Ensino Superior ⇒ (UNIUBE 2022) CÁLCULO IV - EDO Tópico resolvido

[cbaluno]

A solução de uma equação diferencia é uma função y ou y(x), se a equação for nestas variáveis. Se a condição inicial y(0)=-1 atende à solução da E.D. linear de primeira ordem: dy/dx=y + 3e^2x. Então, o valor aproximado de y(1), é:
a) 16
b) 14
c) 20
d) 11
e) 8

[AnthonyC]

[tex3]{dy\over dx}=y+3e^{2x}[/tex3]
[tex3]{dy\over dx}-y=3e^{2x}[/tex3]
Encontrando o fator integrante:
[tex3]\mu=\exp\(\int Pdx\),~~~~\exp(t)=e^t[/tex3]
[tex3]\mu=\exp\(\int -1dx\)[/tex3]
[tex3]\mu=\exp\( -x\)[/tex3]
[tex3]\mu=e^{ -x}[/tex3]
Portanto:
[tex3]\mu\({dy\over dx}-y\)=\mu3e^{2x}[/tex3]
[tex3]e^{ -x}{dy\over dx}-e^{ -x}y=e^{ -x}\cdot3e^{2x}[/tex3]
[tex3]\(e^{ -x}y\)'=3e^{x}[/tex3]
[tex3]e^{ -x}y=\int3e^{x}dx[/tex3]
[tex3]e^{ -x}y=3e^{x}+C[/tex3]
[tex3]y=3e^{2x}+Ce^x[/tex3]
Como [tex3]y(0)=-1[/tex3], temos:
[tex3]-1=3e^{2\cdot0}+Ce^0[/tex3]
[tex3]-1=3+C[/tex3]
[tex3]-4=C[/tex3]
Portanto:
[tex3]y=3e^{2x}-4e^x[/tex3]
Logo:
[tex3]y(1)=3e^{2\cdot1}-4e^1[/tex3]
[tex3]y(1)=3e^{2}-4e[/tex3]
[tex3]y(1)\approx11[/tex3]

[cbaluno]

@AnthonyC ,
100% correto! conferido no gabarito!
Vc domina o assunto!