Ensino Superior ⇒ Cálculo 1 - Máximo e Mínimo Tópico resolvido

[Idocrase]

A função [tex3]f(x)=x^4-2x^2-36[/tex3] possui ponto de máximo e mínimo global? Justifique.

Eu encontrei que os pontos críticos da função são (0,-36), (1,-37) e (-1,-37). Mas eu ainda não sei identificar quando o ponto é ponto de máximo local ou global ou quando o ponto é ponto de mínimo local ou global, qual a diferença?

[LostWalker]

Global e Local

---

A diferença é que, quando é Global, ele se remete a TODA A FUNÇÃO, já os locais, são apenas esses pontos de virada, quando a curva muda a direção (subir/descer). Por exemplo, ele quer apenas os Globais. Vemos que a função possui coeficiente positivo:

[tex3]f(x)={\color{Red}+}\,x^4-2x^2-35[/tex3]


E é uma função de grau par, ou seja, nos extremos de infinito ou menos infinito, a equação vai infinitamente para cima, logo, não existe Máximo Global. Entretanto, existirá Mínimo Global, e dele iremos atrás:




Encontrando os Máximos e Mínimos

---

Bem, o Mínimo Global será aquele que for o menor valor entre os mínimos, obrigatoriamente. Para calcularmos os máximo e mínimos, derivamos a função:

[tex3]f(x)=x^4-2x^2-35[/tex3]

[tex3]f'(x)=4x^3-4x[/tex3]


Precisamos então igualar a [tex3]0[/tex3] e temos:

[tex3]0={\color{Red}\cancel{\color{Black}4}}x^3-{\color{Red}\cancel{\color{Black}4}}x[/tex3]

[tex3]0=x^3-x[/tex3]

[tex3]0=x(x^2-1)[/tex3]


Assim, intuitivamente, para zerar a equação:

[tex3]0=\underbrace{x}_{x=0}\cdot\underbrace{(x^2-1)}_{x=\pm1}[/tex3]


Substituindo isso na Função, temos :

[tex3]\cases{f(-1)=-37\\f(0)=-36\\f(1)=-37}[/tex3]




Questionando a Teoria

---

Aqui temos uma exceção. Temos dois valores que atingem o ponto mais baixo. Segundo a definição, um Mínimo Global (para essa função que [tex3]x\in\mathbb{R}[/tex3]), teríamos:

[tex3]x\in\{\mathbb{R}-c\}~~|~~f(x)>M,~~f(c)=M[/tex3]


E [tex3]c[/tex3] é uma variável única, ou seja, como temos dois valores que atingiriam esse ponto mínimo, ele não pode ser Global, concluímos assim que essa função não possui máximo ou mínimo global. Entretanto, ainda podemos dizer que todos são pontos locais, sendo [tex3]f(1),f(-1)[/tex3] mínimos locais e [tex3]f(0)[/tex3] um máximo local.

[Idocrase]

Global e Local

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A diferença é que, quando é Global, ele se remete a TODA A FUNÇÃO, já os locais, são apenas esses pontos de virada, quando a curva muda a direção (subir/descer). Por exemplo, ele quer apenas os Globais. Vemos que a função possui coeficiente positivo:

[tex3]f(x)={\color{Red}+}\,x^4-2x^2-35[/tex3]


E é uma função de grau par, ou seja, nos extremos de infinito ou menos infinito, a equação vai infinitamente para cima, logo, não existe Máximo Global. Entretanto, existirá Mínimo Global, e dele iremos atrás:




Encontrando os Máximos e Mínimos

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Bem, o Mínimo Global será aquele que for o menor valor entre os mínimos, obrigatoriamente. Para calcularmos os máximo e mínimos, derivamos a função:

[tex3]f(x)=x^4-2x^2-35[/tex3]

[tex3]f'(x)=4x^3-4x[/tex3]


Precisamos então igualar a [tex3]0[/tex3] e temos:

[tex3]0={\color{Red}\cancel{\color{Black}4}}x^3-{\color{Red}\cancel{\color{Black}4}}x[/tex3]

[tex3]0=x^3-x[/tex3]

[tex3]0=x(x^2-1)[/tex3]


Assim, intuitivamente, para zerar a equação:

[tex3]0=\underbrace{x}_{x=0}\cdot\underbrace{(x^2-1)}_{x=\pm1}[/tex3]


Substituindo isso na Função, temos :

[tex3]\cases{f(-1)=-37\\f(0)=-36\\f(1)=-37}[/tex3]




Questionando a Teoria

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Aqui temos uma exceção. Temos dois valores que atingem o ponto mais baixo. Segundo a definição, um Mínimo Global (para essa função que [tex3]x\in\mathbb{R}[/tex3]), teríamos:

[tex3]x\in\{\mathbb{R}-c\}~~|~~f(x)>M,~~f(c)=M[/tex3]


E [tex3]c[/tex3] é uma variável única, ou seja, como temos dois valores que atingiriam esse ponto mínimo, ele não pode ser Global, concluímos assim que essa função não possui máximo ou mínimo global. Entretanto, ainda podemos dizer que todos são pontos locais, sendo [tex3]f(1),f(-1)[/tex3] mínimos locais e [tex3]f(0)[/tex3] um máximo local.

Entendi, muito obrigado