Física III ⇒ (Irodov) Campo magnético

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Dentro de um longo fio reto e uniforme, de corte transversal circular, há uma longa cavidade cilíndrica circular, cujo eixo é paralelo ao eixo do fio e deslocado deste último por uma distância L. Uma corrente direta, de densidade j, flui ao longo do fio. Encontre o campo magnético dentro da cavidade. Considere, em particular, o caso L = 0.

Resposta

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[tex3]B=\frac{\mu_0\vec{j}\times\vec{L}}{2}[/tex3], isto é, o campo dentro da cavidade é uniforme.

[Matheusrpb]

i) Considere um ponto [tex3]P[/tex3] a uma distância [tex3]r_1[/tex3] do centro do fio e a uma distância [tex3]r_2[/tex3] do centro da cavidade. Seja [tex3]\vec{r_1}[/tex3] o vetor que liga o centro do fio ao ponto [tex3]P[/tex3] e seja [tex3]\vec{r_2}[/tex3] o vetor que liga o centro da cavidade ao ponto [tex3]P[/tex3].

ii) Pelo princípio da superposição, podemos considerar o fio como não tendo cavidade e a cavidade cilíndrica circular como tendo densidade de corrente [tex3]-\vec{j}[/tex3].

iii) O campo magnético no ponto P será, pela Lei de Ampère:

Pelo fio:

[tex3]\int_\limits{C}\vec B\cdot d\vec l = \mu_0 I[/tex3]

[tex3]2\pi r_1B_1 = \mu_0\(j\pi r_1^2\) \ \rightarrow \ \vec{B_1} = \frac{\mu_0\(\vec j\times \vec{r_1}\)}{2}[/tex3]

Analogamente, pela cavidade:

[tex3]\vec{B_2} = \frac{\mu_0\(\(-\vec j\)\times \vec{r_2}\)}{2} \ \rightarrow \ \vec{B_2} = -\frac{\mu_0\(\vec j\times \vec{r_2}\)}{2}[/tex3]

iv) Sendo [tex3]\vec L[/tex3] o vetor que liga o centro do fio ao centro da cavidade, temos:

[tex3]\vec{r_1} = \vec L + \vec{r_2} [/tex3]

v) Logo:

[tex3]\vec {B} = \vec{B_1} + \vec{B_2} = \frac{\mu_0\(\vec j\times \(\vec L + \vec{r_2}\)\)}{2} -\frac{\mu_0\(\vec j\times \vec{r_2}\)}{2}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\vec B = \frac{\mu_0\(\vec j \times \vec L\)}{2}}}[/tex3]