Ensino Superior ⇒ verifique se é tranformação linear Tópico resolvido

[thetruth]

f : R2 → R2, definida por f(x, y) = (x + y, x − y);

[Loreto]

Olá!
Você quer dizer transformação linear?

[thetruth]

Olá!
Você quer dizer transformação linear?

isso!

[Loreto]

É preciso mostrar válida duas propriedades:

1) T([tex3]\alpha v[/tex3]) = [tex3]\alpha T(v)[/tex3] ; v [tex3]\in \mathbb{R}^2 [/tex3] [tex3]\alpha [/tex3] escalar.

2) T([tex3]u + v) = T(u) + T(v)[/tex3] ; [tex3]u, v \in \mathbb{R}^2[/tex3]



Observo ser válida a afimação.

[thetruth]

É preciso mostrar válida duas propriedades:

1) T([tex3]\alpha v[/tex3]) = [tex3]\alpha T(v)[/tex3] ; v [tex3]\in \mathbb{R}^2 [/tex3] [tex3]\alpha [/tex3] escalar.

2) T([tex3]u + v) = T(u) + T(v)[/tex3] ; [tex3]u, v \in \mathbb{R}^2[/tex3]



Observo ser válida a afimação.

poderia resolver essa questão para mim? cheguei numa solução mas não sei se está correto

[Loreto]

Olá,
Posso ler sua resolução, se puder anexar aqui no fórum sua solução. Com mais tempo eu escrevo a minha solução e envio aqui se preferir.

[thetruth]

Olá,
Posso ler sua resolução, se puder anexar aqui no fórum sua solução. Com mais tempo eu escrevo a minha solução e envio aqui se preferir.

eis minha solução

u(x1, y1)
v(x2, y2)

t(u) = (x1+y1, x1-y1)
t(v) = (x2+y2, x2-y2)

t(u)+t(v) = (x1+x2+y1+y2, x1+x2-(y1+y2))

u+v = (x1+x2, y1+y2)

t(u+v) = (x1+x2+y1+y2, x1+x2-(y1+y2))

t(u) + t(v) = t(u+v)


[tex3]t(\alpha u)\ =t(\alpha x,\ \alpha y) [/tex3]

[tex3](\alpha x+\alpha y,\ \alpha x - \alpha y)[/tex3]
[tex3]\alpha (x+y,\ x-y)[/tex3]

então podemos afirmar que é TF



gostaria de saber se a solução está correta

[Loreto]

Olá @thetruth,

Acredito que a sua prova de T([tex3]\alpha x) = \alpha T(x)[/tex3] esteja correta. O outro item ficou um pouco diferente.

Minha solução:

1.) T([tex3]\alpha v) = \alpha T(v)[/tex3] ; [tex3]\alpha[/tex3] escalar e [tex3]v \in \mathbb{R^2}[/tex3]

[tex3]T(\alpha (x,y)) =T(\alpha x,\alpha y) = (\alpha x + \alpha y , \alpha x - \alpha y) = \alpha ( x+y, x-y) = \alpha T(x,y)[/tex3]

2.) [tex3]T(u + v) = T(u) + T(v); u, v \in \mathbb{R^2}[/tex3]

Seja

[tex3]
u = (x1,y1)[/tex3]
[tex3]v = (x2, y2)[/tex3]
[tex3]
T(u+v) = T((x1, y1) + (x2, y2))= T((x1 + x2) , (y1 + y2)) = (x1+ x2) + (y1 + y2) ,(x1+x2) - (y1 + y2)[/tex3]

[tex3]=(x1 + y1, x1 - y1) + (x2+y2 , x2 - y2) = T(x1, y1) + T(x2, y2)[/tex3]

Portanto, podemos afirmar que a expressão é uma transformação linear.