Ensino Médio ⇒ Perímetro maximo de um triângulo retângulo Tópico resolvido

[geobson]

A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10cm . Determine os comprimentos dos catetos de modo que o triângulo tenha o menor perímetro possível.

Resposta

---

5 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] e 5 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

[FelipeMartinMOD]

Chame um dos catetos de [tex3]x[/tex3], o perímetro de [tex3]f(x)[/tex3]. Encontre [tex3]f[/tex3].

[geobson]

Sendo p= perímetro , x e y os catetos .
Daí calculamos o perímetro :
P= 10 + x + [tex3]\sqrt{100- x^{2}}[/tex3]
Não lembro mais como deriva essa expressão para encontrar x .
E outro detalhe , será que da pra resolver só por função quadrática , já que derivadas não é cobrado no ensino médio?

[FelipeMartinMOD]

Tem sim. Faça por trigonometria. Chame um dos ângulos do triângulo de [tex3]\alpha[/tex3] e encontre [tex3]f(\alpha)[/tex3] em vez de [tex3]f(x)[/tex3].

[geobson]

FelipeMartin, mas , a título de curiosidade, como fica a deriva do perímetro mesmo?

[FelipeMartinMOD]

geobson, excelente pergunta! Derivada costumava ter no ensino médio antes da absoluta decadência do sistema de ensino.

[tex3]f(x) = 10 + x + \sqrt{100-x^2}[/tex3]

primeiro, a gente usa que a derivada é um operador linear, ou seja:

[tex3]f(x) = Ag(x) + Bh(x) \implies f'(x) = Ag'(x) + Bh'(x)[/tex3]

no caso:

[tex3]f'(x) = (10+x)' + (\sqrt{100-x^2})'[/tex3]

a derivada de [tex3]10+x[/tex3] é simplesmente [tex3]1[/tex3]

[tex3]f'(x) = 1 + (\sqrt{100-x^2})'[/tex3]

a derivada de [tex3]\sqrt{100-x^2}[/tex3] a gente usa a regra da cadeia:

[tex3][f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)[/tex3] com [tex3]f(x) = \sqrt{x}[/tex3] e [tex3]g(x) = 100-x^2[/tex3]

a derivada de [tex3]\sqrt x = x^{\frac12}[/tex3] é [tex3]\frac12 x^{-\frac12} = \frac1{2\sqrt{x}}[/tex3]

a derivada de [tex3]100-x^2[/tex3] é [tex3]-2x[/tex3]

[tex3][\sqrt{100-x^2}' = \frac1{2\sqrt{100-x^2}} \cdot -2x[/tex3]

você fica com:

[tex3]f'(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{100-x^2}}[/tex3]

dai é só igualar a zero.

[geobson]

geobson, excelente pergunta! Derivada costumava ter no ensino médio antes da absoluta decadência do sistema de ensino.

[tex3]f(x) = 10 + x + \sqrt{100-x^2}[/tex3]

primeiro, a gente usa que a derivada é um operador linear, ou seja:

[tex3]f(x) = Ag(x) + Bh(x) \implies f'(x) = Ag'(x) + Bh'(x)[/tex3]

no caso:

[tex3]f'(x) = (10+x)' + (\sqrt{100-x^2})'[/tex3]

a derivada de [tex3]10+x[/tex3] é simplesmente [tex3]1[/tex3]

[tex3]f'(x) = 1 + (\sqrt{100-x^2})'[/tex3]

a derivada de [tex3]\sqrt{100-x^2}[/tex3] a gente usa a regra da cadeia:

[tex3][f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)[/tex3] com [tex3]f(x) = \sqrt{x}[/tex3] e [tex3]g(x) = 100-x^2[/tex3]

a derivada de [tex3]\sqrt x = x^{\frac12}[/tex3] é [tex3]\frac12 x^{-\frac12} = \frac1{2\sqrt{x}}[/tex3]

a derivada de [tex3]100-x^2[/tex3] é [tex3]-2x[/tex3]

[tex3][\sqrt{100-x^2}' = \frac1{2\sqrt{100-x^2}} \cdot -2x[/tex3]

você fica com:

[tex3]f'(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{100-x^2}}[/tex3]

dai é só igualar a zero.

Ah sim....a regra da cadeia .....vi isso em 2005 he he .......tenho de dar uma revisada em câlculo...

[FelipeMartinMOD]

[tex3]10+10 \cos(x) + 10 \sen (x) = 10 + 10\sqrt2 \sen(x+45^{\circ})[/tex3]

só um adendo, você calculou o perímetro máximo. Não existe um perímetro mínimo, só um limite do perímetro tendendo a 20

[geobson]

FelipeMartin, e se a pergunta fosse :calcule seus catetos para que sua área seja máxima ?

[FelipeMartinMOD]

geobson, faça por trigonometria. Como seria a expressão da área em função do ângulo [tex3]x[/tex3]?