Ensino Médio ⇒ Incírculo Mixtilinear Tópico resolvido

[Babi123]

O círculo em verde é o [tex3]A-incírculo \ Mixtilinear [/tex3], [tex3]T[/tex3], [tex3]U[/tex3] são pontos de tangência, [tex3]AT=AU=t[/tex3]. [tex3]BC=a, CA=b[/tex3] e [tex3]AB=c[/tex3]. Prove que [tex3]t=\frac{2bc}{a+b+c}[/tex3] e [tex3]r_v=\frac{bc}{p}\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}[/tex3]. (Nota: [tex3]r_v=raio \ do \ círculo \ em \ verde[/tex3] e [tex3]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex3]).

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Autor : Angel Silva Palacios

[FelipeMartinMOD]

Sabemos do item 2 daqui que [tex3]TU[/tex3] é perpendicular à bissetriz interna do [tex3]\triangle ABC[/tex3] pelo vértice [tex3]A[/tex3] e que o incentro [tex3]I[/tex3] do [tex3]\triangle ABC[/tex3] é ponto médio de [tex3]TU[/tex3].

Logo, [tex3]AU \cdot \cos (\frac{A}2) = AI[/tex3]

usamos a relação clássica:

[tex3]\sen (\frac A2) = \frac{r}{AI}[/tex3]

[tex3]AU = \frac{r}{ \sen (\frac A2)\cos (\frac A2)} = \frac{2r}{\sen(A)}[/tex3]

[tex3]AU = \frac{2pr}{p\sen(A)} = \frac{2S}{p \sen (A)} = \frac{abc}{2Rp \sen (A)} = \frac {bc}p = \frac{2bc}{a+b+c}[/tex3]

faltou a expressão do rv né? Ela está no tópico de incírculo mixtilinear, mas dá pra fazer fácil pensando na homotetia do incírculo normal e do incírculo mixtilinear. O centro dessa homotetia é o ponto A e a razão é [tex3]\frac{r_v}r = \frac{AU}{p-a} = \frac{bc}{p(p-a)}[/tex3]

então:

[tex3]r_v = r \cdot \frac{bc}{p(p-a)} = \frac{Sbc}{p^2(p-a)} = bc \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p^2(p-a)}[/tex3]

que dá o seu gabarito!

[Babi123]

Seria bom os adms colocarem esses tópicos de incírculo Mixtilinear na parte de demonstração.

[Babi123]

Teorema de Casey (considerando os pontos A,B e C como circunferências de raio zero):
[tex3]AU\cdot BC=UC\cdot AB+TB\cdot AC\\ at=(b-t)c+(c-t)b\\
at=bc-ct+bc -bt\\
at+bt+ct=2bc\\
t(a+b+c)=2bc\\
t=\frac{2bc}{a+b+c}[/tex3]


FelipeMartin

[FelipeMartinMOD]

Babi123, por que deletaste a tua mensagem? Ela me parece correta; se quiseres, eu a restauro.

[Babi123]

Babi123, por que deletaste a tua mensagem? Ela me parece correta; se quiseres, eu a restauro.

Foi erro. Pode restaurar
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[geobson]

Realmente ! Está correto!