Ensino Superior ⇒ Apostol - Álgebra Linear I Tópico resolvido

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O teorema de geometria enunciado a seguir sugere uma identidade vetorial relativa a três vetores A, B eC. Dizer qual é a identidade e provar que se verifica para vetores de Vn. Tal identidade proporciona uma demonstração do teorema por métodos vetoriais.

"A soma dos quadrados dos lados de um quadrilátero qualquer excede a soma dos quadrados das diagonais em quatro vezes o quadrado do comprimento do segmento de reta que une os pontos médios das diagonais."

OBS: Vn é um n-espaço.

[Cardoso1979]

Hummmm ...Deixa eu ver aqui... Essa vou precisar de tomar uns negócio aqui para eu poder expandir a minha mente

[Cardoso1979]

Observe

Prova:

Soma dos quadrados dos lados = A² + ( C - A )^2 + ( C - B )^2 + B² = A² + C² - 2AC + A² + C² - 2CB + B² + B²

soma dos quadrados das diagonais = C² + ( A - B )^2 = C² + A² - 2AB + B²

quatro vezes o quadrado do comprimento do segmento de reta que une os pontos médios das diagonais = 4.[tex3]\left[\frac{C}{2} - \left(\frac{A + B}{2}\right)\right]^2[/tex3] = C² - 2C( A + B ) + A² + 2AB + B².

Então, se tomarmos a soma dos quadrados dos lados - soma dos quadrados das diagonais = quatro vezes o quadrado do comprimento do segmento de reta que une os pontos médios das diagonais, logo obtemos a igualdade desejada. C.q.p. quero nem saber meu amigo é C.q.p..



Excelente estudo!