Pré-Vestibular ⇒ (FGV-SP) Progressão aritmética Tópico resolvido

[Gabrielamed]

Os números naturais ímpares foram dispostos em um arranjo triangular, como indica a figura.

[tex3]\begin{array}{l}
1 & & & & & &\text{1.ª linha}\\
3 &5 & & & & &\text{2.ª linha}\\
7 &9 &11 & & & &\text{3.ª linha}\\
13 &15 &17 &19 & & &\text{4.ª linha}\\
21 &23 &25 &27 &29 & &\text{5.ª linha}\\
31 &33 &35 &37 &39 &41 &\text{6.ª linha}
\end{array}[/tex3]

A mediana da sequência de números da 30.ª linha desse arranjo é igual a

a) 800.
b) 861.
c) 884.
d) 900.
e) 950.

Resposta

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reposta letra d

Alguém sabe como faz?

[LostWalker]

Medianas em Equidistâncias

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Vamos supor que uma media é [tex3]10[/tex3]. Agora, se eu perguntar a mediana de dos números:

[tex3]8~~10~~12[/tex3]


Continua sendo [tex3]10[/tex3], já que o que temos é:

[tex3](10-2)~~~~10~~~~(10+2)[/tex3]


E há outras formas de abusar disso, como:

[tex3]7~~9~~11~~13[/tex3]


Que pode ser lido como:

[tex3](10-3)~~~~(10-1)~~~~(10+1)~~~~(10+3)[/tex3]


Ainda sim, se manterá [tex3]10[/tex3], graças a equidistância dos valores, usaremos isso mais a diante, mas primeiro...




Resposta Intuitiva

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Olhe como ocorre a distribuição:

[tex3]\begin{matrix}1\\3&5\\7&9&11\\13&15&17&19\\21&23&25&27&29\\31&33&35&37&39&41\end{matrix}[/tex3]


Usando o truque acima, veja que as medianas correspondem a:

[tex3]\begin{matrix}1^2&&1\\2^2&&3&5\\3^2&&7&9&11\\4^2&&13&15&17&19\\5^2&&21&23&25&27&29\\6^2&&31&33&35&37&39&41\end{matrix}[/tex3]


Seguindo esse padrão, a resposta será [tex3]30^2=900[/tex3], [tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa D}[/tex3]




Resposta Dedutiva - Calculando Exemplo

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O que faremos é pegar o números nos extremos, e ver a média deles, mas faremos de maneira genérica, assim, acharemos uma fórmula. A primeira coisa a definir é que estamos usando números ímpares, então, vamos nos focar em pensar que um número ímpar é:

[tex3]2n-1[/tex3]


Para começar, se queremos o número a extremo esquerda da linha 5, sabemos que, em questão de posição, basta contar quantos números há até a linha 4 e somar uma posição. Agora, sabe-se que a linha 1 possui um número, a linhas 2, dois números, a linha 3, três números e assim sucessivamente. Vamos então usar uma soma de PA para saber quantos números houveram até a linha 4 (lembre-se, não estamos contando quais os números e sim quantos números):

[tex3]S_{PA}=\frac{(1+4)\cdot4}2=10[/tex3]


Se são 10 números para completar a linha 4, então o número à extrema esquerda da linha 5 é o [tex3]11^\circ[/tex3].

Agora, para saber o número à extrema direita na linha 5, nesse caso, sabemos que o primeiro número na quinta linha é na colocação 11, ou seja, o último será 4 colocações depois, ou seja:

[tex3]11^\circ+4^\circ=15^\circ[/tex3]


Ora, mas queremos, na verdade, a colocações entre os dois, que na prática, como explicado no início, será a mediana, então:

[tex3]\frac{11^\circ+15^\circ}2=13^\circ[/tex3]


E usando a formula dos números ímpares, sabemos que o número que ocupa essa colocação é:

[tex3]2\cdot13-1=\boxed{25}[/tex3]



Talvez você queira me perguntar "mas e se for numa linha de quantidade par? A colocação será quebrada.", sim, as veja na segunda linha, a mediana é 4, mas o não aparece na linha, o mesmo acaba ocorrendo para a colocação, por exemplo, usando essa ideia que fazemos na linha 2, o número na extrema esquerda é [tex3]2^\circ[/tex3] e o na extrema direita é [tex3]3^\circ[/tex3], então a média seria [tex3]2.5^\circ[/tex3] e ao colocar isso na fórmula, temos:

[tex3]2\cdot2.5-1=\boxed{4}[/tex3]


Então sim, continua válido.

Agora, veja que há mais uma forma de se chegar a média. Ao invés de calcular até alinha anterior e somar 1 para o primeiro termo, e depois somar a quantidade da linha menos 1 para o segundo, podemos somar diretamente a quantidade da linha sobre dois. Por exemplo, no caso do 5. Há 10 números até a linha 4. Ao invés de calcular o primeiro termo (11) e depois o segundo (15) para encontra a média deles, podemos simplesmente usar o número central de 5. Ele é medido como [tex3](1+5)\div2=3[/tex3]. Em resumo, é o que nós fizemos, veja:

[tex3]\frac{11+15}2=\frac{10+10+1+5}2=\frac{20+1+5}2=\boxed{10+\frac{1+5}2=13}[/tex3]


Talvez aqui tudo tenha ficado meio confuso, ao menos, para alguns. Existem várias formas de você calcular uma mediana, que nesse caso, se iguala a média. Bases e intervalos são bons truques então apenas passei um por eles diretamente. Caso tenha ficado confuso a parte final, você pode usar os métodos de encontrar o primeiro termo, depois o último (pela formula de soma de PA ou não) e seguir com os cálculos, vai acrescentar contas, mas o resultado será o mesmo.




Resposta Dedutiva - Generalizando
[tex3][/tex3]

Para sabermos então a mediana na linha [tex3]n[/tex3], primeiro, contamos quantos termos tivemos até a linha [tex3]n-1[/tex3] (em verde) e somamos o valor da posição média da linha [tex3]n[/tex3] (em roxo):

[tex3]{\color{PineGreen}\frac{\((n-1)+1\)(n-1)}2}+{\color{Purple}\frac{1+n}2}[/tex3]

[tex3]\frac{n(n-1)}2+\frac{1+n}2[/tex3]

[tex3]\frac{n^2-n}2+\frac{1+n}2[/tex3]

[tex3]\frac{n^2-1}2[/tex3]


Agora, colocamos esse valor na equação de posição do número ímpar e temos:

[tex3]{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}\(\frac{n^2-1}{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}\)+1[/tex3]

[tex3]n^2-{\color{Red}\cancel{\color{Black}1}}+{\color{Red}\cancel{\color{Black}1}}[/tex3]

[tex3]\boxed{n^2}[/tex3]


E caímos na mesma interpretação da resolução intuitiva.

[JigsawMOD]

@cajuADMIN poderia confirmar se a resolução apresentada contempla a referida questão.