Pré-Vestibular ⇒ (FAPEC - PASSE 2021) Números Complexos Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O número complexo [tex3]z[/tex3] é tal que [tex3]z – 2\overline{z} = – 1 – 6i[/tex3], sendo [tex3]i[/tex3] a unidade imaginária [tex3](i^2 = – 1)[/tex3] e [tex3]\overline{z}[/tex3] o número complexo conjugado de [tex3]z[/tex3]. Sendo [tex3]\theta[/tex3] o argumento de [tex3]z[/tex3], então:

A) [tex3]tg\ \theta=1/2[/tex3].
B) [tex3]cos\ \theta=\sqrt{5}/5[/tex3].
C) [tex3]sen\ \theta=2\sqrt{5}/5[/tex3].
D) [tex3]tg\ \theta=2 [/tex3].
E) [tex3]cos\ \theta=-2\sqrt{5}/5[/tex3].

Resposta

---

B

[AnthonyC]

Seja [tex3]z=x+yi,~~x,y\in\mathbb R[/tex3]. Temos que [tex3]\overline{z}=x-yi[/tex3]. Portanto:
[tex3]z-2\overline z=-1-6i[/tex3]
[tex3](x+yi)-2(x-yi)=-1-6i[/tex3]
[tex3]x+yi-2x+2yi=-1-6i[/tex3]
[tex3]x-2x+yi+2yi=-1-6i[/tex3]
[tex3]-x+3yi=-1-6i[/tex3]
Por igualdade de complexos:
[tex3]\begin{cases}-x=-1\implies x=1\\ 3y=-6\implies y=-2\end{cases}[/tex3]
Portanto, [tex3]z=1-2i[/tex3]. Temos que [tex3]|z|=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt5[/tex3]. Assim, temos:
[tex3]z={\sqrt{5}\over\sqrt5}(1-2i)[/tex3]
[tex3]z=\sqrt5\({1\over\sqrt5}-{2\over\sqrt5}i\)[/tex3]
Como um número complexo pode ser escrito na forma [tex3]|z|(\cos(\theta)+i\sen(\theta))[/tex3], temos que:
[tex3]\cos(\theta)={1\over\sqrt5}[/tex3]
[tex3]\cos(\theta)={\sqrt5\over\sqrt5\cdot\sqrt5}[/tex3]
[tex3]\cos(\theta)={\sqrt5\over5}[/tex3]