Ensino Médio ⇒ Construção Círculos de Soddy

[FelipeMartinMOD]

Dados três círculos [tex3]\gamma_A,\gamma_B[/tex3] e [tex3]\gamma_C[/tex3] tangentes exteriormente entre si dois a dois. Chamam-se círculos de Soddy os círculos tangentes simultaneamente a [tex3]\gamma_A, \gamma_B[/tex3] e [tex3]\gamma_C[/tex3].

De forma equivalente, dado um [tex3]\triangle ABC[/tex3] cujo incírculo seja [tex3]\omega[/tex3] e [tex3]D = \omega \cap BC, E = \omega \cap AC[/tex3] e [tex3]F = \omega \cap AB[/tex3], os círculos de Soddy do [tex3]\triangle ABC[/tex3] são os dois círculos simultaneamente tangentes a [tex3]\gamma_A = \odot (A,AF),\gamma_B = \odot (B,BD)[/tex3] e [tex3]\gamma_C = \odot (C,CE)[/tex3].

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Construção: Seja [tex3]K = EF \cap CB[/tex3] e sejam [tex3]\{X_1, X_2 \} = \odot (K,KD) \cap \gamma_A[/tex3].
Seja [tex3]L = ED \cap AB[/tex3] e sejam [tex3]\{Z_1,Z_2\} = \odot (L,LF) \cap \gamma_C[/tex3].
Sendo [tex3]o_1 = AX_1 \cap CZ_1[/tex3], o primeiro círculo de Soddy é [tex3]S_1 = \odot(o_1,o_1X_1)[/tex3]
Sendo [tex3]o_2 = AX_2 \cap CZ_2[/tex3], o segundo círculo de Soddy é [tex3]S_2 = \odot(o_2,o_2X_2)[/tex3]

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Prova: As retas [tex3]AD,BE[/tex3] e [tex3]CF[/tex3] concorrem no ponto de Gergonne do [tex3]\triangle ABC[/tex3]. Podemos enxergar o quadrilátero [tex3]BCEF[/tex3] à luz do item 1 da página de razão anarmônica 2 como se ele fosse o [tex3]ADPS[/tex3], de forma que [tex3]\mathcal H (K,D;B,C)[/tex3].

Veja porém que o [tex3]\triangle Bo_1C[/tex3] é tal que seu incírculo tangencia necessariamente os lados [tex3]o_1C[/tex3] em [tex3]Z_1[/tex3], [tex3]o_1B[/tex3] em [tex3]Y_1 = S_1 \cap \gamma_B[/tex3] e [tex3]BC[/tex3] em [tex3]D[/tex3]. Analogamente, podemos usar o ponto de Gergonne do [tex3]\triangle Bo_1C[/tex3] para inferir que a reta [tex3]Z_1Y_1[/tex3] passa por [tex3]K[/tex3], o conjugado harmônico de [tex3]D[/tex3] em relação a [tex3]BC[/tex3], como feito acima.

Por fim: veja que o círculo [tex3]\Omega_A = \odot (K,KD)[/tex3] é ortogonal ao incírculo [tex3]\omega[/tex3] do [tex3]\triangle ABC[/tex3] pois seu centro [tex3]K[/tex3] está sobre a reta tangente a [tex3]\omega[/tex3] em [tex3]D[/tex3]. Como [tex3]K \in EF[/tex3] e [tex3]EF[/tex3] é o eixo radical entre [tex3]\omega[/tex3] e [tex3]\gamma_A[/tex3], então, [tex3]\Omega_A[/tex3] é necessariamente ortogonal a [tex3]\gamma_A[/tex3]. Logo, o ponto [tex3]X_1[/tex3] está sobre uma reta tangente a [tex3]\gamma_A[/tex3] pelo ponto [tex3]K[/tex3]. Analogamente, [tex3]\Omega_A[/tex3] é ortogonal ao incírculo do [tex3]\triangle Bo_1C[/tex3] e a [tex3]S_1[/tex3]. Mas como [tex3]S_1[/tex3] é tangente a [tex3]\gamma_A[/tex3], o eixo radical entre ambos é a reta tangente comum pelo ponto de contato, a qual deverá passar por [tex3]K[/tex3], logo, deve ser a reta [tex3]KX_1[/tex3], portanto [tex3]X_1 = S_1 \cap \gamma_A[/tex3].

Creio que o resto da construção seja trivial.

Os raios dos círculos de Soddy são dados pelo teorema de Descartes