Pré-Vestibular ⇒ ( Uni-Facef 2023 ) Matriz Tópico resolvido

[Lima08]

Considere as matrizes A=[tex3]\begin{pmatrix}
-1 & 3 \\
0 & 2 \\
\end{pmatrix}[/tex3], B =[tex3]\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
1 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3] e C uma matriz quadrada de ordem 2, tal que 2A + 3B = 4C. A soma de todos os elementos da matriz C é igual a

(A) 12.
(B) 8.
(C) 16.
(D) 20.
(E) 24.

Resposta

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GABARITO: (B) 8.

[Auto Excluído (ID: 24385)]

Definição de produto de número por matriz:

Dado um número k e uma matriz [tex3]A=(a_{ij})_{m \times n}[/tex3] chama-se produto [tex3]kA[/tex3] a matriz [tex3]B=(b_{ij})_{m \times n}[/tex3] tal que [tex3]b_{ij}=k\cdot a_{ij}[/tex3] para todo i e todo j. Isto significa que multiplicar uma matriz A por um número k é construir uma matriz B formada pelos elementos de A todos multiplicados por k.

Definição de adição de matrizes:

Dadas duas matrizes [tex3]A=(a_{ij})_{m \times n}[/tex3] e [tex3]B=(b_{ij})_{m \times n}[/tex3], chama-se soma A + B a matriz [tex3]C=(c_{ij})_{m \times n}[/tex3] tal que [tex3]c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}[/tex3], para todo i e todo j. Isto significa que a soma de duas matrizes A e B do tipo [tex3]m\times n[/tex3] é uma matriz C do mesmo tipo em que cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em A e B.

(definições retiradas do FME vol. 4)

Aplicando:
[tex3]2A+3B=4C[/tex3]
[tex3]2\begin{pmatrix}
-1 & 3 \\
\space\space\space 0 & 2 \\
\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
1 & 1 \\
\end{pmatrix}=4C[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}
-2 & 6 \\
\space\space\space 0 & 4 \\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
6 & 12 \\
3 & 3 \\
\end{pmatrix}=4C[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}
4 & 18 \\
3 & 7 \\
\end{pmatrix}=4C[/tex3]
[tex3]C=\frac{1}{4}\cdot\begin{pmatrix}
4 & 18 \\
3 & 7 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\boxed{C=\begin{pmatrix}
1 & \frac{9}{2} \\
\frac{3}{4} & \frac{7}{4} \\
\end{pmatrix}}[/tex3]

Soma de todos os elementos da matriz C:
[tex3]1+\frac{9}{2}+\frac{3}{4}+\frac{7}{4}=\frac{4+18+3+7}{4}=\frac{32}{4}=8[/tex3]

portanto, alternativa b.