IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2023) Geometria Espacial Tópico resolvido

[gouy]

Seja o cubo [tex3]ABCDEFGH[/tex3] de aresta [tex3]2\ cm[/tex3] e [tex3]I[/tex3], [tex3]J[/tex3] e [tex3]K[/tex3] pontos médios das arestas [tex3]EH[/tex3], [tex3]DH[/tex3] e [tex3]AB[/tex3], respectivamente.

O volume da pirâmide [tex3]GIJK[/tex3], em [tex3]cm^3[/tex3], é igual a:

cubo10.png (38.72 KiB) Exibido 1650 vezes

A) [tex3]7/6[/tex3]
B) [tex3]3/2[/tex3]
C) [tex3]5/4[/tex3]
D) [tex3]11/8[/tex3]
E) [tex3]13/12[/tex3]

Resposta

---

A

Vi uma resolução dessa questão por R3, mas queria entender por geometria espacial também. Alguém ajuda? Por favor!

[petrasMOD]

gouy,

fig1.jpg (25.47 KiB) Exibido 1644 vezes

[tex3]\mathtt{
Base_p:\triangle GIJ\\
\triangle GHJ: GJ^2=1^2+2^2\implies GJ= \sqrt5\\
\triangle GIH: GI^2=1^2+2^2 \implies GI=\sqrt5\\
\triangle HIJ: IJ^2=1^2+1^2 \implies IJ = \sqrt2\\
h_{\triangle {GIJ}}: h^2= \sqrt5^2-(\frac{\sqrt2}{2})^2\implies h = \frac{3\sqrt2}{2} \\
\therefore S_{\triangle {GIJ}}=\frac{1}{2}.\frac{3\sqrt2}{2}.\sqrt2=\underline {\frac{3}{2}}\\
H_p=KM\\
\triangle AKD:KD = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt5 \\
\triangle KDJ: KJ=\sqrt{1^2+\sqrt5^2}=\sqrt6\\
\triangle KHD: KH^2= \sqrt{2^2+\sqrt5^2}=3\\
\triangle JMH: Sendo~MH=x\implies JM^2 = x^2-1^2\\
\triangle JKM: JM^2 = \sqrt6^2-(3-x)^2 \\
Igualando: x^2-1^2 = 6-9+6x-x^2 \implies x = \frac{2}{3}\\
\therefore KM = 3-\frac{2}{3} =\underline{ \frac{7}{3}}\\
\therefore V_p = \frac{1}{3}.\frac{3}{2}.\frac{7}{3}=\boxed{\frac{7}{6}}\color{green}\checkmark



}[/tex3]

[gouy]

[quote=petras post_id=283360 time=1660569568 user_id=16617]

MUITO obrigada, ótima resolução!!