Pré-Vestibular ⇒ (UFSCar - SP) Polinômios Tópico resolvido

[Presa]

Seja f(x) = a₀ + a₁x + ... + a_n-1x^n-1 + xⁿ uma função polinomial de coeficientes inteiros a₀ , a₁ , ... ,a_n-1 , 1 e grau n [tex3]\geq [/tex3] 2.
Sabendo -se que um número natural não nulo m é uma raiz dupla de f, pode-se afirmar que :

A) f não pode possuir raiz inteira negativa, pois o coeficiente dominante de f é igual a 1.
B) m é sempre divisor de a₀ e a₁
C) m sempre divide a soma dos coeficientes de f
D) m é necessariamente um divisor da soma dos coeficientes de f
E) m² não pode dividir o produto dos coeficientes de f

Resposta

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Gab : Letra B

[JigsawMOD]

Ressuscitando Tópico de 2022 sem resolução caso alguém queira se manifestar a respeito.

[Maifa]

Como m é raiz dupla de f(x), podemos escrever f(x) como:

[tex3]f(x) = (x-m)^2 . h(x) [/tex3]

[tex3]f(x) = (x^2 -2mx + m^2).h(x) [/tex3]

Agora note, o termo independente de f(x) vem do produto entre o termo indepentente da expansão de (x-m)^2 e de h(x), ou seja

[tex3]a_{0} = m^2 . b_{0}[/tex3], tal que [tex3]b_{0}[/tex3] é o termo independente de h(x). Assim, como todos coeficientes são inteiros, m é sempre divisor de [tex3]a_{0}[/tex3].

De maneira análoga, o termo [tex3]a_{1}x[/tex3] surge do produto dos termos -2mx e [tex3]b_{1}x[/tex3].