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JigsawMOD
Contar os múltiplos de cada número
Joana escreveu os números naturais de 1 a 1000, ou seja, temos inicialmente 1000 números.
1. Sara apaga os múltiplos de 2
Os múltiplos de 2 no intervalo de 1 a 1000 são:
\[
2, 4, 6, ..., 1000
\]
Essa é uma progressão aritmética com razão 2 e primeiro termo 2. O número de termos é:
\[
\frac{1000}{2} = 500.
\]
Ou seja, 500 números foram apagados por Sara.
2. Jéssica apaga os múltiplos de 3 que restaram
Os múltiplos de 3 entre 1 e 1000 são:
\[
3, 6, 9, ..., 999.
\]
O número de termos dessa progressão é:
\[
\frac{999}{3} = 333.
\]
No entanto, alguns desses já foram apagados por Sara. Os múltiplos de 6 (múltiplos de 2 e 3) já foram removidos.
\[
6, 12, 18, ..., 996.
\]
O número de termos dessa progressão é:
\[
\frac{996}{6} = 166.
\]
Então, Jéssica apagou:
\[
333 - 166 = 167.
\]
3. Karol apaga os múltiplos de 5 que restaram
Os múltiplos de 5 entre 1 e 1000 são:
\[
5, 10, 15, ..., 1000.
\]
O número de termos é:
\[
\frac{1000}{5} = 200.
\]
Precisamos excluir os que já foram apagados antes, ou seja, os múltiplos de 10 (múltiplos de 2 e 5) e os múltiplos de 15 (múltiplos de 3 e 5), além dos múltiplos de 30 (múltiplos de 2, 3 e 5):
- Múltiplos de 10:
\[
\frac{1000}{10} = 100.
\]
- Múltiplos de 15:
\[
\frac{990}{15} = 66.
\]
- Múltiplos de 30 (já contados duas vezes acima):
\[
\frac{990}{30} = 33.
\]
Aplicamos o Princípio da Inclusão-Exclusão para contar os múltiplos de 5 que ainda restam:
\[
200 - (100 + 66) + 33 = 67.
\]
---
Total de números apagados
Somamos todos os números apagados por cada aluna:
\[
500 + 167 + 67 = 734.
\]