Ensino Médio ⇒ (SAS 2022) - Análise Combinatória Tópico resolvido

[nathaalia]

Vinte e uma medalhas, o maior número já obtido pelo Brasil em Jogos Olímpicos. Foi esse o saldo dos jogos de Tóquio. Das 21 medalhas dessa edição dos Jogos Olímpicos, sete foram de ouro, seis de prata e oito de bronze, o que garantiu ao Brasil a 12a colocação no ranking de países. Elas foram alcançadas em 13 modalidades. Nos jogos anteriores, no Rio 2016, o Brasil somou 19 medalhas e ficou na 13a colocação.
Disponível em: https://www.gov.br. Acesso em: 12 out. 2021.

Suponha que o aumento no quadro de medalhas brasileiro se mantenha constante nos próximos Jogos Olímpicos de Verão, que ocorrem a cada 4 anos. De quantas formas distintas poderão ser distribuídas as medalhas em 2024, sendo, no mínimo, 5 de ouro, 4 de prata e 4 de bronze?

A) 3
B) 66
C) 120
D) 300
E) 1 771

Resposta

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B

[joaopcarvMOD]

Existe uma técnica gráfica na combinatória muito prática que resolve esse tipo de problema.

É dito que o aumento no número de medalhas é constante de Olimpíada para Olimpíada, então, se em [tex3]\mathsf{2016}[/tex3] o Brasil conquistou [tex3]\mathsf{19}[/tex3] medalhas e em [tex3]\mathsf{2020}[/tex3] foram [tex3]\mathsf{21}[/tex3] medalhas, supostamente, em [tex3]\mathsf{2024}[/tex3], o Brasil conquistará [tex3]\mathsf{23}[/tex3] medalhas no total.

A restrição impõe que pelo menos serão [tex3]\mathsf{5}[/tex3] de ouro e [tex3]\mathsf{4}[/tex3] de prata e de bronze. Então vamos já entregar essas medalhas aos campos designados, satisfazendo esse critério mínimo. Note que essa imposição não gera efeito combinatório, porque estamos entregando as medalhas manualmente, conforme a restrição.

Sobram então [tex3]\mathsf{23 \ - \ 5 \ - \ 4 \ - \ 4 \ = \ 13}[/tex3] medalhas livres que serão distribuídas aleatoriamente dentre ouro, prata e bronze.

Vamos então usar a técnica gráfica, sendo [tex3]\bigcirc[/tex3] as medalhas e [tex3]|[/tex3] os espaçamentos entre os campos ouro, prata e bronze, ou seja:

[tex3]\mathsf{\underbrace{...}_{ouro} \ | \ \underbrace{...}_{prata} \ | \ \underbrace{...}_{bronze}}[/tex3]

Dentre os [tex3]\mathsf{(...)}[/tex3] vamos distribuir [tex3]\mathsf{10 \ \bigcirc}[/tex3] livremente, como por exemplo:

[tex3]\mathsf{\bigcirc \ | \ \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \ | \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc}[/tex3]

E assim por diante. Temos várias possibilidades, pois isso é uma permutação de [tex3]\mathsf{12}[/tex3] elementos com [tex3]\mathsf{10 \ \bigcirc}[/tex3] repetidos (medalhas) e dois [tex3]|[/tex3] repetidos (separadores entre ouro e prata e prata e bronze).

O problema resume-se a calcular a permutação de [tex3]\mathsf{12}[/tex3] elementos com [tex3]\mathsf{10}[/tex3] repetidos e [tex3]\mathsf{2}[/tex3] repetidos:

[tex3]\mathsf{T \ = \ P^{^{(12)}}_{_{(10, 2)}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{T \ = \ \dfrac{12!}{10! \cdot 2!}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{T \ = \ \dfrac{12 \cdot 11 \cdot \cancel{10!}}{\cancel{10!} \cdot 2}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{T \ = \ 66 \ possibilidades \ totais}}[/tex3]

[nathaalia]

Não saquei que dava para responder por combinação com repetição, muito obrigada!!