} \ \dfrac{F}{m}}[/tex3] é a permissividade elétrica do ar;

[tex3]\bullet[/tex3] Os únicos campos presentes são o de [tex3]\mathsf{20 \ \dfrac{V}{m}}[/tex3] e o de [tex3]\mathsf{200 \ \dfrac{V}{m}}[/tex3] do enunciado, de forma que não haverá fluxo elétrico nas superfícies laterais do prisma;

[tex3]\bullet[/tex3] O prisma englobará uma região com densidade média de cargas [tex3]\mathsf{\rho_{_m}}[/tex3].

Calculando o fluxo elétrico no prisma, considerando a orientação exterior nas bases (ou seja, campos entrando no prisma provocam fluxo negativo e saindo, fluxo positivo), e usando a Lei de Gauss:

[tex3]\mathsf{\Phi_{(prisma)} \ = \ \dfrac{Q_{(int)}}{\epsilon_{(ar)}}}[/tex3]

O campo superficial da Terra sai do prisma e o campo a [tex3]\mathsf{1400 \ m}[/tex3] entra no mesmo. Além disso, a densidade de cargas é volumétrica, de forma que [tex3]\mathsf{Q_{(int)} \ = \ \rho_{m} \cdot V}[/tex3], em que [tex3]\mathsf{V \ = \ A \cdot h.}[/tex3] Fazendo essas atribuições:

[tex3]\mathsf{200 \cdot \cancel{A} \ - \ 20 \cdot \cancel{A} \ = \ \dfrac{\rho_{m} \cdot \overbrace{h}^{= \ 1400 \ m} \cdot \cancel{A}}{\underbrace{\epsilon_{(ar)}}_{\approx\ 8,85 \cdot 10^{-12} \ \frac{F}{m}}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\rho_{m} \ = \ \dfrac{180}{1400} \cdot 8,85 \cdot 10^{-12}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\rho_{m} \ \approx \ \ + \ 1,137 \cdot 10 ^{-12} \ \dfrac{C}{m^3}}}}[/tex3]

O sinal é positivo porque o fluxo elétrico na base inferior da gaussiana é positivo e muito maior (em módulo) do que o fluxo negativo que entra na gaussiana pela base superior. Então, supõe-se que há predomínio de cargas elétricas positivas nessa região da atmosfera, tanto que, em média, é como se considerássemos que há uma densidade uniforme e positiva de cargas elétricas na região.