Pré-Vestibular ⇒ (Insper) Igualdade de polinômios

[estudante420]

Seja [tex3]\frac{mx-n}{x-2} - \frac{nx++m+1}{x+2} = \frac{ax^{2}+10x}{x^{2}-4}[/tex3], onde m, n, a são números reais.
Então, é correto afirmar que o produto m . n é igual a:
a) -3
b) -2
c) 2
d) 4
e) 6

Resposta

---

a

[Auto Excluído (ID: 24385)]

[tex3]\frac{mx-n}{x-2}-\frac{nx+m+1}{x+2}=\frac{ax^{2}+10x}{x^{2}-4}[/tex3]
[tex3]\frac{(x+2)(mx-n)}{(x+2)(x-2)}-\frac{(x-2)(nx+m+1)}{(x-2)(x+2)}=\frac{ax^{2}+10x}{(x+2)(x-2)}[/tex3]
[tex3]\frac{\cancel{(x+2)(x-2)}[(x+2)(mx-n)-(x-2)(nx+m+1)]}{\cancel{(x+2)(x-2)}}=ax^{2}+10x[/tex3] e [tex3]\boxed{x\neq \pm 2}[/tex3]
[tex3](x+2)(mx-n)-(x-2)(nx+m+1)=mx^{2}-nx+2mx-2n-(nx^{2}+mx+x-2nx-2m-2)[/tex3]
[tex3]mx^{2}-nx+2mx-2n-(nx^{2}+mx+x-2nx-2m-2)=mx^{2}-nx^{2}\cancel{-nx}+\cancel{2}nx+\cancel{2}mx\cancel{-mx}-2n-x+2m+2[/tex3]
[tex3]x^{2}(m-n)+x(m+n)-2(n-m)=ax^{2}+11x-2[/tex3]

[tex3]\underline{(m-n)\cdot x^{2}+(m+n)\cdot x-2\cdot(n-m)=(a)\cdot x^{2}+(11)\cdot x-2\cdot(1)}[/tex3]

I.
[tex3]\begin{cases}
m-n=a \\
m+n=11 \\
n-m=1
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\cancel{m}+n+n\cancel{-m}=11+1[/tex3]
[tex3]2n=12\rightarrow \boxed{n=6}[/tex3]
[tex3]m+6=11\rightarrow \boxed{m=5}[/tex3]
[tex3]5-6=a\rightarrow \boxed{a=-1}[/tex3]

produto [tex3]mn=30[/tex3]

II. substituindo valores para x:
para [tex3]x=1[/tex3],
[tex3](m-n)\cdot 1^{2}+(m+n)\cdot 1-2\cdot(n-m)=(a)\cdot 1^{2}+(11)\cdot 1-2\cdot(1)[/tex3]
[tex3]m\cancel{-n}+m\cancel{+n}-2n+2m=a+11-2[/tex3]

[tex3]\underline{4m-2n=a+9}[/tex3]

para [tex3]x=0[/tex3],
[tex3]\cancel{(m-n)\cdot 0^{2}}+\cancel{(m+n)\cdot 0}-2\cdot(n-m)=\cancel{(a)\cdot 0^{2}}+\cancel{(11)\cdot 0}-2\cdot(1)[/tex3]
[tex3]-2n+2m=-2[/tex3]
[tex3]m-n=-1[/tex3]

[tex3]\underline{n=m+1}[/tex3]

para [tex3]x=-1[/tex3],
[tex3](m-n)\cdot (-1)^{2}+(m+n)\cdot (-1)-2\cdot(n-m)=(a)\cdot (-1)^{2}+(11)\cdot (-1)-2\cdot(1)[/tex3]
[tex3]m-n-(m+n)-2n+2m=a-11-2[/tex3]
[tex3]\cancel{m}-n\cancel{-m}-n-2n+2m=a-13[/tex3]

[tex3]\underline{2m-4n=a-13}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
4m-2n=a+9 \\
n=m+1 \\
2m-4n=a-13
\end{cases}[/tex3]

[tex3]4m-2(m+1)=a+9[/tex3]
[tex3]4m-2m-2=a+9[/tex3]
[tex3]\underline{2m=a+11}[/tex3]

[tex3]2m-4(m+1)=a-13[/tex3]
[tex3]2m-4m-4=a-13[/tex3]
[tex3]-2m=a-9[/tex3]
[tex3]\underline{2m=9-a}[/tex3]

[tex3]a+11=9-a[/tex3]
[tex3]2a=-2\rightarrow\boxed{a=-1}[/tex3]

[tex3]2m=9-(-1)[/tex3]
[tex3]2m=10\rightarrow\boxed{m=5}[/tex3]

[tex3]n=5+1\rightarrow\boxed{n=6}[/tex3]

produto [tex3]mn=30[/tex3]...

imagino que o enunciado esteja errado

[JigsawMOD]

@cajuADMIN poderia confirmar se a resolução apresentada contempla a referida questão.